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没有奶牛的二元公牛

2011年12月14日上午10:38

以下是公牛和奶牛问题出现在2008年秋季城镇锦标赛上：

一个测试由30个正确或错误的问题组成。测试结束后（回答了所有30个问题），维克多得到了分数：正确答案的数量。维克多不知道答案，但被允许参加多次相同的测试。维克多能想出一个策略来保证他能在第29次尝试后找出所有答案吗？在第24次尝试之后？

让我们假设我们有一个更普遍的问题。有n个问题，以及a（n）是我们需要进行测试以确保能够找出答案的最小次数。首先，我们可以尝试所有答案的组合。这样我们就可以保证在2之后知道所有答案n个尝试。下一个想法是从基线测试开始，例如，说所有答案都是正确的。然后我们逐个改变答案，看看分数是上升还是下降。更改后n个−1个答案，我们将知道第一个答案n个−1个问题。另外，我们知道真实答案的总数，所以我们知道所有问题的答案。我们刚刚展示了a（n）≤n个.

这不足以回答问题中的预热问题。我们需要一些更微妙的东西。

让我们谈谈问题的第二部分。正如我们所知，24=4●6。所以要解决第二部分，平均来说，我们需要每四次测试找到五个正确答案。这是真的吗a（5）≤4？如果是这样，我们可以用它来证明吗a（30）≤ 24?

以下三个案例是最有趣的证明：a（5）= 4,a（8）≤6，以及a（30）≤ 24. 试试看！

顺便说一下，K.Knop和L.Mednikov写了一篇论文(俄语版本)他们证明了这一点a（n）不超过最小值k个这样，从1到k个至少是n个− 1. 这意味着他们证明了a（30）≤ 16.

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14条评论

  1. 萨尔：

    a（5）=4
    怎么可能呢？正确答案有32种可能性，得分只有24种可能性（每次0到5个正确答案）

    2011年12月15日凌晨4:53

  2. 萨尔：

    soory，错了，分数有6^4的可能性

    2011年12月15日上午9:06

  3. Animesh公司:

    这个让我思考了一天…。。我的大脑在腐烂…我想…

    无论如何，这是我的解决方案，让我们考虑一个非常简单的情况，其中正确答案是0 1 0（0=F，1=T，所以很容易考虑……i luv数字！）

    如果我尝试0 0，我会得到2分，并且自动知道如果我输入1 1 1，我会获得3–2=1分
    接下来，如果我尝试0 0 1，我会得到分数=1，所以我知道1 1 0分=2。这些知识足以得出解决方案。

    选择两个得分相同的解决方案，它们分别是0 0 0和1 1 0
    假设解为0 0 0->不可能，因为第一个解会给出结果3
    下一个可能性=0 0 1->再次不可能，因为它给出了结果
    0 0 0 xor 0 0 1=1 1 0或2 1，因此2个正确答案
    1 1 0 xor 0 0 1=0 0 0或0 0，因此没有正确答案

    所以我们知道0 0 1不是解决方案，
    如果我们尝试1 0 0，则0 0 0 xor 1 0 0=>0 1 1或2 1的
    1 1 0 xor 1 0 0=1 0 1或2 1
    所以1 0 0可以是一个解，类似地，我发现0 1 0可以是解。没有其他可能的解决方案
    1 0 0和0 1 0可以再次通过第二个解决方案集进行验证
    1 1 1和0 0 1都得1分。因此，如果不进行更多的测试，我知道在两个测试中，解是0 1 0或F T F。

    如果有一个更简单的…请让我知道…
    因此，对于一个三题测试，它可以用三个问题来解决，这更复杂，但我想可以应用类似的逻辑。

    2011年12月15日，12:23 pm

  4. 萨尔：

    到animesh
    苏里，你错了。如果正确答案是100，你会得到相同的结果，你怎么知道它是010而不是100？

    2011年12月16日凌晨3:08

  5. Animesh公司:

    @萨尔

    再读一遍我写的东西。我从来没有说过正确的答案是“0 1 0”，我只是做了一个假设。在我选择其中一个解决方案之前无法解释策略。该策略也适用于10 0…。。

    假设解是1 0 0，0 0 0会给2分，所以我自动知道1 1 1（前一个补码）会给1分。

    0 0 1将得到1分，因此comlement 1 1将得到2分。

    使用这些结果，然后应用类似的分析，我可以将注意力集中在解决方案上。

    2011年12月16日凌晨4:29

  6. 萨尔：

    对不起，我不明白。请再解释一下，你如何在两次中知道哪个答案是正确的。uf u在第一次和第二次测试中得到了相同的结果“我们如何在两种可能性之间进行distugwish？”？

    2011年12月16日上午7:30

  7. 帕辛:

    这只是主脑，在允许多重性的地方有两种颜色。
    https://en.wikipedia.org/wiki/Mastermind_%28board_game%29

