利奥尼德·贝里扬;霍曼·奥瓦迪 通量范数方法用于具有非分离尺度和高对比度的有限维均匀化近似。 （英语） Zbl 1229.35009号 架构（architecture）。定额。机械。分析。 198，第2期，677-721（2010）. 作者认为以散度形式书写的椭圆或矢量方程为\[-\text{div}（a（x）\nablau（x））=f（x）\quad\text{或}\quad-\text{div{（C（x）：\varepsilon（u））=b（x）\]并位于（mathbb R^d），（d\geq 2）的有界光滑域（Omega）中。源项\（f）和\（b）分别属于\（L^2（\Omega）\）和\。齐次Dirichlet边界条件被施加在\（\partial\Omega\）上。在椭圆情况下，假设矩阵（a{ij}）在（Omega）中对称且一致椭圆。在第二种情况下，假设四阶张量（C）是L^ infty（Omega）中具有（C_{ijkl}）的一致椭圆。在向量方程中，（varepsilon）表示弹性的线性化变形张量。本文的主要目的是建立这些问题解的有限维近似。构造这些近似的主要思想是将函数（k\in（L^2（Omega））^d）分解为（k=k_{text{pot}}+k_{\text{curl}}），其中（k_{text{potneneneep}）（resp.（分别为（L_{\text{curl}}^2（\Omega）），\（L_{\text{pot}}^2（\Omega）\）（分别是\（L_{\text}curl}}^ 2（\欧米茄）\））是\（C_{0}^ infty（\Omega）中的f:f\的闭包（L^2（欧米茄））^d\）。然后，作者引入了（H_0^1（Omega））上的通量范数（a\text{-flux}}:=\ |（a\tabla\psi）{\text{pot}}（L^2（Omeca））^d}）。对于本文的第一个主要结果，作者介绍了分辨率为\（h\）的\（\Omega\）的正则镶嵌\（\Omega_h\）和\（\Omega_h\）上的分段线性函数集\（｛\mathcal L｝_0^h\）。考虑到（{mathcal L}_0^h）中的每个分段线性节基元（varphi_k），他们引入了具有源项（Delta\varphi_k\）和空间（V_h:=\text{span}{Phi_k\}）的椭圆标量方程的解（Phi_k）。第一个主要结果证明\[\L^2（\Omega）}中的sup_{f\，\]其中，\（C\）仅取决于\（\Omega\）和\（\O mega_h\）单纯形的纵横比。对于具有扰动参考空间（V_h^Q）的椭圆方程，其中（Q）是对称、一致椭圆且无发散的矩阵，以及向量方程，证明了类似的结果。证明这些误差估计的主要工具是通量范数的性质。然后，作者证明了涉及椭圆算子的新不等式。他们将先前的结果应用于非协调Galerkin近似，得到了Cordes条件的新版本。本文最后简要介绍了该方法在均匀化结果推导中的应用。审核人：阿兰·布里拉德（里迪塞姆） 引用于37文件 MSC公司： 35B27型 PDE背景下的均质化；周期结构介质中的偏微分方程 49J45型 涉及半连续性和收敛性的方法；放松 65N30型 含偏微分方程边值问题的有限元、Rayleigh-Ritz和Galerkin方法 2005年第74季度 固体力学平衡问题中的均匀化 35J25型 二阶椭圆方程的边值问题 35J57型 二阶椭圆方程组的边值问题 关键词：二阶椭圆方程;矢量方程;有限维近似;Weyl-Helmholtz分解;通量范数;误差估计;Galerkin近似;绳索状况 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{L.Berlyand}和\textit{H.Owhadi}，Arch。定额。机械。分析。198，第2号，677--721（2010；Zbl 1229.35009） 全文： 内政部 arXiv公司 链接 参考文献： [1] Alessandrini G.，Nesi V.：单叶{\（sigma\）}-调和映射：与拟共形映射的联系。J.分析。数学。90, 197–215 (2003) ·Zbl 1173.30310号 ·doi:10.1007/BF02786556 [2] Allaire G.：均质化和双尺度收敛。SIAM J.数学。分析。23, 1482–1518 (1992) ·Zbl 0770.35005号 ·doi:10.1137/0523084 [3] Allaire 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