圣诞节，波提弗·珀金斯夫人收到了一份非常漂亮的礼物用169块方形丝绸材料制成的拼花被子。谜题是找出其中最小数量的正方形部分被子可以组合起来，并展示它们是如何连接的一起。或者，反过来说，把被子分成几个只需剪掉缝线就可以把部分弄平。（亨利·E·。杜德尼，娱乐数学专业，问题173，珀金斯夫人的被子）

定义一个被子作为由较小的整数正方形制成的正方形。这个秩序被子的尺寸是较小的方块数。这个大小是边缘长度n个被子的厚度。我强烈要求每个人都来试试杜德尼的拼图——把一个13×13的方块分成11个较小的整数边正方形。或者，查找订单1113号被子的解决方案。不可能有更小的订单，所以是一个最佳被子任何理想的被子都是珀金斯夫人的被子。作为一个例子，这里有14到58号的最佳被子。

图1。珀金斯夫人的被子，尺寸14至58。

注意，34×34的解不是四个17×17的正方形。为了保持有趣珀金斯夫人的被子不能有一个共同的因素。如果你计算一下每个溶液中的方块数，你会看到14×14到17×17的每一个都需要12个正方形——它们的顺序是12解决。请注意上述解决方案中的模式。解决方案34×34基本上是17×17的“简单加倍”版本。

对于“重叠加倍”，从23×23开始解决方案，删除5号角正方形，然后添加18号正方形和23。该堆积过程得到41×41的溶液。在上面的方块中，大多数是由较小的方块组成的解决。构建方法简化了分析——Conway和Trustrum能够使用它来显示与订单。对于许多尺寸，堆积并不能提供最佳解决方案。需要一些更不寻常的东西。对于这些，我们需要更多有趣的项目--原始被子.

图2。原始被子——兰斯发现的没有子被子的被子同性恋。

基本体缝合被与完美的方形，可以看作是没有任何重复的被子方块。原始被子不一定是最佳被子，但这并没有减少它们的用处。例如，考虑[13,10,5][5][9,6][10,3][3][3,3][9,9][5,5]. （参见完美方块有关Bouwkamp代码的更多详细信息，请访问链接。）这床被子不是最好的，但它是109号最佳被子的核心。同样，[14,10,5][5][9,6][9.5][3,3][10,10][6,3][3]可以扩展为最佳尺寸153条被子。我将这些解决方案由Lance Gay发送给Richard K.Guy几何中尚未解决的问题（这是问题C3）。理查德研究了这些，然后寄回了最新的199和202、203、344的解决方案。他使用了建筑的方法关于本原解。截至2003年1月7日，以下列表显示黑体字：给定大小的正方形的已知最低顺序n个.

{1| 1},{4|2},{6|3},{7|4},{8|5},{9|6,7},{10|8,9},{11|10-13},{12|14-17},
{13|18-23}, {14|24-29},{15|30-39,41},{16|40,42-53},{17|54-70},{18|71-91},
{19|92-120,122,126}, {20|121,123-125,127-154,157,158},{21|155,156,159-207,209,216},
{22|208,210-215,217-265,268,269,273}, {23|266,267,270-272,274-353,355,361,364,369,373},
{24|354,356-360,362,363,365-368,370-372,374-446,448,450,451,453,456-459,461,468,479}.

上述列表可以通过两种方式进行攻击——计算机程序和手工分析。理查德发现了数十项改进家伙，兰斯·盖伊和杰夫·莫利。如果你能做到最好，拜托联系我，以便列表可以更新。

更多的谜题涉及方块。在下面的问题中正方形有整数边。多米诺群岛(n个×2n个)和托米诺(n个×3n个)由其较短的引用侧面。

图3。问题1中的最小方形填料。(1-51的解决方案)

