关系简化

关系简化和关系可约性与给定的关系由一组其他关系决定，称为关系数据集。正在检查的关系称为还原剂。关系数据集通常由关系集上的指定关系组成，称为减速器，的还原法，或关系步骤，加上一组其他关系，称为还原剂或关系基础其中每一个都以特定的方式比所研究的关系简单得多。

关系约简或关系可约性的问题有时被提出为关系重构或关系可重构性，因为陈述这个问题的一个有用的方法是问还原能不能从还原物中重建。

不是由特定关系数据集唯一确定的关系称为不可约的就在这方面。不是由特定类关系数据集中的任何关系数据集唯一确定的关系称为不可约的就这一类而言。

讨论

使关系可约性的一般问题无法完全明确定义的主要原因是，人们必须调查“从旧关系中获得新关系”的所有可想象的方式，以便准确地说出关系的主张意味着什么 ${\显示样式L}$ 可简化为一组关系 $｛\displaystyle｛L_｛j｝：j\ in j\｝。｝$ 这相当于声称一个人可以得到一组非常简单关系 ${\显示样式L_{j}}$ 对于值 ${\显示样式j}$ 在给定的索引集中 ${\显示样式J}$ 这些数据的收集足以修复原始关系 ${\显示样式L}$ 一个人正在寻求分析、确定、指定或综合。

然而，在实践中，对特定应用程序的恰当讨论通常取决于两种不同的可还原性概念中的一种，即：

成分减少。
低于预测的减少。

碰巧，这两个可约性概念之间存在着有趣的关系，其含义可以在讨论基本概念的同时进行部分讨论。

关系的射影可约性

从投影约简这部分是因为这种简化更简单、更直观（在视觉上），但也因为在投影环境中，在任何情况下都需要一些概念工具。

要直观投影如何在多维关系上运行，通常需要记住以下几何图像：

图片a ${\显示样式k}$ -adic关系 ${\显示样式L}$ 作为一个存在于 ${\显示样式k}$ -维度空间 ${\显示样式X.}$ 如果关系的域 ${\显示样式L}$ 是 ${\显示样式X_{1}，\ldots，X_{k}，}$ 然后延伸关系的 ${\显示样式L}$ 是笛卡尔积的子集 ${\显示样式X=X_{1}\times\ldots\times X_{k}.}$

在此设置中，间隔 ${\显示样式K=[1，K]=\{1，\ldot，K\}}$ 被称为索引集的索引族共台 $｛\displaystyle X_｛1｝，\ldots，X_｛k｝。｝$

对于任何子集 ${\显示样式F}$ 索引集的 ${\显示样式K，}$ 有相应的集合子族， ${\显示样式\{X_{j}:j\在F\}，}中$ 在这个子家族中有相应的笛卡尔积，记为 ${\displaystyle\textstyle X_{F}=\prod_{j\在F}X_{j}.}中$

对于任何一点 ${\显示样式x}$ 在里面 ${\显示样式X，}$ 这个投影属于 ${\显示样式x}$ 关于子空间 ${\显示样式X_{F}}$ 标记为 $｛\displaystyle\mathrm｛proj｝_｛F｝（x）。｝$

更一般地说，对于任何关系 ${\显示样式L\subseteq X，}$ 投影 ${\显示样式L}$ 关于子空间 ${\显示样式X_{F}}$ 写为 ${\显示样式\mathrm{proj}_{F}（L）}$ 或者更简单地说 ${\显示样式\mathrm{proj}_{F} L。}$

关于投影归约对于 ${\显示样式k}$ -adic关系可以用以下方式进行适度的概括：

给定一组 ${\显示样式k}$ -在同一空间中放置关系 ${\显示样式X}$ 和一组投影 ${\显示样式X}$ 对于相关的子空间，投影是否提供了足够的数据来区分不同的关系？

