素数之间的差距
作者：Chris Caldwell
内容：
- g的介绍和定义(n个)
- 限制信息(n个)=1（？）和lim-sup g(n个) =无穷大
- 记录间隙表和图表
- g上的边界(第页)
- g怎么样(第页)/日志(第页)，克(第页)/（日志第页)2?
1.g的介绍和定义(n个)
人们经常问连续素数之间的差距可能有多大得到。在回答这个问题之前，让我们首先仔细定义差距（有两种不同的标准定义）。对于每个素数第页 让g(第页) 是介于第页和下一个素数.所以出租第页n个成为n个我们有第个素数：
第页n个+1=第页n个+克(第页n个) + 1.
也就是说，克（pn个)是间隙的（大小）之间第页n个和第页n个+1.
由素数定理我们知道那里大约是n个/日志(n个)（自然对数）素数小于n个，所以素数之间的“平均差距”小于n个是日志(n个).但这些差距能有多大？我们将讨论下面是这个问题的几个方面。
2.限制信息(n个)=1（？）和lim-sup g(n个) =无穷大
首先注意g(第页)=1，对于双素数第页,第页+2.所以从孪生素数猜想中我们得到了猜想（几乎可以肯定true）该g(第页)=1无限频繁（或等效lim inf g(n个) = 1).
第二个注意到g(第页)可以任意大n个是任何大于1的整数，并考虑以下因素连续整数序列：
n个!+2,n个!+三，n个!+4,n个!+5, ...,n个!+n个
注意，2除以第一，3除以第二。。。，n个划分这个n个-首先，显示所有这些数字都是合成的！所以如果第页最大素数小于n个!+2我们有g(第页) >n个-1.显然应该有更小的数字产生相同的差距。对于例如，在质数428422883925351之后有一个777个复合材料的缺口——这个是产生777间隙的最小素数，它远小于778!+2（1914位）。（而不是使用n个!, 一也可以使用较小的n个素数阶乘:n个#).
在最后一段中，我们展示了lim-sup g(n个)=无穷大，但我们期望更多，因为“平均差距”是关于对数的(n个).1931年Westzynthius[Westzynthius韦斯特森提乌斯31] 证明了
酸橙酱(n个)/日志第页n个=无穷大
这意味着每一个ß>0有无限多素数第页带有g(第页) >ß日志第页.之前我们还说，我们应该看看一些数字证据。
3.记录间隙表和图表
在下表中，我们列出了最大间隙到381。这些是第一次出现的间隙至少这个长度。对于例如，在底漆277900416100927之后有879个复合材料的缺口。这是首次出现此长度的间隙，但仍然不是自905复合材料以来的最大间隙遵循较小的素数218209405436543[尼斯99].
表1。间隙首次出现(更长的桌子可用.)
| 间隙 |
之后 |
间隙 |
之后 |
间隙 |
之后 |
间隙 |
之后 |
| 0 |
2 |
33 |
1327 |
117 |
1349533 |
247 |
191912783 |
| 1 |
三 |
35 |
9551 |
131 |
1357201 |
249 |
387096133 |
| 三 |
7 |
43 |
15683 |
147 |
2010733 |
281 |
436273009 |
| 5 |
23 |
51 |
19609 |
153 |
4652353 |
287 |
1294268491 |
| 7 |
89 |
71 |
31397 |
179 |
17051707 |
291 |
1453168141 |
| 13 |
113 |
85 |
155921 |
209 |
20831323 |
319 |
2300942549 |
| 17 |
523 |
95 |
360653 |
219 |
47326693 |
335 |
3842610773 |
| 19 |
887 |
111 |
370261 |
221 |
122164747 |
353 |
4302407359 |
| 21 |
1129 |
113 |
492113 |
233 |
189695659 |
381 |
10726904659 |
对于每个非负整数克让第页(克)是紧跟在后面的最小素数克复合材料。这个表格告诉我们第页(148) =第页(149) = ... =第页(153) =4652353。参见[尼斯99]和[NN99型]以获取信息将该表扩展到1132个最大间隙的搜索。我们给出了一个更完整的单独页面上的最大间距列表。另请参阅Jens克鲁斯·安徒生的第页，共页顶部二十个缺口.
对于上表中的数值我们已绘制ln第页(克)（该自然对数）与克在右边的图表中。也许你可以开始明白为什么Shanks在1964年猜测
自然对数第页(克)~平方米(克),
Weintraub在1991年估计
自然对数第页(克)~平方米（1.165746克).
4.g上的边界(第页)
可以对g设定上限(第页)给定第页.由素数定理我们可以显示每个实数e（电子）>0并且有一些整数米0总是有一个质数第页令人满意的米<第页< (1 +e（电子）)米（对于每个米>米0)
这表明g(第页) <电动自行车为所有人第页>最大(米0,1+1/e（电子）).或者更简洁地说，g(第页n个) <电动自行车n个对于n个>n个0。这里有几个特定的对e（电子）,n个0引用自[里宾博伊姆95第252-253页]：
- 克(第页n个) < (1/5)第页n个对于n个>9（长村，1952年）
- 克(第页n个) < (1/13)第页n个对于n个>118（Rohrbach&Weis，1964）
- 克(第页n个) < (1/16597)第页n个对于n个>2010760（Schoenfeld 1976）
1937年，英格姆改进了霍海塞尔的开创性工作，以证明(第页) 以恒定时间为界第页5/8+每股（对于每一个eps>0）。许多人都在5/8上有所改进，这是我所知道的最新记录由于R.Baker和G.Harman，为0.535[BH96型]（但毫无疑问，到目前为止，这一点已经有所改善）。
5.克呢(第页)/日志第页，克(第页)/（日志第页)2?
再次，素数定理证明了g的平均值(第页)/日志第页是一，但我们对序列{g了解多少(第页)/日志第页}? 里奇[里奇56]展示了那套这组极限点的个具有正Lebesgue测度，但到目前为止唯一被证明的极限点是无穷大（如上所述）[参见EE85标准，第22页]。
lim-inf g的各种上界(第页)/日志第页已经发现，包括0.248[迈尔85]（当然，孪生素数猜想和素数k元组猜想都需要下限为零）。在一个相关的猜想中[克拉梅尔36]我猜想
酸橙酱(第页)/（日志第页)2= 1.
格兰维尔改变了克拉默的推测，表明它低估了规模差距。格兰维尔推测，对于任何常数c（c）较少的比欧拉伽马射线：
克(第页)>第2页-c（c）日志2 第页
无限频繁。这里的常数来自于与Merten的类比定理。
这能被证明吗？还没有，但克雷默确实证明了这一点如果这个黎曼假设保持，然后我们得到的结果要弱得多：
克(第页) <k个 第页1/2日志第页。
关于这两个猜想和定理还有很多要说的这些间隙的大小以及给定间隙发生的频率。。。为什么不直接消费第4.2节（“Then个第个素数和间距“）[里宾博伊姆95].