关系构成

关系构成，或关系，是函数组合的泛化，或函数组合。以下对关系构成的处理采用“强类型”方法处理关系理论.

前期工作

有几种方法可以将关系的主题形式化。关系及其组合可以用相对术语的逻辑、各种集合论以及通过将范畴论从函数扩展到一般关系来描述。

业务的第一步是定义关系上的操作，这些关系被称为关系的构成,关系合成，或相对乘法在探讨更一般的结构时，最好从二元和三元关系的构成开始。

作为对用法的附带观察，有许多不同的语法约定用于表示应用程序和关系的组合，通常使用的选项可能比函数的应用程序和组合的常见选项更多。在这种情况下，标准化的可能性很小，因为约定的便利性与使用环境有关，并且相同的作者在不同的设置中使用不同风格的语法，这取决于分析和计算的便利性。

句法变化的第一个维度与操作顺序和页面上术语的线性顺序之间的对应关系有关。

语法变化的第二个维度与在没有括号标记的关联的情况下，对术语关联的自动假设有关。这对于一般关系来说是一个重要因素，因为随着组成的复杂性和关系维度的增加，通常的结合性属性都会丢失。

这两个因素共同产生了以下四种语法风格：

LALA=左侧应用，左侧关联。

LARA=左侧应用，右侧关联。

RALA=右应用，左关联。

RARA=正确的应用程序，正确的关联。

定义

要定义关系合成的概念，它概括了通常的功能合成概念：

作曲在右边,${\显示样式f:X\到Y}$然后${\显示样式g:Y\到Z}$ 结果为复合函数制定为${\显示样式fg:X\到Z.}$

作曲在左边,${\显示样式f:X\到Y}$然后${\显示样式g:Y\到Z}$ 结果为复合函数制定为${\显示样式gf:X\到Z.}$

注释。功能组成的普通符号是组成符号，一个小圆“${\显示样式\circ}$“写在正在编写的函数的名称之间，作为${\显示样式，}$但是，如果不存在将函数的组成与其代数乘积混淆的风险，则通常会省略符号。在成分和产品同时出现的上下文中，要么在每次出现时都标记成分，要么使用中心点“${\显示样式\cdot}$“，作为${\显示样式f\cdot g.}$

沿着平行线概括范式作文一对并元关系的形式如下：

作曲在右边,${\显示样式P\subseteq X\times Y}$然后${\显示样式Q\subseteq Y\times Z}$ 结果为复合关系制定为${\显示样式PQ\subseteq X\times Z.}$

作曲在左边,${\显示样式P\subseteq X\times Y}$然后${\显示样式Q\subseteq Y\times Z}$ 结果为复合关系制定为${\显示样式QP\subseteq X\times Z.}$

几何结构

有一种简洁的方法可以用几何术语定义关系合成，不仅可以显示它们与任何笛卡尔乘积的投影操作的关系，而且还可以建议将关系合成推广到二元情形以外，甚至具有任何固定arity的关系之外的自然方向，形式语言作为广义关系的一般情况。

这种看待关系成分的方式有时被称为塔斯基的诡计，因为他在作品中特别善于使用它（乌拉姆和贝德纳雷克，1977）。它为想象力提供了一种几何方式，使一对二元关系的关系构成可视化，通过将具体的图像附加到基本的集合论运算中来实现这一点，即交集、投影和与投影相反的某类运算，这里称为默认扩展.

塔斯基的戏法是通过强调两个主题之间的联系来实现的，这两个主题起初可能看起来完全无关，即：

• 使用逻辑连词，如符号所示${\displaystyle\land，}$在形式的表达中${\显示样式F（x，y，z）=G（x，y）\land H（y，z，}$定义三元关系${\显示样式F}$根据一对并元关系${\显示样式G}$和${\显示样式H.}$

• 二元的概念投影和射影测定，在“弱”概念中被调用射影可约性.

