基因表达序列分析中类内生物变异的贝叶斯模型

统计模型

单次自动排序的计数过程我-该库通常被建模为伯努利过程和固定的未知标签丰度π_我隐式假定。感兴趣的随机变量“表达式丰富”的pdfπ∈[0；1]n个库是未知的，因此每个库都可以被视为是通过实现π这些特征自然导致混合模型[13,14]以下为：

哪里：（f）（·）是由向量参数化的同一类库中丰度的未知pdfθ,X（X）= (x个₁,...,x个_n个)是总数的矢量n个同类库，米= (米₁,...,米_n个)是库大小的矢量L（左）是每种可能性我-第次观察。

将同一类库中的所有观察结果合并，在统计推断之前构建“伪类库”的常见过程被认为是这种混合模型的一个特例：假设所有库的丰度严格相同，没有生物变异性。从数学上讲，这是一个在单个丰度值上具有无限概率密度的函数π=θ彼此归零π≠θ或Dirac的Delta函数。使用（f）（·）作为约束于[0；1]的Diracδ函数，将公式1转化为常见的二项式分布（参见方法部分的推导）。

我们认为Dirac的Delta是对真实SAGE库的天真描述。贝塔分布是一种具有非零类内方差的替代方法，用于解释它们之间直观预期的生物差异。使用（f）（·）作为等式1中的Beta，产生了所谓的Beta-二项式模型（参见方法一节中的推导）。

给定参数向量θ描述随机变量的π一些固定基因G公司，我们必须确定a类和B类之间是否存在差异（例如，肿瘤类和正常类）。我们建议将基因视为基于A类和B类预测β-pdfs的非重叠差异表达。“预测性”是指我们使用后部Beta pdf中的模式。“非叠加”直观特性在数学上表示为贝叶斯错误率E类[15]以下为：

哪里（f）（·）是Beta pdf，参数上方的“帽子”表示导致后部pdf最大值。这个后部分布照常从贝叶斯统计理论中获得(先验的pdf选择和详细推导见方法部分）。

直观地说，如果pdf“相距很远”，那么该基因可能在不同类别之间具有可复制的差异表达。在这种情况下，很少有人会将A类错误分类为B类和vice-versa类。图​图11对这一事实提供了一些见解。使用我们提出的方法，“相距很远”的概念意味着贝叶斯错误率较小E类对于惯常统计的专家来说，这种证据度量可能类似于一类和二类错误的总和，但它只是一个说明性的类比。

在单独的窗口中打开

图1

贝叶斯错误率图解。此图显示了贝叶斯错误率的两个建议使用示例E类基于表达丰度的pdf定义差异表达基因π左边的例子显示了类的pdf的明显叠加，因此具有该图谱的基因不会提供类之间差异表达的证据。正确的例子显示两个pdf“相距甚远”，具有这种行为的基因应被安全地视为在两个类别之间差异表达。

与任何显著性测试方法一样，实验者必须定义什么是高显著性E类值。此截止值应以外部和独立的验证性测定为指导。为了避免粗糙的决策边界，人们可以对其显著性结果进行排序，但在任何类型的统计测试中都无法避免一些武断性。

在经典的频率统计框架中，如果结果显示P（P）-a中的值≤0.01t吨-like-test，希望这样可以将错误控制在这个级别。然而，由于技术上的困难，例如缺乏后验验证方法的敏感性或高度绝对表达（非差异表达）的必要性，这种明显的统计上合理的结果在语用意义上可能没有用处。这就是为什么我们倾向于对差异表达结果进行排序，并允许研究人员为所选基因建立与其后续应用相兼容的截止值，而不是根据假设推导的错误率截止值对其进行分割。熟悉Frequentist Statistics框架的人可能会错过多个测试注意事项、I型/II型错误研究等。然而，在Bayesian框架中，其中一些关注事项没有意义，因为我们使用的是参数空间而不是样本空间。贝叶斯分析避免了关于“可以观测但没有观测到的数据”的陈述，只使用可用信息（先前的和实验的），从有效观测的数据中提取所有可能的信息。

对于那些被分类为差异表达的基因，应该聚合直观信息，在表达比率中添加“错误条”。最近，我们开发了一种将可信度区间添加到基因表达率的方法[16]，这可以改进后验分析，如聚类[17]或与微阵列数据进行比较。

“伪库”方法作为特例

将来自同一类库的所有观察结果合并，并用其组件的总和构造“伪线性代数”，是使用复制的标准过程。如果使用的话，我们的通用模型将简化为这个（不切实际的）模型（f）（·）作为等式1中的狄拉克三角：

哪里：1{·}是指示符函数。

在公式3中使用公式4，得出：

其中：g(θ)=1，非格式化制服先验的分配。

专家承认θ~β（1+Σx个_我, 1 +Σ米_我-Σx个_我)观测值之和是“伪线性”结构的数学翻译。

特殊情况下的贝塔-二项式方法

在SAGE分析中，唯一允许非零类内方差的公开解决方案是贝塔二项模型[12]. 使用（f）（·）作为等式1中的Beta，我们得到了Beta-二项式模型作为一般模型的特殊情况：

哪里：B类（·）是beta特殊函数，并且：

专家再次承认θ= (θ₁,θ₂)作为Beta随机变量的平均值和标准偏差（stdv）。我们更喜欢贝塔分布的这种参数化，而不是常见的(α,β)一个原因是：（i）生物学家处理平均值和性病病毒比处理抽象值直观得多α和β和（ii）作为α,β>0，域θ={(θ₁,θ₂): 0 ≤θ₁≤ 1, 0 ≤θ₂²<θ₁(1-θ₁)≤1/4}是有界的，更容易进行必要的数值计算。

