日记账整数序列的，第3卷（2000年），第00.2.8条

摘要：让S公司是由这些确定的正整数集规则：

1是的元素S公司、和
如果x个是的元素S公司，然后是2x个和4x个-1是的元素S公司.

让秒是元素的序列S公司按递增顺序排列。偶数条件秒占领序列给定的等级past-1

      第页= (1,3,4,6,8,9,11,12,14,16,...).

相同的序列给出了无限斐波那契单词中0的秩，0100101001001010... . 那就是，第页(n个) = [n*τ]，其中τ=（1+sqrt（5））/2。

介绍

让S公司是由这些确定的正整数的“自生成集”规则：

1是的元素S公司、和
如果x个是的元素S公司，然后是2x个和4x个-1是的元素美国。

我们问：偶数在S公司在赔率中分布？这个问题建议安排S公司按递增顺序，它给出了序列

(1)   秒= (1,2,3,4,6,7,8,11,12,14,15,16,22,23,24,27,28,30,31,32,43,...).

在秒偶数（2,4,6,8,12，…）和奇数past-1，（3,7,11,15,23，…）占据了相当有趣的位置。对这些位置进行编号在首字母的右边1产生秩-past-1序列。每个正整数正好位于其中一个互补序列。事实上，这些是著名的Beatty系列，被称为威瑟夫序列。下威瑟夫层序，

      第页= (1,3,4,6,8,9,11,12,14,16, ...)

由给定第页(n个) = [n*τ]，其中τ是中庸之道，（1+平方米（5））/2。的补语第页,

      R（右）= (2,5,7,10,13,15,18,20,23,26, ...),

称为上Wythoff序列，满足R（右）(n个) =n个+ [n*τ].

我们在这里注意到，但不要在续集中使用，事实是第页和R（右）给予无穷斐波那契单词0100101001001010…中0和1的秩，通过重复用01替换0，用0替换1来定义。

[2]中序列的条目秒,A052499号,由Henry Bottomley贡献，他指出秒(F类(n个+ 3) - 1) = 2^n个,哪里F类(k个)表示k个第th个斐波那契数，由初值和递推关系给出

      F类(0) = 0,F类(1) = 1,F类(n个+ 2) =F类(n个) +F类(n个+1）用于n个≥ 0.

有关上述其他序列的更多信息，请参见A000201号（下部威瑟夫层序），A001950号（上威瑟夫层序）和A003849号[2]中的（无限斐波那契单词）。

主要结果

鸟瞰证据的观点是：确定秒可以以类似于生成序列的方式生成t吨正整数与非负整数的倍数τ,按递增顺序排列，然后显示evens-past-1秒与中的正整数占据相同的位置t。

引理1。序列秒在（1）中是由它的初始值和归纳决定的。我们有：

（i）秒(1) = 1,秒(2) = 2,秒(3) = 3,秒(4) = 4,秒(5) = 6,秒(6) = 7.

（ii）任意假设n个≥ 3,米= 3,4,...,n个和我=F类(米+3）-1表示

(2)   秒(我) = 2^米,

(3)    (秒(我+ 1),秒（i+2），。。。，秒(我+F类(米) - 1))

        = (2^米+秒(F类(米+ 1)), 2^米+秒(F类(米+ 1) + 1), ..., 2^米+秒(F类(米+ 2) - 2)),

(4)    (秒(我+F类(米)),秒(我+F类(米) + 1), ...,秒(我+F类(米+ 2) - 1))

        = (2^米+秒(F类(米+ 2) - 1), 2^米+秒(F类(米+ 2)), ..., 2^米+秒(F类(米+ 3) - 2)).

那么方程（2）-（4）适用于所有正整数n个≤ 3.

证明：方程式（2）-（4）明确适用于n个= 3. 这样就足以证明，当米被替换为米+ 1. 首先，我们将显示元素的数量x个在里面S公司让人满意的

(5)    2^{米+ 1}≤x个≤ 2^{米+ 2}- 1

是F类(米+ 3). 根据归纳假设，元素的数量五在里面S公司这样的话

(6)    2^米≤五≤ 2^{米+ 1}- 1

是F类(米+2）和元素数量u个在里面S公司这样的话

(7)    2^{米- 1}≤u个≤ 2^{米- 1}

是F类(米+ 1). 每个x个在里面S公司必须是2五对一些人来说五作为在（6）中，否则为4u个-部分为1u个如（7）所示，只有一个例外：4*2^{米- 1}- 1不是x个满意（5）；另一方面，4*（2^米-1）-1是一个x个在里面S公司满足（5），因此x个在里面S公司满足（5）是

(8)   F类(米+ 2) + (F类(米+ 1) - 1) + 1 =F类(米+ 3).