三元关系的射影可约性

主要条款：三元关系

通过举例说明在考虑关系的射影可约性时可能发生的各种情况，可以方便地重复使用在该主题的主要文章中讨论的四个3-adic关系示例。

射影不可约关系的例子

三元关系 ${\显示样式L_{0}}$ 和 ${\显示样式L_{1}}$ 如下两个表所示：

${\显示样式L_{0}~=~\{（x，y，z）\in\mathbb{B}^{3}:x+y+z=0\}}$
${\显示样式X}$	${\显示样式Y}$	${\显示样式Z}$
${\显示样式0}$	${\显示样式0}$	${\显示样式0}$
${\显示样式0}$	${\显示样式1}$	${\显示样式1}$
${\显示样式1}$	${\显示样式0}$	${\显示样式1}$
${\显示样式1}$	${\显示样式1}$	${\显示样式0}$

${\显示样式L_{1}~=~\{（x，y，z）\in\mathbb{B}^{3}:x+y+z=1\}}$
${\显示样式X}$	${\显示样式Y}$	${\显示样式Z}$
${\显示样式0}$	${\显示样式0}$	${\显示样式1}$
${\显示样式0}$	${\显示样式1}$	${\显示样式0}$
${\显示样式1}$	${\显示样式0}$	${\显示样式0}$
${\显示样式1}$	${\显示样式1}$	${\显示样式1}$

A类二元投影关于3-adic关系 ${\显示样式L}$ 是删除表中的一列后产生的2-adic关系 ${\显示样式L}$ 然后删除所有内容恰好相同的结果行，只留下一行。换句话说，忽略任何重复行的多重性。

在上述两种关系的情况下， ${\显示样式{L_{0}，L_{1}~\substeq~X\times Y\times Z~\cong~\mathbb{B}^{3}}，}$ 2-adic投影由保留的列或域进行索引，如下表所示。

${\显示样式\mathrm{proj}_{XY}左_{0}}$
${\显示样式X}$	${\显示样式Y}$
${\显示样式0}$	${\显示样式0}$
${\显示样式0}$	${\显示样式1}$
${\显示样式1}$	${\显示样式0}$
${\显示样式1}$	${\显示样式1}$

${\显示样式\mathrm{proj}_｛XZ｝L_{0}}$
${\显示样式X}$	${\显示样式Z}$
${\显示样式0}$	${\显示样式0}$
${\显示样式0}$	${\显示样式1}$
${\显示样式1}$	${\显示样式1}$
${\显示样式1}$	${\显示样式0}$

${\显示样式\mathrm{proj}_{YZ}左_{0}}$
${\显示样式Y}$	$｛\displaystyle Z｝$
${\显示样式0}$	${\显示样式0}$
${\显示样式1}$	${\显示样式1}$
${\显示样式0}$	${\显示样式1}$
${\显示样式1}$	${\显示样式0}$

${\显示样式\mathrm{proj}_{XY}左_{1}}$
${\显示样式X}$	${\显示样式Y}$
${\显示样式0}$	${\显示样式0}$
${\显示样式0}$	${\显示样式1}$
${\显示样式1}$	${\显示样式0}$
${\显示样式1}$	${\显示样式1}$

${\显示样式\mathrm{proj}_{XZ}左_{1}}$
${\显示样式X}$	${\显示样式Z}$
${\显示样式0}$	${\显示样式1}$
${\显示样式0}$	${\显示样式0}$
${\显示样式1}$	${\显示样式0}$
${\显示样式1}$	${\显示样式1}$

${\显示样式\mathrm{proj}_{YZ}左_{1}}$
${\显示样式Y}$	${\显示样式Z}$
${\显示样式0}$	${\显示样式1}$
${\显示样式1}$	${\显示样式0}$
${\显示样式0}$	${\显示样式0}$
${\显示样式1}$	${\显示样式1}$

经检查，以下三个方程成立：

{\displaystyle\mathrm{proj}_{XY}（L_{0}）~=~\mathrm}proj}_{XY{（L_1}）}

{\displaystyle\mathrm{proj}_{XZ}（L_{0}）~=~\mathrm}proj}_{XZ{（L_1}）}

{\displaystyle\mathrm{proj}_{YZ}（L_{0}）~=~\mathrm}proj}_{YZ{（L_1}）}

这些方程式表明 ${\显示样式L_{0}}$ 和 ${\显示样式L_{1}}$ 不能仅仅基于它们的二维投影数据来彼此区分。在这种情况下，每个关系都被认为是关于2-adic投影是不可约的由于2-元投射的可约性是唯一一个涉及3-元关系约化的有趣例子，因此习惯上更简单地说，这种关系是射影不可约，2-adic基础被理解。从定义来看，射影不可约关系总是出现在相互不可分辨关系的非平凡倍数中。

