加泰罗尼亚数字

这个加泰罗尼亚数字，或加泰罗尼亚层序，在中有许多有趣的应用组合数学.

这个 $n个$ 第个加泰罗尼亚数字由以下公式给出：

C_{n}=\frac{\binom{2n}{n}}{n+1},

哪里 $\binom{n}{r}$ 代表二项式系数。前几个加泰罗尼亚数字是 $1$ , $1$ , $2$ , $5$ , $14$ , $42$ , $132$ , $429$ , $1430$ , $4862$ ，…（参见OEIS序列 http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi？Anum=000108A000108了解更多术语）。加泰罗尼亚数字也由递推关系

C_{0}=1,\qquad C_{n}=\sum_{i=0}^{n-1}C_{i}C_{n-1-i}.

例如， $C_{3}=1\cdot 2+1\cdot 1+2\cdot 1=5$ , $C_{4}=1\cdot 5+1\cdot 2+2\cdot 1+5\cdot 1=14$ 等。

加泰罗尼亚数字的普通生成函数为

\sum_{n=0}^{\infty}C_{n}z^{n}=\frac{1-\sqrt{1-4z}}{2z}.

解释的 $n个$ 第个加泰罗尼亚数字包括：

1

安排方式的数量 $n个$ 成对匹配括号，例如：

$()$

$(())\text{ }()()$

$((()))\text{ }(()())\text{ }()(())\text{ }(())()\text{ }()()()$
2

凸多边形的路径数 $n+2$ 侧面可以分为 $n个$ 三角形.
三。

有根二叉树的数量 $n+1$ 树叶。

加泰罗尼亚序列是以尤金·查尔斯·加泰罗尼亚语命名的，但它是由尤勒在1751年试图解决将多边形细分为三角形的问题时发现的。

工具书类

1 罗纳德·L·。唐纳德·格雷厄姆。Knuth和Oren Patashnik。具体数学. Addison-Wesley，1998年。 http://www.emis.de/cgi-bin/zmen/ZMATH/enquick.html？type=html-an=0836.001Zbl公司0836.00001.

标题	加泰罗尼亚数字
标准名称	加泰罗尼亚数字
创建日期	2013-03-22 12:29:51
上次修改时间	2013-03-22 12:29:51
所有者	布赫（348）
上次修改者	布赫（348）
数字id	11
作者	布赫（348）
条目类型	定义
分类	msc 05A10号机组
同义词	加泰罗尼亚层序
相关主题	中心二项式系数
相关主题	中心二项式系数的渐近性