罗伯特·J·伯曼。;塞巴斯蒂安·布克索姆;马蒂亚斯·琼森 Yau-Tian-Donaldson猜想的变分方法。 （英语） Zbl 1487.32141号 美国数学杂志。Soc公司。 34，第3号，605-652（2021）. 这是卡勒几何的一篇里程碑式的论文。主题是Fano流形上Kähler-Einstein度量的存在性，以及它们的存在性与K-稳定性的代数几何概念之间的关系。这种关系——通常被称为“Yau Tian Donaldson猜想”——由Tian和第一作者在一个方向上奠定了坚实的基础（他证明了Kähler-Einstein度量的存在意味着K稳定性）[G.田，发明。数学。130，第1号，1-37（1997年；Zbl 0892.53027号); 第一作者，发明。数学。203，第3期，973–1025（2016；Zbl 1353.14051号)]和另一个方向的Chen Donaldson Sun（他证明了K稳定性意味着Kähler-Einstein度量的存在）[X.陈等，《国际数学》。Res.不。2014年，第8期，2119-2125（2014；Zbl 1331.32011年)]. Chen-Donaldson-Sun的策略是使用连续性方法，针对Fano流形上关于Gromov-Hausdorff收敛的（二次曲线）Kähler-Einstein度量族建立紧性理论。本文对陈道生-孙的结果给出了一个新的证明。事实上，结果在某些方面更强（因为他们的证明在更奇异的情况下成立，例如对数对），而在其他方面较弱（因为他们使用统一的K-稳定性，正如评论员在《国际数学研究》2016年第15期，4728–4783（2016；Zbl 1405.32032号); 第二作者、第三作者等，《傅里叶研究年鉴》67，第2期，743–841页（2017；Zbl 1391.14090号)]，因此要求Fano流形具有离散自同构群）。本文给出的新方法使用了变分思想。为了证明这样的结果，人们总是需要某种紧性和正则性理论，为此，作者使用了多位势理论中的各种观点，多位势是由第一作者、第二作者伯恩德森、达瓦斯、埃西迪厄、盖吉、鲁宾斯坦和泽里亚希发展而来的从Kähler势空间（\mathcal{H}）开始，定义了一个称为Monge-Ampe的泛函“re energy”（E:\mathcal{H}\to\mathbb{R}）；该泛函允许对多次谐波（psh）函数空间进行扩展，从而得到psh函数的有限能量空间（mathcal{E}^1）。有两个密切相关的泛函-称为Mabuchi泛函和Ding泛函-其上的极小值是Kähler-Einstein度量（特别是光滑的）；极小值的存在等价于泛函的强迫性，这个条件比下面有界略强。作者工作中的第一个主要步骤是根据（mathcal{E}^1）中的自然psh测地线来表征这些泛函的矫顽力：它们表明，在相当普遍的情况下，也适用于某些其他问题，如果Mabuchi泛函不是强制的，有一个psh-测地线，沿着它Mabuchi函数是非增量的。因此，当没有Kähler-Einstein度量时，有一个渐近不稳定的对象，我们让（U_t）表示这个测地线。也就是说，丁泛函沿测地线也是非增的。第二个主要步骤是将测地线与代数对象相关联。K-稳定性的概念是使用测试配置定义的，测试配置是Fano流形的某些代数退化。对于每一个这样的测试配置，从参考Kähler度量开始，我们得到一条测地线，而这条测地线的渐近线与测试配置的Ding不变量有关（更常用的Donaldson-Futaki不变量的变体，其正性是K稳定性的定义）。特别是，假设如上所述不存在Kähler-Einstein度量，如果相关测地线（U_t）实际上与测试配置相关，我们将得出结论，Ding不变量是非正的，因此流形不可能是Ding稳定的（这要求Ding不变式总是正的，并且它等价于K稳定性）这种情况并不总是如此，所以主要的一点是用所谓的代数奇点的测地线来近似测地线（U_t）；这些正是测试配置所产生的。他们争论的最后一点是比较Ding泛函沿（U_t）的渐近行为和沿近似序列的行为，这是使用Ding泛函数的技术优势所在。这也解释了为什么一致K-稳定性的概念是一个关键的假设，而不仅仅是K-稳定性。本文是2015年预印本的扩展版本，正如论文导言所述，在进一步的发展中发挥了巨大的作用，最显著的进展是向广义Yau-Tian-Donaldson猜想迈进，该猜想将恒定标量曲率Kähler度量的存在性与K稳定性联系起来。审核人：RuadhaíDervan（剑桥） 引用于三评论引用于71文件 MSC公司： 第32季度20 Kähler-Einstein流形 32问题26 复杂流形的稳定性概念 关键词：卡勒-爱因斯坦电流;尤田·唐纳森猜想 引文：Zbl 0892.53027号;Zbl 1353.14051号;Zbl 1331.32011年;Zbl 1405.32032号;兹比尔1391.14090 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{R.J.Berman}等人，J.Am.数学。Soc.34，No.3，605--652（2021；Zbl 1487.32141） 全文： 内政部 arXiv公司 哈尔 参考文献： [1] 奥宾、蒂埃里{E} 方程式du类型Monge-Amp“ere surles vari”{e} t吨\'{e} 秒k“{a} 高浓度\'{e} 里昂（riennes）紧凑，公牛。科学。数学。(2), 102, 1, 63-95 (1978) ·Zbl 0374.53022号 [2] Berkovich，Vladimir G.，非阿基米德领域的谱理论和解析几何，《数学调查和专著》33，x+169页（1990），美国数学学会，普罗维登斯，RI·Zbl 0715.14013号 ·doi:10.1090/surv/033 [3] Berman，Robert J.，Monge-Amp\`ere方程、Moser-Trudinger不等式和K的热力学形式{a} 赫尔·爱因斯坦度量，高级数学。，248, 1254-1297 (2013) ·Zbl 1286.58010号 ·doi:10.1016/j.aim.2013.08.024 [4] Berman，Robert J.，“承认K的（{mathbb{Q}}）-Fano变种的K-多稳定性”{a} 赫尔·爱因斯坦指标，发明。数学。，203, 3, 973-1025 (2016) ·Zbl 1353.14051号 ·doi:10.1007/s00222-015-0607-7 [5] Berman，Robert J.，《从Monge-Amp方程到零温度极限下的包络线和测地线》，《数学》。Z.，291，1-2，365-394（2019）·Zbl 1437.32007号 ·doi:10.1007/s00209-018-2087-0 [6] 罗伯特·J·伯曼。；Berndtsson，Bo，K\“空间上\（K\）-能量的凸性{a} 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