射影可约关系的例子

三元关系 ${\显示样式L_{\mathrm{A}}}$ 和 ${\显示样式L_{\mathrm{B}}}$ 如下两个表所示：

${\displaystyle L_{\mathrm{A}}~=~{\text{口译员A}}}的符号关系$
${\显示样式{\text{Object}}}$	${\显示样式{\text{符号}}}$	${\显示样式{\text{解释}}}$
${\显示样式\mathrm{A}}$	${\显示样式{}^{\backprime\backprime}\mathrm{A}{}^}\prime\prime}}$	${\显示样式{}^{\backprime\backprime}\mathrm{A}{}^}\prime\prime}}$
${\显示样式\mathrm{A}}$	${\显示样式{}^{\backprime\backprime}\mathrm{A}{}^}\prime\prime}}$	${\显示样式{}^{\backprime\backprime}\mathrm{i}{}^}\prime\prime}}$
${\显示样式\mathrm{A}}$	$｛\displaystyle｛｝^｛\backtime\backtime｝\mathrm｛i｝｛｝^｛\prime\prime｝｝$	${\显示样式{}^{\backprime\backprime}\mathrm{A}{}^}\prime\prime}}$
${\显示样式\mathrm{A}}$	${\显示样式{}^{\backprime\backprime}\mathrm{i}{}^}\prime\prime}}$	${\显示样式{}^{\backprime\backprime}\mathrm{i}{}^}\prime\prime}}$
${\显示样式\mathrm{B}}$	${\显示样式{}^{\backprime\backprime}\mathrm{B}{}^}\prime\prime}}$	${\显示样式{}^{\backprime\backprime}\mathrm{B}{}^}\prime\prime}}$
${\显示样式\mathrm{B}}$	${\显示样式{}^{\backprime\backprime}\mathrm{B}{}^}\prime\prime}}$	${\显示样式{}^{\backprime\backprime}\mathrm{u}{}^}\prime\prime}}$
${\显示样式\mathrm{B}}$	${\显示样式{}^{\backprime\backprime}\mathrm{u}{}^}\prime\prime}}$	${\显示样式{}^{\backprime\backprime}\mathrm{B}{}^}\prime\prime}}$
${\显示样式\mathrm{B}}$	${\显示样式{}^{\backprime\backprime}\mathrm{u}{}^}\prime\prime}}$	${\显示样式{}^{\backprime\backprime}\mathrm{u}{}^}\prime\prime}}$

${\displaystyle L_{\mathrm{B}}~=~{\text{口译员B}}}的符号关系$
${\显示样式{\text{Object}}}$	$｛\displaystyle｛\text｛Sign｝｝｝｝$	${\显示样式{\text{解释}}}$
${\显示样式\mathrm{A}}$	${\显示样式{}^{\backprime\backprime}\mathrm{A}{}^}\prime\prime}}$	${\显示样式{}^{\backprime\backprime}\mathrm{A}{}^}\prime\prime}}$
${\显示样式\mathrm{A}}$	${\显示样式{}^{\backprime\backprime}\mathrm{A}{}^}\prime\prime}}$	${\显示样式{}^{\backprime\backprime}\mathrm{u}{}^}\prime\prime}}$
${\显示样式\mathrm{A}}$	${\显示样式{}^{\backprime\backprime}\mathrm{u}{}^}\prime\prime}}$	${\显示样式{}^{\backprime\backprime}\mathrm{A}{}^}\prime\prime}}$
${\显示样式\mathrm{A}}$	${\显示样式{}^{\backprime\backprime}\mathrm{u}{}^}\prime\prime}}$	${\显示样式{}^{\backprime\backprime}\mathrm{u}{}^}\prime\prime}}$
${\显示样式\mathrm{B}}$	${\显示样式{}^{\backprime\backprime}\mathrm{B}{}^}\prime\prime}}$	${\显示样式{}^{\backprime\backprime}\mathrm{B}{}^}\prime\prime}}$
${\显示样式\mathrm{B}}$	$｛\displaystyle｛｝^｛\backtime\backtime｝\mathrm｛B｝｛｝^｛\prime\prime｝｝$	${\显示样式{}^{\backprime\backprime}\mathrm{i}{}^}\prime\prime}}$
${\显示样式\mathrm{B}}$	${\显示样式{}^{\backprime\backprime}\mathrm{i}{}^}\prime\prime}}$	${\显示样式{}^{\backprime\backprime}\mathrm{B}{}^}\prime\prime}}$
${\显示样式\mathrm{B}}$	${\显示样式{}^{\backprime\backprime}\mathrm{i}{}^}\prime\prime}}$	${\显示样式{}^{\backprime\backprime}\mathrm{i}{}^}\prime\prime}}$

