多少个素数有?

内容：

1. 简介：提出正确的问题
   • π(x个)素数小于或等于x个
   • π值表(x个)
2. 素数定理
   • 后果一：你可以近似π(x个)带有x个/（单位：lnx个- 1)
   • 后果二：这个n个th素数是关于n个自然对数n个
   • 后果三：随机整数的机会x个素数约为1/lnx个
3. 历史素数定理和其他近似π的(x个)
4. 还有更好的估计！

  1.引言：提出正确的问题

2300多年前欧几里德证明那个素数是无限的，所以我想到了两个可能的问题：

1. 让x个> 0. 比数字x少多少质数？
2. 有无穷多个素数，但无穷大有多大？

本文档将重点讨论第一个问题。第二个问题是在页面上讨论“无穷大有多大？."

1.1. π(x个)素数小于或等于x个

让x个是一个正实数。问题是“有多少素数小于x个?“经常被问及答案有一个名称：

25以下的素数是2、3、5、7、11、13、17、19和23，所以π（3）=2，π（10）=4和π（25）=9下一个小节.）看下图，注意π图(x个)用于较小的值x个.

现在备份并查看π图的更大部分(x个).

所以即使π(x个)是“本地”不规则的，其价值观有一定的趋势。  (图表到1000000.)

在本文中，我们将研究函数π(x个)素数定理（量化了这一趋势）和π的几个经典近似(x个).

1.2. π值表(x个)

对于较小的值x个在这个表中（比如10000000000）π的值(x个)可以通过查找和计数所有素数。

在计算机时代之前，许多数学家形成了素数表。 分布最广的是D.N.Lehmer的素数表到10006721[莱默尔14]. 到目前为止，最令人惊叹的是库利克于1867年完成的一张桌子列出了整数（即所有素数）的最小因子100,330,200!

19世纪70年代，梅塞尔发明了一种计算π的聪明方法(x个)远在已知的素数表之外，并在1885年（有点错误）计算了π（10⁹). 1959年和1985年，D.H.Lehmer简化了Meissel的方法Lagarias、Miller和Odlyzko改进了筛分技术[LMO85型].

1994年，德莱格利什和里瓦特[DR96（DR96）]再次改进了该技术以找到π（10）的值¹⁷)和π(10¹⁸).德雷格利什继续了这项工作π（10）的求法²⁰)和其他值（参见他的电子邮件属于1996年4月18日和191996年6月).请参见里塞尔94对于关于如何进行这些计算的实际信息。

Xavier Gourdon的分布式计算项目确定π（4*10²²),但是当他们发现计算中至少有一个误差π(10²³).  托马斯·奥利维拉·席尔瓦广泛的价值表π的(x个)和圆周率₂(x个). 2007年他重新评估了π（10²³)以获取值桌子。该计算在一台机器上完成2008年验证。

π（10）的给定值²⁴)通过假设未经证实的J.Buethe、J.Franke、A.Jost、T.Kleinung的黎曼假说。他们的方法“是与Lagarias和Odlyzko描述的相似，但使用了Weil显式公式而不是复杂的曲线积分”（参见电子邮件宣布结果2010年7月）。该值后来被无条件验证作者：D.J.Platt[平板2012].

2013年5月，J.Buethe、J.Franke、A.Jost和T.Kleinjung完成了π（10^25）的计算无条件地使用基于Weil显式公式的分析方法。

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2.素数定理：逼近π(x个)

尽管素数的分布似乎是随机的（可能有）无限多的孪生素数和（绝对）任意大的间隙素数之间），函数π(x个)表现出奇地好：在事实上，它已经被证明了（参见下一节)即：

就π而言(x个)我们会写：

这（大致）意味着x个/在x个是π的良好近似(x个)--但是在我们考虑这个和其他后果之前，让我们更具体一点：

"一(x个)是渐近的到b条(x个)“和"一(x个)~ b条(x个)“两者都意味着限制（作为x个接近无穷大）一(x个)/b条(x个)为1。

如果你没有微积分，这意味着你可以一(x个)/b条(x个)只要要求就可以接近1x个足够大了。 警告：一个(x个)~b条(x个)做不意思是那个一(x个)-b条(x个)很小！例如，x个²渐近于x个²-x个但他们之间的区别，x个，变得任意大x个转到无穷大。

结果一：你可以近似π(x个)带有x个/（单位：lnx个- 1)

素数定理清楚地表明，您可以使用x个/（单位：lnx个-一)（任何常数一)近似π(x个).  The素数定理是用一=0，但它有已显示那个一=1是最好的选择。

有更长的桌子在下面和（仅π（x））在上面.

例子：最近有人给我发了一封电子邮件，要求我列出全部的最多300个数字的素数。自从素数定理意味着这个列表将有大约1.4*10²⁹⁷我们知道的条目不可能有这样的列表！

注意Pierre Dusart[杜萨特99]表明如果x个>那么598

（上限适用于所有人x个>1.）这给了一个紧束缚对于较大的x个.注意x个/在x个<π(x个)的x个> 10.