    2011年12月17日上午6:45

  8. 萨尔：

    塔尼亚，我们正在等你的回答，请快点

    2011年12月18日凌晨1:30

  9. 假名：

    快速信息理论论证。你需要找到n位信息。每次尝试测试最多可以获得1g n位的信息（所有对数都以2为基数）。因此：

    a（n）≥n/lg n

    特别地：

    a（5）≥3
    a（8）≥4
    a（30）≥6

    这可能不是一个非常严格的下限，但它仍然是一个下限。

    猜测：对于一个有n道题的测试，如果在每个阶段你都需要提交一个答案与之前所有分数一致的测试，你需要参加n次测试来确定所有答案是什么。

    现在，如果你必须提前提交所有测试，因此无法使用之前测试的结果来确定下一次测试的答案，该怎么办？

    2011年12月21日凌晨1:49

  10. 假名：

    saar，这里有一个针对n=5的策略。我使用的符号是，提交看起来像[0,1,1,0,1]，其中0表示此问题的答案为“假”，1表示答案为“真”。

    该策略在以下意义上是“最佳”的：

    –树在树的最大深度上是最小的（即知道答案所需的试验次数）。
    –如果有几棵树在上述属性中是最优的，则树的平均深度最小。
    –如果有几棵树在上述属性中是最优的，请尽可能频繁地提交正确的答案。

    我希望这个格式正确。

    尝试[0,0,0,0]。如果分数为：
    0→答案是[1,1,1,1]。
    1→尝试[0,0,0,1,1]。如果分数为：
    1→尝试[1,1,1,0,1]。如果分数为：
    3→答案是[1,1,1,0]。
    5→答案是[1,1,1,0,1]。
    3→尝试[0,1,1,1]。如果分数为：
    3→尝试[1,0,1,1]。如果分数为：
    3→答案是[1，1，0，1，1]。
    5→答案是[1,0,1,1]。
    5→答案是[0,1,1,1]。
    2→尝试[0,0,1,1]。如果分数为：
    1→尝试[1,1,0,0,1]。如果分数为：
    3→尝试[1,1,0,1,0]。如果分数为：
    3→答案是[1,1,1,0,0]。
    5→答案是[1,1,0,1,0]。
    5→答案是[1,1,0,0,1]。
    3→尝试[0,1,0,1,1]。如果分数为：
    1→尝试[1,0,1,0,1]。如果分数为：
    3→答案是[1,0,1,1,0]。
    5→答案是[1,0,1,0,1]。
    3→尝试[0,1,1,0,1]。如果分数为：
    1→答案是[1,0,0,1,1]。
    3→答案是[0,1,1,0]。
    5→答案是[0,1,1,0,1]。
    5→答案是[0,1,0,1,1]。
    5→答案是[0,0,1,1]。
    3→尝试[0,0,0,1,1]。如果分数为：
    1→尝试[0,1,0,0]。如果分数为：
    3→尝试[1,0,1,0,0]。如果分数为：
    3→答案是[1,1,0,0,0]。
    5→答案是[1,0,1,0,0]。
    5→答案是[0,1,1,0,0]。
    3→尝试[0,0,1,0,1]。如果分数为：
    1→尝试[0,1,0,1,0]。如果分数为：
    3→答案是[1,0,0,1,0]。
    5→答案是[0,1,0,1,0]。
    3→尝试[0,1,0,0,1]。如果分数为：
    1→答案是[0,0,1,1,0]。
    3→答案是[1,0,0,01]。
    5→答案是[0,1,0,0,1]。
    5→答案是[0,0,1,0,1]。
    5→答案是[0,0,0,1,1]。
    4→尝试[0,0,0,1,1]。如果分数为：
    2→尝试[0,0,1,0,0]。如果分数为：
    3→尝试[0,1,0,0,0]。如果分数为：
    3→答案是[1,0,0,0-0]。
    5→答案是[0,1,0,0,0]。
    5→答案是[0,0,1,0,0]。
    4→尝试[0,0,0,1]。如果分数为：
    3→答案是[0,0,0,1,0]。
    5→答案是[0,0,0,1]。
    5→答案是[0,0,0,0，0,0]。

    2011年12月21日，下午7:06

  11. 萨尔：

    嗯，看起来不错，但我需要更深入地检查。
    非常非常感谢

    2011年12月22日凌晨1时21分

  12. 索拉夫：

    对于第一部分，
    为什么最小数等于n-1，

    应该是n吗

    2011年12月24日上午5:49

  13. Tanya Khovanova的数学博客»博客档案»二进制牛解释:

    〔…〕最近发表了一篇文章《没有奶牛的二进制公牛》，其中有以下谜题：维克多正在进行的测试由n个“真”或〔…〕组成

    2012年1月2日，晚上8:09

  14. 亚历杭德罗:

    你好，我每天都在看你的新东西。
    啊，我们的幽默作家一定是个了不起的人！

    2012年10月14日，晚上11:30

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