1. 最小的正方形是什么包含1-37或1-40边的正方形？未解决。(UPIG公司D5中，组织环境信息系统A005842号Robert Reid、Erich Friedman、Minami Kawasaki和Ed Pegg解决了许多有序的方形包装问题50.所列两人身份不明。订单26、28、32、，33、34、38、42、47和48都不太可能适合最小的正方形）。
2. 那个最小的方形是什么可以用两个或多个整数正方形平铺，以便相等大小的方块不接触？（卡尔·谢勒。卡尔的第页,埃里希的第页)
3. 排列带边的正方形1 1 1 12 2 3 3 4 5 7 8 9 10 10 11 13制作一个30×30的正方形。（帕特里克·哈姆林）
4. 除以20×20或23×23分成9个正方形或多米诺骨牌，边长1-9。（埃里希·弗里德曼，多样化方形填料)
5. 除以25×25或26×26分成10个正方形或多米诺骨牌，边长1-10。（埃里希·弗里德曼，多样化方形填料)
6. 除以14×14，17×17，或20×20平方成不同大小的多米诺骨牌和托米诺骨牌。（Ed Pegg Jr，Guenter Stertenbrink）。Ed的第22页10月)
7. 将一个23×23的正方形分成较小的正方形，均为4×4或更大。{扩展：37×377×7或更大，53×53或8×8或更大，59×59，9×9或更大，61×61，10×10或更大）（Erich Friedman，整数方形瓷砖)
8. 将一个矩形分成2个正方形，每个正方形的边为1-15。（埃里奇帕特里克·哈姆林·弗里德曼）(答案)
9. 将大小为1到11的多米诺骨牌打包成一个32×32平方。（埃里希·弗里德曼，多米诺群岛正方形)
10. 除以33×32，81×80，将97×96或98×97矩形分成不同大小方块。（第一个是1925年由Z.Moron发现的。编译自斯图亚特·安德森平方.net)
11. 对于1到n个，的平方它们的总和等于它们的立方体的总和（可由感应）。一个边长为8的立方体可以分为8个“正方形”侧面为1×8×8。类似地，大小为7的立方体可以是分成7个“正方形”，以此类推，直到1×1×1立方体。将这36个正方形排列成1×36×36正方形。这是鲍勃·温赖特的鹧鸪拼图(我的第页,埃里希的第页). 它首先由比尔·卡特勒解决。
12. 将大小为1至17的正方形装入一个39×46的矩形。（尺寸为正方形的最小矩形1至22未知。对于1-24，43×115展示作者：MikeReid，但它没有被验证为最小值。组织环境信息系统A081287号。另请参阅埃里希的堆叠方形)
13. 使用1-24个正方形中的每一个4份，制作一个140×140正方形。（埃里希·弗里德曼）

图4。埃里希·弗里德曼（Erich Friedman）对问题13的解决方案。

这里有很多有趣的问题，其中许多尚未解决，以及现在解决许多问题的时机已经成熟。有整数序列需要扩展。原始解决方案需要系统地建立。解决这些未解决的问题可以通过参考文献中提供的链接进行辅助。我想得到将Perkins夫人的被子优化到300码左右。

附录：

图5。被子制作的新方法。

参考文献：

Anderson，S E.“方形列表”网址：http://www.squaring.net/

J H.Conway“珀金斯夫人的被子”程序。外倾角。菲尔·索克。60(1964), 363-368.

Croft，H T.Falconer，K.J.和Guy，R.K。未解决几何问题施普林格，1991年，第C3节。

DeVincentis，J.“摆平广场”http://members.bellantatic.net/~ devjoe/sqsq/.

Dudeney，H E.中的问题173娱乐数学专业。纽约：多佛，1917年。

Duijvestijn，A J W.，《方形矩形的电子计算》飞利浦研究报告17，523-6131962。

弗里德曼，E。整数方形平铺,非接触式瓷砖,多米诺群岛正方形,鹧鸪包装,多样化方形填料.http://www.stetson.edu/~efriedma/mathmagic/

M·加德纳“珀金斯夫人的被子和其他方形包装问题。"数学狂欢节《复古》，纽约：1977年。

Pegg，E T Jr.《最佳解决方案列表》http://mathpuzzle.com/perkinsbestbestbeds.txt.