写入米+1个用于米在（3）中，获取F类(米+1）-1个数字

        2^{米+ 1}+秒(j)，用于j=F类(米+ 2), ...,F类(米+ 3) - 2.

如果秒(j) = 2u个对于u个在里面S公司，然后2^{米+ 1}+秒(j) = 2*(2^米+u个),元素S公司自2起^米+u个是的元素S公司.如果秒(j) = 4五-1个用于五在里面S公司，然后是2^{米+ 1}+秒(j) = 4*(2^{米- 1}+五) - 1是的元素S公司自2起^{米- 1}+五是的元素美国。因此，（3）右侧的数字都在S公司.

写入米+1个用于米在（4）中，获取F类(米+2）数量

      2^{米+ 1}+秒(j)，用于j=F类(米+ 3), ...,F类(米+ 4) - 2.

正如刚刚在（3）中证明的那样，所有这些数字都在S公司.

最后，2^{米+ 1}= 2*2^米，英寸S公司.总之，方程式（8）计算了F类(米+3）数字S公司出现在（2）-（4）的左侧，以及F类(米+3）右侧数字（2）-（4）的侧面已被证明位于S公司.现在注意到，通过归纳，右侧的这些数字是按递增顺序列出的，因此顺序相同和左边的一样。

现在我们来看下威瑟夫层序的类似发展。让N个= {1,2,3,...}和T型=N接头{k*τ:k个= 0,1,2,...}.让t吨是元素的序列T型按递增顺序排列。

引理2。序列t吨由其初始值和归纳法确定。我们有：

（i）t吨(1) = 0,t吨(2) = 1,t吨(3) =τ,t吨(4) = 2,t吨(5) = 3,t吨(6) = 2*τ.

（ii）任意假设n个>3和米= 1,2,...,n个和我=F类(米+3）-1表示

(2')   t吨(我) =F类(米+ 2) - 1,

(3')    (t吨(我+ 1),t吨（i+2）。。。，t吨(我+F类(米) - 1)) =

        (w个(F类(米+ 1)) +t吨(F类(米+ 1)),w个(F类(米+ 1) + 1) +t吨(F类(米+ 1) + 1), ...,w个(F类(米+ 2) - 2) +t吨(F类(米+ 2) - 2)),

(4')    (t吨(我+F类(米)),t吨(我+F类(米) + 1), ...,t吨(我+F类(米+ 2) - 1)) =

        (w个(F类(米+ 2) - 1) +t吨(F类(米+ 2) - 1),w个(F类(米+ 2)) +t吨(F类(米+ 2)), ...,w个(F类(米+ 3) - 2) +t吨(F类(米+ 3) - 2)),

哪里w个(j) =F类(米+1）如果t吨(j)是一个整数，并且w个(j) =τ*F(米)如果t吨(j) =k*τ对于某个整数k个,

对于j=F类(米+ 1), ...,F类(米+ 3) - 2.那么方程（2）-（4）适用于所有正整数n个>3.

证明：很容易检查方程（2'）-（4'）是否成立n个= 3.这足以证明当他们持有米被替换为米+ 1.按照引理1的证明方法，我们应显示元件数量x个在里面T型让人满意的

(5')   F类(米+ 3) - 1 ≤x个≤F类(米+ 4) - 1

是F类(米+ 3).根据归纳假设年在里面T型这样的话

(6')   F类(米+ 2) - 1 ≤年≤F类(米+ 3) - 1

是F类(米+2）和数量年在里面T型这样的话

(7')   F类(米+ 1) - 1 ≤年≤F类(米+ 2) - 1

是F类(米+ 1).因此x个在里面T型满意（5'）是

        F类(米+ 2) +F类(米+ 1) =F类(米+ 3).

我们有t吨(0) <t吨(1) <t吨(2) <t吨(3) <t吨(4) <t吨(5) <t吨(6) <t吨(7).继续归纳，我们将证明F类(米+3）（2'）-（4'）右侧的数字，它们是显然在T型，按递增顺序。让t吨(j) <t吨(j+1）为（3'）中的相邻术语，以及（4'）合并；即。，F类(米+ 1) ≤j≤F类(米+ 3) - 3.我们考虑四种情况：

   案例一：t吨(j)英寸N个和t吨(j+1）英寸N个.给，

      w个(j) +t吨(j) =F类(米+ 1) +t吨(j) <F类(米+ 1) +t吨(j+ 1) =w个(j+ 1) +t吨(j+ 1).

