2015年9月17日下午01:57
我已经写过关于秘书问题的侧翼变异在这个变体中，面试完应聘者后，你可以从中挑选他或任何一个w个−1名候选人在他面前。在这种情况下，我们说我们有一个大小为的滑动窗口w个.策略是跳过第一步秒候选人，然后在最后一刻选出比任何人都好的人。我向RSI建议了这个项目，Abijith Krishnan和他的导师Shan Yuan Ho接受了这个项目。他们做得很好，结果张贴在arXiv的纸张.
在论文中，他们发现了获胜概率的递推公式。这个公式很复杂，也不明确。他们没有讨论我最感兴趣的问题：滑动窗的优点是什么？与没有窗口的经典案例相比，有窗口的案例获胜概率要高多少？
让我们从一个大小为2的窗口开始n个申请人。我们比较了两个具有相同停止点的问题。当我们看到一个候选人比以前任何人都好的时候，请考虑一下停止点之后的那一刻。假设这发生在适当的位置b条然后在经典问题中，我们选择了这个候选人。窗户的优点是什么？我们什么时候能靠窗户过得更好？如果候选人在索引中，我们会更好b条并不是最好的，窗口让我们真正做到最好。这取决于最好的秘书在哪里，以及两者之间发生了什么。
如果下一位是最好的秘书b条+1，那么窗户给了我们一个优势。概率为1/n个假设最好的候选人是下一位b条+ 2. 只有当有合适的人选时，窗户才给我们带来优势b条+1比职位上的人好b条.发生这种情况的概率是多少？它小于1/2。从一个随机的人来看，下一个变得更好的概率是1/2。但处于适当位置的人b条不是随机的，他比随机的好，所以得到一个更好的人的概率会降低，并且不超过1/2。这意味着在这种情况下滑动窗口获胜的概率不超过1/2n个.
同样，如果最佳候选人到位b条+k个，则滑动窗口允许我们在以下情况下获胜：b条和b条+k个比前一个好。候选人在每一步表现更好的概率不超过1/2。也就是说，找到候选人的总概率b条+k个是1/2k-1号机组因此，当最佳候选人就位时，我们获胜的机会b条+k个不超过1/2k-1号机组n个.综合所有因素，我们获得的优势至少为1/n个且不超过2/n个.
经典案例中的获胜概率非常接近1/e（电子）因此，在滑动窗口情况下，如果窗口大小为2，则获胜的概率也接近1/e（电子）.
让我们对任何小尺寸的窗户也这样做w个。假设最好的秘书和候补的候选人在同一个窗口中，在他之后，也就是说，最好的候选人是下一个候选人中的一个w个−1人。这种可能性是(w个− 1)/n个在这种情况下，滑动窗总是能找到最好的人，并且比经典的情况更有优势。滑动窗还有什么用？让我们把其余的申请者分成大小不同的几个部分w个− 1. 假设最好的申请人在区块编号中k个。为了让我们能够找到他，每个模块中最好的候选人必须比前一个模块中的最佳候选人更好。概率不超过1/2k-1号机组。我们获得此优胜者的概率不超过（w-1）/2k-1号机组n个总结起来，我们可以看到窗口大小的优势w个介于(w个− 1)/n个和2(w个− 1)/n个.
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