在两个符号关系的情况下， ${\显示样式L_{\mathrm{A}}，L_{\tathrm{B}}~\substeq~X\次Y\次Z~\cong~O\次S\次I，}$ 2-adic投影由保留的列或域进行索引，如下表所示。

${\displaystyle\mathrm{proj}_{XY}（L_{\mathrm}A}）}$
${\显示样式{\text{Object}}}$	${\显示样式{\text{符号}}}$
${\显示样式\mathrm{A}}$	${\显示样式{}^{\backprime\backprime}\mathrm{A}{}^}\prime\prime}}$
${\显示样式\mathrm{A}}$	${\显示样式{}^{\backprime\backprime}\mathrm{i}{}^}\prime\prime}}$
${\显示样式\mathrm{B}}$	${\显示样式{}^{\backprime\backprime}\mathrm{B}{}^}\prime\prime}}$
$｛\displaystyle\mathrm｛B｝｝$	${\显示样式{}^{\backprime\backprime}\mathrm{u}{}^}\prime\prime}}$

${\displaystyle\mathrm{proj}_{XZ}（L_{\mathrm}A}）}$
${\显示样式{\text{Object}}}$	${\显示样式{\text{解释}}}$
${\显示样式\mathrm{A}}$	${\显示样式{}^{\backprime\backprime}\mathrm{A}{}^}\prime\prime}}$
${\显示样式\mathrm{A}}$	${\显示样式{}^{\backprime\backprime}\mathrm{i}{}^}\prime\prime}}$
${\显示样式\mathrm{B}}$	$｛\displaystyle｛｝^｛\backtime\backtime｝\mathrm｛B｝｛｝^｛\prime\prime｝｝$
${\显示样式\mathrm{B}}$	${\显示样式{}^{\backprime\backprime}\mathrm{u}{}^}\prime\prime}}$

${\displaystyle\mathrm{proj}_{YZ}（L_{\mathrm}A}）}$
${\显示样式{\text{符号}}}$	${\显示样式{\text{解释}}}$
${\显示样式{}^{\backprime\backprime}\mathrm{A}{}^}\prime\prime}}$	${\显示样式{}^{\backprime\backprime}\mathrm{A}{}^}\prime\prime}}$
$｛\displaystyle｛｝^｛\backtime\backtime｝\mathrm｛A｝｛｝^｛\prime\prime｝｝$	${\显示样式{}^{\backprime\backprime}\mathrm{i}{}^}\prime\prime}}$
${\显示样式{}^{\backprime\backprime}\mathrm{i}{}^}\prime\prime}}$	${\显示样式{}^{\backprime\backprime}\mathrm{A}{}^}\prime\prime}}$
${\显示样式{}^{\backprime\backprime}\mathrm{i}{}^}\prime\prime}}$	${\显示样式{}^{\backprime\backprime}\mathrm{i}{}^}\prime\prime}}$
${\显示样式{}^{\backprime\backprime}\mathrm{B}{}^}\prime\prime}}$	${\显示样式{}^{\backprime\backprime}\mathrm{B}{}^}\prime\prime}}$
${\显示样式{}^{\backprime\backprime}\mathrm{B}{}^}\prime\prime}}$	${\显示样式{}^{\backprime\backprime}\mathrm{u}{}^}\prime\prime}}$
${\显示样式{}^{\backprime\backprime}\mathrm{u}{}^}\prime\prime}}$	${\显示样式{}^{\backprime\backprime}\mathrm{B}{}^}\prime\prime}}$
${\显示样式{}^{\backprime\backprime}\mathrm{u}{}^}\prime\prime}}$	${\显示样式{}^{\backprime\backprime}\mathrm{u}{}^}\prime\prime}}$

