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用法
- {{经证实的声明|类=班|ID编号=身份证件|姓名=名称|作者=作者|年=年|声明=陈述|证明=证明}}
哪里
- 班是(已证明语句的)类,即。提议(默认),引理,定理和推论;
- 身份证件是可选ID(例如。第1页)也可以通过在其前面加上类(例如。#提案P1);
- 名称是命题/引理/定理/推论的可选名称(例如。勾股定理);
- 作者(或作者)是证明命题/引理/定理/推论(例如。毕达哥拉斯);
- 年是命题/引理/定理/推论证明的可选出版年份(例如。1763);
- 陈述是命题/引理/定理/推论的陈述;
- 证明是命题/引理/定理/推论的证明(Halmos公司,即。□,自动附加到证明中)。
示例
“欧拉{{}}定理”属于(…){{证明语句|class=定理|ID=T1|name=Euler{{'}}定理|author=[[Leonhard Euler|Euler]]|年份=1763|语句=给定一个整数{{math|'n''''{rel|ge}2|tex=n\ge2|&}}和一个到{math|'n'''|tex=n|&}{[[coprime]]的整数{数学|'n''|tex},[[congrence]]{math|1'b''{{Gr|varphi}}}“{sp|1}}('n')}{rel|equiv}}1{{pmod|'n''}}|tex=b^{\varphi(n)}\equiv 1\pmod{n}|&}},其中{{math|'{Gr|varphi}}'{sp|1}}('n')|tex=\varphi(n)|&}}是[[Euler的totiten函数|Euler{{'}}的totitent函数]],保持不变。|证明=考虑{{math|''{Gr|varphi}}''{sp|1}}('n'')|tex=\varphi(n)|&}}数字{{math |{set |'b'','a''{sub|2}}{sp|2}{}'''',''a''a“{{sub|”{{Gr|varphi}}“{sp|1}}(''n')}}{sp|2}''b'}}|tex=\{b,a_2b,a_3b,\ldots,a{varphi(n)}b\}|&}},其中{math|{set |1,'a',{sub|2}}a“{{sub|'{Gr|varphi}}'”{{sp|1}}('n')}}}|tex=\{1,a_2,a_3,\ldots,a{\varphi(n)}\}|&}}是{math|'n''''|tex=n|&}的整数互质(即{math|'n''的[totaces]])。这些都是不同的且非零的{{math|{{pmod|'n''''}}|tex=\pmod{n}|&}},因为{{math |'b''|tex=b|&}{是{math|'n'''|tex=n|&}的互质。事实上,如果{{math|''u''{{sp|1}}''b''{{rel|equiv}}'v''{sp|1{}'''b'{{pmod|'n''}|tex=u b\equivvb\pmod{n}|&}},那么{math|'u''}},因为我们可以“取消{{math|''b''''tex=b|&}}”({{math |'b'''tex=b |&}是{{math2|'n''tex=n|&}{的互质)。因此,我们有{{math|''{Gr|varphi}}''{{sp|1}}('n'')|tex=\varphi(n)|&}}数字,所有数字都不同,并且它们都不是{math|0{pmod|'n''}}|tex=0.\pmod{n}|&}}。因此,它们必须与{{math|1、'a'、{{sub|2}}、''a''、{sub|1}}…、''同余按一定顺序排列为“{{sub|'”{{Gr|varphi}}“{{sp|1}}('n')}},|tex=1,a_2,a_3,\ldots,a{varphi(n)},|&}}。将它们相乘,我们得到{{math|'P''{{=}}{{Gr|Pi}}{sub|''{Gr|varphi}}''}}('n'')''{{^|''{Gr|varphi{}}''{sp|1}}|{{Gr|Pi}}{sub|''{Gr|varphi}}''}}('n'')|tex=\Pi_{\varphi}(n)|&}}是{math|'n''|tex=n|&}的[[共矩阵]]。因此,它们的乘积与{{math|{{Gr|Pi}}{{sub|''{Gr|varphi}}'}}(''n''){{pmod|'n''}}|tex=\Pi_{\varphi}(n)\pmod{n}|&}}是同余的。现在这个产品有两个表达式,所以我们可以将它们等同起来:{{math|{{Gr|Pi}}{{sub|''{Gr|varphi}}'}}('n'')'b''{Gr|varphi}}''{sp|1}}('n''){{pmod|'n''''}}|tex=\Pi_{\varphi}(n)\,b^{\varfi(n。现在{{math|{{Gr|Pi}}{sub|''{Gr|varphi}}''}}(''n'')|tex=\Pi_{\varphi}(n)|&}}是{math|'n''|tex=n|&}{的互质,所以我们可以再次取消,给出{math|1'b''{rel|equiv}}1{{pmod|'n'''}}|tex=b^{\varphi(n)}\equiv1\pmod{n}|&}}。}}[[Fermat的小定理|Fermat{{'}的小定理]]是[[#定理T1|Euler{{'{}的定理]]的特例,因此(…)
欧拉定理属于(…)
定理T1(欧拉定理,1763)。 (欧拉)
给定一个整数和一个整数 互质到,的同余 ,其中是欧拉方向函数,保持不变。
证明。考虑一下数字{b条,一2 b条,一三 b条, ...,一φ (n个) b条} |
,其中这些整数是互质的吗(即总计属于). 这些都不同而且不为零,自是互质的的确,如果,然后,因为我们可以“取消” (与…互质). 所以我们有数字都不一样,但没有一个是.因此它们必须与按一定顺序。将它们相乘,我们得到,其中是共同犯罪的属于因此,他们的产品与.现在,我们有两个用于此产品的表达式,因此可以将它们等同起来:Πφ(n个)b条 φ (n个) ≡ Πφ(n个)(修订版n个) |