   案例二：t吨(j)英寸N个和t吨(j+ 1) =k*τ对一些人来说k个在里面N个.如果米那就奇怪了w个(j) =F类(米+ 1) <τ*F(米) =w个(j+1），以便

(9)    w个(j) +t吨(j) =F类(米+ 1) +t吨(j) <τ*F(米) +k*τ=w个(j+ 1) +t吨(j+ 1).

如果米即使如此，我们也必须更加努力：F类(米+ 1)/F类(米)是收敛于τ，因此是最好的近似值（Lang[1]，1-11），这意味着

(10)   F类(米+ 1) -τ*F(米) <k*τ- [k*τ]对于1≤k个≤F类(米+ 1) - 1.

因此，特别是，F类(米+ 1) -τ*F(米) <t吨(j+ 1) -t吨(j)自t吨(j+ 1) =k*τ对一些人来说k个作为在（10）中，因此（9）适用。

   案例三：t吨(j) =k*τ对一些人来说k个在里面N个和t吨(j+1）英寸N个.与情况（ii）类似的论点产生

      w个(j) +t吨(j) =τ*F(米) +k*τ<F类(米+ 1) +t吨(j+ 1) ≤w个(j+ 1) +t吨(j+ 1).

   案例四：t吨(j) =k*τ和t吨(j+ 1) = (k个+ 1)*τ对一些人来说k个在里面N个.这不可能发生，因为

      k*τ< [(k个+ 1)*τ] ≤ (k个+ 1)*τ.

因此，（2'）-（4'）右侧的编号与左侧的编号相同，并以相同的顺序列出。

定理。偶数项的秩-秩-1序列秒由给定第页(n个) = [n*τ].

证明：引理1建立了（2）-（4）右侧的数字是相同的订单，

      秒(我),秒(我+ 1), ...,秒(我+F类(米+ 2) - 1),

哪里我=F类(米+3）-1，用于米= 3,4,..., 和秒(我) = 2^米.自秒(我+F类(米+ 2) - 1) = 2^{米+ 1}-1，我们有

秒(我+F类(米+ 2) - 1) <秒(F类(米+ 4) - 1) < 2^{米+ 1}.

因此，（2）-（4）右侧的数字以及六个初始值归纳地说明了整个序列。

让ρ(n个)在…中排名秒，在首字母之后第1页，共页n个第二学期。六个初始项（1,2,3,4,6,7）产生ρ(1) = 1,ρ(2) = 3,ρ（3） =4，符合第页(1) = 1,第页(2) = 3,第页（3） =4作为中整数的秩-past-0t吨= (0, 1,τ, 2, 3, 2*τ, ...).

为了证明这一点ρ(n个) =第页(n个)为所有人n个≥3，我们再次参考归纳定义（2）-（4）和（2'）-（4'）。让

      秒(j(1)),秒(j(2)), ...,秒(j(q个)),     (j(1) <j(2) < ... <j(q个))

表示满足（2）-（4）的偶数。那么满足（5）的平均数是

(11)   2^米+秒(j(1)), 2^米+秒(j(2)), ..., 2^米+秒(j(q个)),

它们的等级由（2）-（4）左侧的下标确定。假设作为一个归纳假设

      t吨(j(1)),t吨(j(2)), ...,t吨(j(q个))

是满足（2'）-（4'）的整数。则满足（5'）的整数为

      F类(米+ 1) +t吨(j(1)),F类(米+ 1) +t吨(j(2)), ...,F类(米+ 1) +t吨(j(q个)).

它们的等级由（2'）-（4'）左侧的下标确定。自这些下标与（11）的下标完全匹配，我们有ρ=第页.

的前0个n个第个整数int吨是整数1,2,...,n个连同[n/τ]无理数τ, 2*τ, ..., [n/τ]*τ以便ρ(n个) =n个+ [n/τ] = [n*τ]. 自第页=ρ，我们得出结论第页(n个) = [n*τ]的n个= 1,2,3, ... .

工具书类

[1] 谢尔盖·朗。丢番图逼近简介，艾迪森·韦斯利，1966年。

[2] 斯隆，新泽西州。在线整数序列百科全书，电子发布于http://oeis.org.

 

（与序列有关A000045号 A000201号 A001950号 A003849号 A052499美元.)

2000年10月4日收到；发表于《整数序列杂志》2000年12月5日。