关系构成${\显示样式G\circ H}$一对并元关系${\显示样式G}$和${\显示样式H}$将分三个阶段构建，首先，通过对${\显示样式G}$和${\显示样式H}$对于驻留在同一空间中的三元关系，接下来，通过取这些扩展的交集，等于与表面上看二元关系数据，最后，通过将此交集投影到合适的平面上，形成第三个二元关系，实际上构成了关系组合${\显示样式G\circ H}$关系的${\显示样式G}$和${\显示样式H.}$

在特定的数学环境中构建关系型作文通常始于数学关系在语言或逻辑环境中，抽象程度高于相应对象。这是因为数学对象通常只指定直至同构正如俗话所说，任何具有“相同形式”的物体通常都被认为是同一事物，这在大多数情况下都是出于意图和数学目的。因此，关系组合的数学构造默认从一对二元关系开始，这些二元关系存在于同一平面中，而不失一般性，例如，$｛\displaystyle G，H\substeq X\乘以Y，｝$如图1所示。

o-------------------------------------------------o| ||o o（零）|| |\ |\ || | \ | \ || | \ | \ || | \ | \ || | \ | \ || | \ | \ || | * \ | * \ ||X*Y X*Y|| \ * | \ * | ||\G|\H||| \ | \ | || \ | \ | || \ | \ | || \ | \ | || \| \| ||o o（零）|| |o-------------------------------------------------o图1。并元关系G，H c X X Y

二元关系${\显示样式G}$和${\显示样式H}$如果没有额外的信息或进一步的规定，就根本无法编写。为了使它们的关系组合成为可能，必须发生以下两种情况之一：

• 第一种情况发生在${\显示样式X=Y.}$在这种情况下，这两种成分${\显示样式G\circ H}$和${\显示样式H\circ G}$定义。

• 第二种情况发生在${\显示样式X}$和${\显示样式Y}$是不同的，但当它仍然是有意义的谈论二元关系${\显示样式{\帽子{H}}}$与同构的${\显示样式H，}$但住在飞机上${\显示样式YZ，}$也就是说，在笛卡尔积的空间中${\显示样式Y\乘以Z，}$对于某些集合${\显示样式Z.}$

无论你是否将同构的事物视为相同的事物，你仍然必须指定精确的同构，将事物的任何给定表示转换为同一事物的所需表示。让我们想象一下我们已经做到了这一点，然后说如何做到：

o-------------------------------------------------o| ||o o（零）|| |\ /| || | \ / | || | \ / | || | \ / | || | \ / | || | \ / | || | * \ / * | ||X*Y Y*Z|| \ * | | * / ||\G||\/|| \ | | / || \ | | / || \ | | / || \ | | / || \| |/ ||o o（零）|| |o-------------------------------------------------o图2。并元关系G c X X Y和Ĥc Y X Z

随着所需空间的仔细清理，塔斯基的技巧的呈现和以下符号公式的调用（声称是关系组合的定义）的舞台已经搭建好${\显示样式P\circ Q}$一对并元关系${\显示样式P，Q\subseteq X\乘以X.}$

定义。 $P\circ Q=\mathrm{proj}_{13}（P\times X~\cap~X\times Q）。$

为了理解这个定义的这种漂移，我们需要理解它来自于这样一个观点，即认为所有的并元关系都被一个合适的笛卡尔平方的子集所覆盖，因此其形式是$｛\displaystyle L\substeq X\times X。｝$所以，如果一个人从形状的二元关系开始${\显示样式L\subseteq U\times V，}$人们只是让${\显示样式X=U\杯V，}$初始交易${\显示样式L}$换一个新的${\显示样式L\subseteq X\times X}$根据需要。

投影${\显示样式\mathrm{proj}_{13}}$就是笛卡尔立方体的投影$｛\displaystyle X\times X\times X｝$论形的空间${\显示样式X\倍X}$这是由第一个和第三个域跨越的，但由于它们现在具有相同的名称和相同的内容，因此有必要通过对它们的关系位置进行编号来区分它们。

最后，笛卡尔乘积符号的符号“${\显示样式\时间}$“表示关于并元关系的另外两个产品${\显示样式L\subseteq X\times X}$和一个子集${\显示样式W\子结构X，}$如下所示：