在等式3中使用等式6得出：

哪里：克(θ₁,θ₂)是先验的pdf格式。

先验分布定义

要完成贝叶斯模型，有必要选择先验的pdf格式。我们在θ上使用均匀分布。另一方面，我们事先知道，如果不考虑课内变异性，该模型的方差不可能小于最终获得的方差。即使类内变异性很小，也不能估计为小于简单抽样误差，因为它们是不可分割的，抽样误差是下限[12]. 举个例子，如果用一把普通的尺子对一个折叠的纸球和一个完美的球体进行几次直径测量，也会出现同样的情况。在第一种情况下，被测物体的固有性质决定了测量的可变性，但在第二种情况下我们无法以比尺子更高的精度来测量完美球体的直径。

这种知识通过以下方式自然地纳入贝叶斯统计先验的分配。为了匹配我们想要的特征，在θ参数空间上定义一个统一的，但约束在最小stdvσ的条件下就足够了，该条件是从类内无方差模型的结果中获得的：

域上θ={(θ₁,θ₂): 0 ≤θ₁≤ 1, 0 ≤θ₂²<θ₁（1）-θ₁) ≤ 1/4}.

因为我们证明了（等式5），类内无方差模型是θ~β（1+∑x个_我, 1 + Σ米_我- Σx个_我)，很容易从Beta方差中获得标准偏差下限：

因此，使用等式8中的等式9和等式10后部已完全定义。

差异表达检测

我们使用贝叶斯错误率检测差异表达的标签E类[15]在两个预测Beta pdf中：

哪里：

请注意（f）（·）是Beta pdf，如等式6所示。“帽子”盖上了θ= (θ₁,θ₂)指示导致公式8达到最大值的值。通常，根据前面定义的约束θ，最大化是在后部的核心，因为它给出了与后部本身：

图​图55显示了此过程的一个示例。请参阅“结果”部分，以直观地了解此证据度量。

在单独的窗口中打开

图5

最大值图解a后部参数估计。在一个人工例子中，给出了方程12的最大后验参数。从中提取“帽子”（箭头所指）参数的二维pdf与等式8中描述的参数成正比。

实施–数值分析

该方法以R语言实现[27,28]根据GPL/GNU版权许可在补充网站上免费提供的脚本[23]. 在这个网页上有关于如何在本地运行它的详细信息。

我们的方法是计算机密集型的，主要是因为需要一些数值最大化和积分。我们使用高效的R内置例程来执行此类数字任务。记住，等式12中所需的最大化是有约束的，因此我们简单地使用辅助重新参数化来获得线性约束，并使用constrOptim R例程。对于数值积分，我们使用了一维高斯积分R内置函数。虽然等式9的数值积分应该在所有[0；1]支持下进行，但此积分的相关贡献集中在一个更小的区域。超过形式极限的积分将导致严重的数值错误，为了避免这个问题，我们将积分区域近似为由每个Beta pdf的0.005分位数和0.995分位数分隔的区间，因为相关密度位于该区间。

如我们最近的工作所述，获得了感兴趣标签表达率的可信度区间（“error-bars”）[16]. 我们任意选择了68%的可信区间。

实施–基于Web的界面

我们还开发了一个易于使用的基于web的服务，该服务在我们的服务器上执行所有计算，并提供密码保护的结果。尽管需要，为了与SAGE Genie数据库自动建立web超链接，但无需明确识别分析的标签，而是任何（自定义）身份证字符串。这可能会增加隐私，或使我们的web界面对“数字北方”、MPSS或任何二项式采样混合的数学相关问题有用。图​图66显示了界面的快照。

在单独的窗口中打开

图6

SAGEbetaBin方法的web界面快照。图中显示了为使我们的方法易于使用而实现的在线工具。研究人员提交他们的数据（A），并在我们完成工作时通过电子邮件接收警报，以及在密码保护的网页（B）中获取结果的指示。如果提供的ID是人类标签（C），则结果与SAGE基因的标签到基因图相关联。本工作中使用的个别观测图形可按需提供（D）。

公开可用数据

表格​表11列出SAGE Genie的文库名称，Gene Expression Omnibus（GEO）[29]所有使用的库的登录代码和大小。

对于我们的目标，将分析集中在标签级别就足够了。因此，我们处理标签计数，并将标签最佳基因匹配的识别作为一个后验问题，只有对真正有趣的标签才能仔细进行。我们选择不处理计数仅出现在一个类的库中的标记。需要注意的是，所有文库都来自散装材料，没有细胞系，并且来自具有类似疾病描述的患者。正常的库来自大脑的不同正常区域。

我们认为该数据集非常具有说明性，因为在肿瘤类别中存在生物复制，可以清楚地验证类别内的生物变异性。另一方面，只考虑一种疾病，即星形细胞瘤III级，而不是数据库中的所有脑肿瘤，会让人相信，类内变异实际上是由于患者的生物多样性，而不是由于SAGE Genie数据库中存储的不同脑肿瘤的非常独特的分子特征。

因此，我们认为生物信息学尽管我们的目的不是对脑肿瘤数据进行详细或生物学分析，但比较非常适合证明处理类内效应的必要性。