${\displaystyle\mathrm{proj}_{XY}（L_{\mathrm}B}）}$
${\显示样式{\text{Object}}}$	${\显示样式{\text{符号}}}$
${\显示样式\mathrm{A}}$	${\显示样式{}^{\backprime\backprime}\mathrm{A}{}^}\prime\prime}}$
$｛\displaystyle\mathrm｛A｝｝$	${\显示样式{}^{\backprime\backprime}\mathrm{u}{}^}\prime\prime}}$
${\显示样式\mathrm{B}}$	${\显示样式{}^{\backprime\backprime}\mathrm{B}{}^}\prime\prime}}$
${\显示样式\mathrm{B}}$	${\显示样式{}^{\backprime\backprime}\mathrm{i}{}^}\prime\prime}}$

${\displaystyle\mathrm{proj}_{XZ}（L_{\mathrm}B}）}$
${\显示样式{\text{Object}}}$	${\显示样式{\text{解释}}}$
${\显示样式\mathrm{A}}$	$｛\displaystyle｛｝^｛\backtime\backtime｝\mathrm｛A｝｛｝^｛\prime\prime｝｝$
${\显示样式\mathrm{A}}$	${\显示样式{}^{\backprime\backprime}\mathrm{u}{}^}\prime\prime}}$
${\显示样式\mathrm{B}}$	${\显示样式{}^{\backprime\backprime}\mathrm{B}{}^}\prime\prime}}$
${\显示样式\mathrm{B}}$	${\显示样式{}^{\backprime\backprime}\mathrm{i}{}^}\prime\prime}}$

${\displaystyle\mathrm{proj}_{YZ}（L_{\mathrm}B}）}$
${\显示样式{\text{符号}}}$	${\显示样式{\text{解释}}}$
${\显示样式{}^{\backprime\backprime}\mathrm{A}{}^}\prime\prime}}$	${\显示样式{}^{\backprime\backprime}\mathrm{A}{}^}\prime\prime}}$
${\显示样式{}^{\backprime\backprime}\mathrm{A}{}^}\prime\prime}}$	${\显示样式{}^{\backprime\backprime}\mathrm{u}{}^}\prime\prime}}$
${\显示样式{}^{\backprime\backprime}\mathrm{u}{}^}\prime\prime}}$	${\显示样式{}^{\backprime\backprime}\mathrm{A}{}^}\prime\prime}}$
${\显示样式{}^{\backprime\backprime}\mathrm{u}{}^}\prime\prime}}$	${\显示样式{}^{\backprime\backprime}\mathrm{u}{}^}\prime\prime}}$
${\显示样式{}^{\backprime\backprime}\mathrm{B}{}^}\prime\prime}}$	${\显示样式{}^{\backprime\backprime}\mathrm{B}{}^}\prime\prime}}$
${\显示样式{}^{\backprime\backprime}\mathrm{B}{}^}\prime\prime}}$	${\显示样式{}^{\backprime\backprime}\mathrm{i}{}^}\prime\prime}}$
${\显示样式{}^{\backprime\backprime}\mathrm{i}{}^}\prime\prime}}$	${\显示样式{}^{\backprime\backprime}\mathrm{B}{}^}\prime\prime}}$
${\显示样式{}^{\backprime\backprime}\mathrm{i}{}^}\prime\prime}}$	${\显示样式{}^{\backprime\backprime}\mathrm{i}{}^}\prime\prime}}$

检查表明，以下三个不平等现象成立：

｛\displaystyle\mathrm｛proj｝_｛XY｝（L_｛\mathrm｛A｝｝）~\neq~\mathrm｛proj｝_｛XY｝（L_｛\mathrm｛B｝）｝

{\displaystyle\mathrm{proj}_{XZ}

{\displaystyle\mathrm{proj}_{YZ}（L_{\mathrm}A}}）~\neq~\mathrm{proj{{YZ{（L_

这些不平等表明 ${\显示样式L_{\mathrm{A}}}$ 和 ${\显示样式L_{\mathrm{B}}}$ 可以根据它们的2-adic投影数据相互区分。但这还不足以说明它们中的任何一个都可以投影地还原为它们的2-adic投影数据。要说3-adic关系在这方面是射影可约的，必须证明它可以与每一个其他3-adic关系仅基于2-adic投影数据。

