2023年2月20日下午05:51
我最喜欢的埃舍尔平面镶嵌是带壳的。这是令人惊叹的，它背后的数学是美丽的。我想感谢已故的约翰·康威教我这幅画的秘密。
数学家对镶嵌感兴趣是因为镶嵌背后的对称性。该细分具有平移和旋转对称性。你能找到它们吗？
当我要求我的学生找出旋转对称性时，他们立即告诉我，他们看到了两个不同的4倍点，也就是90度旋转保留图形的点。一个点，我叫G，是四个点克绿色的贝壳相遇，我称之为R的一个点是四个第页涡流炮弹相遇。
正如你可能已经猜到的那样，学生们的答案并不十分正确。这幅画还有更多。看一个深棕色的外壳，看起来像一个弯曲的矩形。这个形状有标记。现在来看一个特定的点R和它最近的四个棕色外壳。你可以看到，围绕着这个点R，棕色的壳交替着它们的方向：这些壳的黑暗面要么朝向点R，要么远离点。
这幅作品的最大秘密在于它包含两个对称群：一个群和一个子群。如果我们忽略棕色外壳上的标记，将它们视为一种纯色，那么点R实际上是一个4重对称点。此外，棕色形状的中心是一个2倍对称点。因此，这个简化图的对称组在orbifold符号中是442。
如果我们考虑棕色外壳的标记，那么R点不是4倍旋转，而是2倍旋转。点G保持4倍旋转的特性。如果你知道你的对称群，你可以得出结论，应该有另一个4倍的旋转。但它在哪里？
我会说出我的答案。对称点G不再是一个对称点。绿色贝壳在两个不同的点交汇。棕色贝壳的黑暗面对着其中一个，并将目光从另一个身上移开。
这幅图的秘密在于它展示了两个对称群：群442及其子群442，具有不同的基本区域。要了解这个秘密，你必须仔细观察一个深棕色的贝壳，找到它较暗的一面。
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