2022年12月，我写了一篇博客文章《无交叉骑士之旅》，讲述了德里克·基斯曼在M乘N的矩形棋盘上计算最大无交叉骑士之旅的惊人成就，其中M很小，N可以非常非常大。
数据显示出一些渐近周期性，我想知道如何从数学上证明它。我没有意识到德里克已经证明了这一点。由于我对编程一无所知，我以为程序只是输出数据，不认为它们能证明任何东西。我错了。似乎不需要其他证据。德里克试图用动态编程的术语向我解释细节，但我不确定能否在这里重现。
让我们回忆一下这个问题。考虑一个M乘N的棋盘和一个按照标准国际象棋规则移动的骑士：在一个方向跳一个方格，在正交方向跳两个方格。骑士必须访问尽可能多的方块，不重复，然后返回其起始方块。此外，骑士可能永远不会穿越自己的道路。如果你想象骑士的路径由连接其访问的方块中心的直线段组成，这些线段必须形成一个简单的多边形。总之，给定M和N，我们要计算最长的非交叉骑士的巡游长度。
需要明确的是：这些程序、它们的输出数据、经验证的答案和图像都是由德里克·基斯曼（Derek Kisman）提供的。我只是一个谦逊的信使，表达了我对计算证明能力的新认识。
图中显示了德里克的3乘13棋盘解决方案。有一个由虚线标记的3×4重复图案。同样的巡演适用于长度为10、11和12的木板。因此，对于宽度为3、长度为10至13（含）的棋盘，最长的无交叉骑士巡游长度为10。我们可以用索引N将3×N棋盘的答案写为一个序列，其中-1表示不可能进行巡演。序列以N=1:-1、-1、-1，4、6、6、6,6、6,10、10,10、10、10,14、……开始…。
我们可以在不编程的情况下证明这个序列是正确的。假设巡更从最左边的列开始。如果我们从列的中间开始，整个行程将以菱形和长度为4的行程结束，顺便说一下，这是N=5时最长的行程。因此，对于较大的N，我们必须从一个角开始。从那里，只有两种可能的行动。我们可以看到，延拓是唯一的，并且，渐近地，我们每增加一列就获得一步。也就是说，渐近地，最长巡更的长度除以N是1。
德里克在下面的顺序中使用了一个额外的符号：每个循环都在括号中。任何两个连续循环的差值都是相同的常数。所以要无限期地继续这个序列，只需知道前两个循环就足够了。
闭路：3xN（渐近线1）：-1，-1，-1…
我继续使用Derek计算的其他示例：
闭路：4xN（渐近线2）：-1、-1、-1，[4]、[6]…
闭路：5xN（渐近线2 3/5）：-1，-1，4，6，[8，12，14，18，20，22，24，28，30，34]，[34，38，40，44，46，48，50，54，56，60]…
闭路：6xN（渐近线4）：-1，-1，6，8，12，12，18，22，24，28，32，36，[38]，[42]…
封闭游览：7xN（渐近线4 10/33）：-1，-1，6，10，14，18，24，26，32，36，42，44，48，54，58，62，66，72，74，80，84，88，94，98，100，106，112，114，118，124，128，130，[136，140，144，148，154，158，162，166，170，176，180，184，188，192，196，200，204，210，214，218，222，226，232，236，240，244，248，254，256，260，266270274]， [278, 282, 286, 290, 296, 300, 304, 308, 312, 318, 322, 326, 330, 334, 338, 342, 346, 352, 356, 360, 364, 368, 374, 378, 382, 386, 390, 396, 398, 402, 408, 412, 416], …
闭路：8xN（渐近线6）：-1，-1，6，12，18，22，26，32，36，42，46，52，58，[64，70，76，80，88，92]，[100，106，112，116，124，128]…
闭路：9xN（渐近线6 6/29）：-1，-1，6，14，20，24，32，36，42，50，56，60，68，74，80，86，94，98，106，114，118，126，132，136， [144, 150, 156, 162, 168, 174, 180, 186, 192, 200, 206, 212, 218, 224, 230, 236, 242, 250, 254, 262, 268, 274, 280, 286, 292, 300, 304, 312, 318, 324, 330, 336, 342, 348, 354, 360, 366, 372, 378, 386, 392, 398, 404, 410, 416, 422, 428, 436, 440, 448, 454, 460, 466, 474, 478, 486, 492, 498], [504, 510, 516, 522, 528, 534, 540, 546, 552, 560, 566, 572, 578, 584, 590, 596, 602, 610, 614, 622, 628, 634, 640, 646, 652, 660, 664, 672, 678, 684, 690, 696, 702, 708, 714, 720, 726, 732, 738, 746, 752, 758, 764, 770, 776, 782, 788, 796, 800, 808, 814, 820, 826, 834, 838, 846, 852, 858], …
闭合巡视：10xN（渐近线8）：-1，-1，10，16，22，28，36，42，50，54，64，70，78，84，92，100，[106]，[114]，…我没有这个案例的图像。
您可能已经注意到，对于偶数M，渐近线等于M-2。奇数M的渐近线略大于M-1的渐近线上。
德里克还计算了最长的开放骑士巡游：骑士不必回到起始位置的巡游。
开放巡视：2xN（渐近线1/2）：-1，-1，[2，2]，[3，3]…
开放巡视：3xN（渐近线1）：-1，2，3，5，6，7，[9]，[10]…
开放巡视：4xN（渐近线2）：-1、2、5、[6]、[8]、…
开放游览：5xN（渐近线3）：-1、3、6、8、11、15、17、20、23、26、29、[32、35、38、41、44、46]、[50、53、56、59、62、64]…
开放游览：6xN（渐近线4）：-1、3、7、10、15、18、22、26、30、33、[36]、[40]、…
开放线路：7xN（渐近线5）：-1、4、9、12、17、22、25、31、36、[40]、[45]、…
开放式旅游：8xN（渐近线6）：-1，4，10，14，20，26，31，36，43，48，54，60，[64]，[70]…
开放巡视：9xN开放（渐近线7）：-1、5、11、16、23、30、36、43、48、56、62、68、75、[82、88、94]、[103、109、115]……我没有这个案例的图像。
本文中有许多有趣的新序列，它们的计算非常重要。我希望有人能将它们添加到OEIS数据库中。
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