换句话说，为了表明一个3元关系 ${\显示样式L}$ 在 ${\显示样式O\时间S\时间I}$ 是可约的或可重构的在2-adic投射意义下，有必要证明 ${\显示样式L'}$ 在 ${\显示样式O\时间S\时间I}$ 存在的原因是 ${\显示样式L}$ 和 ${\显示样式L'}$ 具有相同的投影集。要证明这一点，需要对 ${\显示样式O\时间S\时间I}$ 而不是一次只看一两个关系。

事实。碰巧，每个关系 ${\显示样式L_{\mathrm{A}}}$ 和 $｛\displaystyle L_｛\mathrm｛B｝｝｝$ 是由它的2-adic投影唯一确定的。这可以通过下面给出的证明看出。

然而，在处理证明之前，它将加快从其他文章中回忆一些想法和符号的速度。

如果 ${\显示样式L}$ 是包含域的一组域上的关系 ${\显示样式U}$ 和 ${\显示样式V，}$ 然后是缩写符号 ${\显示样式L_{UV}}$ 可以用于投影 ${\displaystyle\mathrm{proj}_{UV}（L）.}$

反转投影的操作会询问较大空间的哪些元素投影到较小空间的给定元素上。投影到的图元集 ${\显示样式x}$ 在给定的投影下 ${\显示样式f}$ 被称为纤维属于 ${\显示样式x}$ 在下面 ${\显示样式f}$ 并被写入 ${\显示样式f^{-1}（x）}$ 或 ${\显示样式f^{-1}x。}$

如果 ${\显示样式X}$ 是一个有限集基数属于 ${\显示样式X，}$ 书面的 ${\显示样式\mathrm{卡片}（X）}$ 或 $｛\displaystyle|X|，｝$ 表示中的元素数 ${\显示样式X.}$

证明。让 ${\显示样式L}$ 是其中之一 ${\显示样式L_{\mathrm{A}}}$ 或 ${\显示样式L_{\mathrm{B}}.}$ 考虑任何坐标位置 ${\显示样式}$ 在中 ${\显示样式SI}$ -平面 ${\显示样式S\时间I.}$ 如果 ${\显示样式}$ 不在中 $｛\displaystyle L_｛SI｝｝$ 那么就没有元素了 ${\显示样式（o，s，i）}$ 在里面 ${\显示样式L，}$ 因此，我们可能会把注意力局限在位置上 ${\显示样式}$ 在里面 ${\显示样式L_{SI}，}$ 知道至少存在 ${\显示样式|L_{SI}|=8}$ 中的元素 ${\显示样式L，}$ 并且只寻求确定什么对象 $｛\displaystyle o｝$ 存在这样的情况 ${\显示样式（o，s，i）}$ 是中的元素纤维属于 ${\显示样式。}$ 换句话说，为了什么 ${\显示样式o}$ 在里面 ${\显示样式O}$ 是 ${\显示样式（o，s，i）}$ 在光纤中 ${\显示样式\mathrm{proj}_{SI}^{-1}（s，i）？}$ 现在，情况是 ${\显示样式L_{OS}}$ 只有一个元素 ${\显示样式（o，s）}$ 对于每个坐标 $｛\displaystyles｝$ 在里面 ${\显示样式S}$ 还有那个 ${\显示样式L_{OI}}$ 只有一个元素 ${\显示样式（o，i）}$ 对于每个坐标 ${\显示样式i}$ 在里面 ${\显示样式I，}$ 加上相同的“巧合” ${\显示样式o}$ 在任何一个选择 $｛\displaystyle（s，i），｝$ 告诉我们 ${\显示样式L}$ 只有一个元素 ${\显示样式（o，s，i）}$ 在每个点上 ${\显示样式S\时间I.}$ 总之，这证明了 ${\显示样式L_{\mathrm{A}}}$ 和 ${\显示样式L_{\mathrm{B}}}$ 在信息意义上可简化为2元关系的3元组，即射影2-根可约.