Reid，M.“55x90矩形中的1-24平方”，第页，共页娱乐数学v.26，no.4（1994）第318页

Scherer，K.“摆平广场。”http://karl.kiwi.gen.nz/prosqtsq.html.

Sloane，N J A.《在线》中的序列A005670 A005842 A081287整数序列百科全书。"http://www.research.att.com/~njas/序列/.

Trustrum，G B.Perkins夫人的被子，Proc。剑桥菲洛斯。Soc.公司。，(1965)7--11.

魏斯坦，E W。完美的方形,夫人珀金斯被子.埃里克·魏斯坦的《数学世界》。 http://mathworld.wolfram.com/.

我非常感谢Richard K Guy和Lance Gay对此的帮助文章。

数学软件代码：

<<完美广场`
（*此套餐可在http://mathworld.wolfram.com/packages/PerfectSquare.m*)

（*图1*）显示[GraphicsArray[Partition[Graphics[Squares[BouwkampConstruction[#[[1]]]，AspectRatio->自动，PlotRange->全部]&/@MrsPerkinsQuilts/@范围[14，58]，9]，图形间距->{0，0}]];

基本被子={{3,3,8}，{6}，}1,6}、{5,2,1}、}1}，{{7,6,3},{3},{4,5},{4,3},{1,6},{5},{5}},
{{2,4,7,6},{2},{6},{3,3},{3,2,2},{10},{9}},{{9,6,5},{1,4},{7},{5,4},{4},{1,7,7},{6}},
{{12,8},{3,5},{1,2},{8,3,1,1},{2,7},{5}},{{4,8,9},{4},{6,5,1},{4,6},{1,8},{7},{6}},
{{13,6,5},{1,4},{7},{4},{7,6,11},{1,5},{4,4}},{{15,12},{4,8},{8,6,1},{5},{1,7},{6,6},{4,4}},
{{15,13},{6,7},{6,5,4},{9,1},{1,4},{8},{7},{4}},{{12,8,8},{7,9},{9,3},{8,2},{11},{7,2},{5,5}},
{{1,1,3,8,7,12},{2},{5},{2,5},{12,1},{3},{20},{12}},{{4,4,5,20},{7,1},{6},{13},{7,13},{9,4},{1,6},{5}},
{{15,10,10},{8,12},{12,3},{7,4},{3,13},{10},{4,8},{4}},{{8,9,8,11},{8},{3,5},{7,2},{5},{2,9},{7},{20},{16}},
{{17,9,10},{8,1},{11},{11,10,4},{15},{1,9},{4,8},{4}},{{20,8,11},{5,3},{2,12},{7},{19,8},{5,7},{11,2},{9}},
{{8,8,28},{16},{9,7},{5,7,16},{2,5},{11},{3,2},{9},{8}},{{22,13,16},{9,4},{1,15},{5},{14,13,9},{4,20},{1,16},{15}},
{{36,29},{16,13},{14,13,9},{4,9},{4,20,1},{5},{1,16},{15},{14}},
{{25,20,23},{5,12,3},{26},{23,7},{19},{20,3},{7,19},{17,5},{12}}};

（*图2*）显示[GraphicsArray[Partition[Graphics[Squares[BouwkampConstruction[PrimitiveQuilts[[#]]]，纵横比->自动，绘图范围->全部]和/@范围[20]，5] ，图形间距->{0，0}]]；

本专栏中使用的Eric Weisstein的包的拉链是可在数学软件信息中心Eric的相关笔记本在他的夫人珀金斯被子和完美的方形页。对于图1，我使用了一组稍微不同的解决方案，请参见http://www.mathpuzzle.com/perkinsbestbestbeds.txt.在同一个链接中，Lance Gay使用的代码是可用的。

数学游戏档案.

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Ed Pegg Jr.是mathpuzzle.com网站.他在Wolfram Research，Inc.工作，担任数学软件信息中心.