后果二：n个第个素数是关于n个自然对数n个

让p(n个)成为n个第个素数。很容易证明数字定理等价于

[参见哈代和赖特，第10页]。A类更好的估计是

[参见里宾博伊姆95第249页]。

例子：这些公式预测第一百万素数大约是分别为13800000和15400000。事实上，第一百万个素数是15485863。

在这些界限上有了许多改进；例如，罗宾[罗宾83]表明如果n个>8601[实际上罗宾错误地使用了7021]，然后

最近，马西亚斯和罗宾[MR96型]表明如果n个 >那么是15985

如果n个 >13，然后

（哪个更适合大n个). 皮埃尔·杜萨尔[杜萨特99]使这些结果更加有力

为所有人n个Dusart的文章也给出了更好的界限更接近以下众所周知的渐近展开式中的下一项第页_n个.  这个渐近展开式的第一项是由Cipolla给出的[Cipolla1902年]1902年：

阿盖恩里宾博伊姆95和里塞尔94是查找更多信息的绝佳起点。顺便说一下，如果你对n个小的th素数n个（说小于1000000000），然后使用这个n个第个主页."

后果三：随机整数的概率x个存在素数约为1/lnx个

让x个是一个正整数。自大约x个/在x个的x个小于或等于的正整数x个是素数其中一个是质数大约是1/lnx个.

例子：假设我想找到一个1000位数的素数。如果我是选择1000位整数x个到素性检验 随机地然后我想测试一下ln（10¹⁰⁰⁰)第页，共页或者在找到素数之前大约2302个整数。显然如果我用奇数我可以将这个估计值乘以1/2，如果我选择整数不能被3整除，那么我可以乘以2/3，。。。

另一种说法是素数的密度小于x个是约1/lnx个。下面是小的值x个.

   3.素数定理的历史

1798年，勒让德发表了关于π大小的第一个重要猜想(x个),在他的书中Nombres河畔Essai他说

显然，勒让德猜想等价于素数定理常数1.08366基于他的π值有限表(x个)（只去了x个= 400,000).从长远来看，1是一更好的选择勒让德的1.08366。

高斯也在研究素数表，并提出了不同的估计（可能第一次考虑是在1791年），1849年在给恩克的信中传达1863年首次出版。

再次注意，高斯猜想等价于素数定理。 让我们比较一下这些估计：

在这张桌子上Gauss'Li(x个)总是大于π(x个)，这是适用于所有小型x个 >2.然而，1914年，利特伍德证明了π(x个)-李(x个)假设正值和负值无限频繁。1986年，Te Riele表示¹⁸⁰连续整数x个其中π(x个)>李(x个)6.62之间^.10³⁷⁰和6.69^.10³⁷⁰.

切比雪夫在质数证明方面取得了第一个真正的进展1850年的定理，表明存在正常数一 <1< b条这样的话

还有那个如果π(x个)/（x/ln x）有一个极限，那么它的值必须是一个。西尔维斯特于1982年改进了切比雪夫的方法我们可以使用一=0.95695和b条=1.04423，如果x个很大够了。（1962年，研究表明，我们可以使用一=1代表所有x个> 10 [RS62型].)

最后，在1896年，Hadamard和独立的de la Vallée Poussin完全地素数定理的证明利用黎曼关于π的工作(x个)复zeta函数。德拉瓦莱·普桑也证明了那个Gauss'Li(x个)是π的更好近似值(x个)大于x/（lnx个-一)无论给常量赋值是什么一（而且一为1）。更好的近似值其中任何一个都是黎曼函数[里宾博伊姆91,里塞尔94].

1949年Atle Selberg[塞尔伯格49]和Paul Erdös[埃尔德49]独立给出素数定理的第一个初等证明--这里，初等意味着不使用现代复杂分析——事实上是它们的证明非常困难！一个更容易阅读（但不太基本）的证明在哈代和赖特的文本[HW79型第节。22.15-16].

最后，当哈达玛和德拉瓦莱·普桑证明了Prime（主要）数论，他们实际上展示了

对于某些正常数一。错误项取决于已知Riemann-zeta函数在临界带。随着我们对该地区规模的了解增加误差项减小。1901年，von Koch表明黎曼假设相当于更严格的估计：

   4.更准确的估计

本页重点介绍了素数定理的最简单形式，但π的估计要好得多(x个).直截了当地说，黎曼-泽塔函数提供了一种给出精确公式的方法对于π(x个)通过对zeta函数的非平凡零点求和（按大小递增的顺序）。

（在素数处，π的图形(x个)向上增加一个单位，这个公式接近中间的值步骤） 上述第一项（也是主导项）称为黎曼函数R(x个).

R的最后一个表格(x个)是Graham级数，是计算此函数的一种很好的方法。  右边的图表显示了近似R的接近程度(x个) 是，至少对于较小的值x个. 对于最小的x个值如下（对于大型x个).

要了解这些近似值的接近程度，请参见令人印象深刻的偏差表Andrey Kulsha著。

马修·沃特金斯（Matthew R.Watkins）也有一个美丽的发展这些信息和一些优秀的动画。

警告

很容易看到上面显示Li的图表(x个)（蓝色），R(x个)（黑色），π(x个)（红色）和x个/在x个（绿色）；然后宣布“R(x个)是π的最佳估计(x个).“确实如此是针对那个范围的，但正如我们前面提到的，李(x个)-π(x个) 经常无限变换符号，李(x个)将是最佳价值。A.E.英格姆这样说：

以前，Riemann建议的一个函数相当重要，它近似于π（x）。。。该函数表示π（x），对于π（x）的所有x值具有惊人的精度计算，但我们现在看到它相对于Li（x）的优势是虚幻的。。。对于x的特殊值（大到我们请）一个近似值与真实值的偏差将和另一个一样大。

…我们可以用同样的方式看到函数Li（x）-（1/2）Li（x^1/2)是“平均值”比Li（x）到π（x）的近似值更好；但后面的条款不重要在黎曼公式中，甚至通过重复平均。

问题是，非平凡零的贡献有时会淹没除主项以外的所有项这些扩张。