.现在是互质的,因此我们可以再次取消. □
费马小定理是的特例欧拉定理因此(…){{定理|authors=[[Euclid]]–[[Ethan D.Bolker|Bolker]]|statement=有无穷多个[[Prime numbers | primes]]。|证明=用{{math|{{mathbb|P}}|tex=\mathbb{P}|&}}指定所有质数的集合。由于{{mathfont|2}}是质数,{{math |{mathbb|P}}|tex=\mathbb{P}|&}}不是[[空集]]。我们现在将证明,{{math|{mathbb|P}}|tex=\mathbb{P}|&}}的有限子集{{math |''Q''|tex=Q|&}不存在,它穷尽{math|{mathbb |P}}|tex=\mathbb{P}|&}{。让{{'}s将非空子集{{math|'Q''|tex=Q|&}}的元素指定为{{math |'Q''{sub|1}},…,''q“{{sub|{card|'q'}}|tex=q_1,\ldots,q_{card| q|tex}}|&}},然后计算{{math|'m'{{=}}1+{prod|''''{{={}}1|{card |'q'}}}'q'{{sub |'''}}}{sp|1}}|stex=m=1+\prod_'{i=1}^{{卡片|q|tex}}}q_i|&}}。{{“|[[算术基本定理]]|”}}意味着有一个素数{{math|'p''|tex=p|&}},它将{{math2|'m''|stex=m|&}分开。由于没有{math|''q''{sub|''''}}|tex=q_i|&}}除法{math|'m''|tex=m|&}{,因此可以得出{math''p''{sym|notin}'q''|tex=p\notinQ|&}和{math''q'{rel|neq}}{mathbb|p}}|stex=q\neq\mathbb{p}|&}neneneep第页。因此,{{math|{{mathbb|P}}|tex=\mathbb{P}|&}}是无限的<ref>Ethan D.Bolker,“初等数论:代数方法”。米诺拉,纽约:多佛出版社(1969年,2007年再版):第6页,定理5.1}}
定理。 (欧几里得–博尔克)
有无限多素数.
证明。指定人所有质数的集合。自2是质数,不是空集合。我们现在将证明不存在有限子集属于排气管。让我们指定非空子集的元素作为,然后计算.“算术基本定理“意味着有一个质数哪一个分开了.因为没有划分,因此和因此,是无限的。[1] □
默认类示例
{{证明语句|类=|ID=P1|name=一些已证明的语句名称|author=某个作者|年=|语句=|证明=}}
命题P1(一些已证明的语句名称)。 (一些作者)
需要声明! (添加语句) [2]
证明。这里有证据。 □ (提供证据:此处有证据。□) [3]
命题示例
{{命题|ID=P1|name=某个命题名称|author=某个作者|语句=主张声明。|证明=命题证明。}}
命题P1(某个命题名称)。 (一些作者)
主张声明。
证明。命题证明。 □
引理示例
{{引理|内径=L1|name=一些引理名|author=某个作者|语句=引理语句。|证明=引理证明。}}
引理L1(一些引理名称)。 (一些作者)
引理语句。
证明。引理证明。 □
定理示例
{{定理|ID=T1|name=一些定理名称|author=某个作者|语句=定理陈述。|证明=定理证明。}}
定理T1(某些定理名称)。 (一些作者)
定理陈述。
证明。定理证明。 □
推论示例
{{推论|ID=C1|name=某些必然名称|author=某个作者|语句=推论性声明。|证明=推论证明。}}
推论C1(一些推论名称)。 (一些作者)
推论性声明。
证明。推论证明。 □
代码
要做的其他模板(其他模板要做) [4](这些不涉及证明):算法、原理、定律、公设、公理、定义、符号。
<noinclude>{{Documentation}}</noinclude><includeonly><--使用此模板的模板:命题、引理、定理、推论要做的其他模板(这些模板不涉及证明):算法、猜想、假设、论文、原理、定律、定义、符号--><blockquote class=“{{#if:{{class|}}|{lc:{{cols}}}}|proposition}}”<---->id=“{{#if:{{id|}}|{#if:{{class|}}|{ucfirst:{lc:{{classis}}}}{}}}|Proposition}}{{id}}}”><---->“”{{#if:{{{class|}}|{{ucfirst:{{lc:{{classe}}}}|Proposition}}<---->{{#if:{{ID|}}|{{ID}}}}{{#if:{{name|}}|({{name}}{#if:{{year|}}|,{{year}}})}}.''---->{{#if:{{author|}}|''({{auth|}})'}}<!---->{{#if:{{作者|}}|''({{作家|}})'}}<!---->{{nl|2}}{{#if:{{statement|}}|{{statiment}}|需要声明!{{Todo|add语句}}}<---->{{nl|2}}“证明”{{#if:{{{proof|}}|{{proof}}}□|这里有证据。□{{待办|证明}}}}</blockquote><!---->{{#开关:{{#if:{{{class |}}}|{{lc:{{{class}}}}}|命题}}|推论=[[类别:包含推论的文章]]|引理=[[类别:包含引理的文章]]|命题=[[类别:包含命题的文章]]|定理=[[类别:包含定理的文章]]}}</仅包括>
另请参见
笔记
- ↑ 伊桑·D·博克,初等数论:代数方法米内奥拉,纽约:多佛出版物(1969年,2007年再版):第6页,定理5.1
- ↑ 要做的:添加语句。
- ↑ 需要证据。
- ↑ 待办事项:其他模板待办事项。