定义。 $在x^{3}~中显示样式L\times W=~{（x，y，z）$

定义。 $在x^{3}~：~x\在W~\mathrm{和}~（y，z）\在L\}.}$

将这些定义应用于案例${\显示样式P，Q\子结构X\乘以X，}$关系构成的二元关系${\显示样式P\circ Q\subseteq X\times X}$即将定义，则会发现：

$在X^{3}~：~（X，y）中显示样式P\times X~=~{（X，y，z）\P~\mathrm{和}~z\X\}，}$

$在X^{3}~：~X\在X~\mathrm{和}~（y，z）\在Q\}.}中$

这些只是已经定义的默认扩展的适当特殊情况。

$显示样式P\times X~=~\mathrm{te}_{12}^{3}（P），}$

${\显示样式X\倍Q~=~\mathrm{te}_{23}^{1}（Q）.}$

总之，表达式如下：

${\displaystyle\mathrm{proj}_{13}（P\times X~\cap~X\times Q）}$

等同于表达式：

$｛\displaystyle\mathrm｛proj｝_｛13｝（\mathrm｛te｝_｛12｝^｛3｝（P）~\cap~\mathrm｛te｝_｛23｝^｛1｝（Q））｝$

这种形式被概括了，尽管相对于一个人的思想流派来说，也许是无关紧要的，由上面给出的形式概括如下：

定义。 ${显示样式P\circ Q~=~\mathrm{proj}_{XZ}（\mathrm{te}_{XY}^{Z}（P）~\cap~\mathr m{te}_{YZ}^{X}（Q））}$

图3展示了形成三元关系定义所涉及的几何图形${\显示样式F\subseteq X\times Y\times Z}$通过二元关系之间的连接${\显示样式G\subseteq X\times Y}$和并元关系${\显示样式H\subseteq Y\times Z，}$例如，通过以下形式的表达式：

• ${\显示样式F（x，y，z）~=~G（x，y）\land H（y，z）.}$

o-------------------------------------------------o| ||o个|| /|\ || / | \ || / | \ || / | \ || / | \ || / | \ || / | \ ||o o o o|| |\ / \ /| |||\/F\/||| | \ / * \ / | || | \ /*\ / | || | / \//*\\/ \ | || | / /\/ \/\ \ | || |/ ///\ /\\\ \| ||o X///Y \\ Z o|| |\ \/// | \\\/ /| || | \ /// | \\\ / | || | \ ///\ | /\\\ / | || | \ /// \ | / \\\ / | || | \/// \ | / \\\/ | || | /\/ \ | / \/\ | || | *//\ \|/ /\\* | ||X*/Y或Y\*Z|| \ * | | * / ||\G||H/|| \ | | / || \ | | / || \ | | / || \ | | / || \| |/ ||o o（零）|| |o-------------------------------------------------o图3。F在G和H上的投影

要解释图形，请可视化三元关系${\显示样式F\subseteq X\times Y\times Z}$作为一个身体${\显示样式XYZ}$-空间，而${\显示样式G}$是一个数字${\显示样式XY}$-空间和${\显示样式H}$是一个数字${\显示样式YZ}$-空间。

二元结构投影伴随着三元关系${\显示样式X、Y、Z}$定义如下：

• ${\displaystyle\mathrm{proj}_{XY}（L）~=~\{（x，y）\ in x\ times y:（x，y，z）\ in L~{\text{for some}}~z\ in z）\}，}$

• ${\displaystyle\mathrm{proj}_{XZ}（L）~=~\{（x，z）\in x\ times z:（x，y，z）\ in L~{\text{for some}}~y\in y）\}，}$

• ${\displaystyle\mathrm{proj}_{YZ}（L）~=~\{（y，z）\in y\ times z:（x，y，z$

在许多情况下，表示三元关系的并元投影就足够了${\显示样式L}$通过下面列出的更简短的等价物：

• ${\显示样式L_{XY}~=~\mathrm{proj}_{XY}（L），}$

• $显示样式L_{XZ}~=~\mathrm{proj}_{XZ}（L），}$

• $显示样式L_{YZ}~=~\mathrm{proj}_{YZ}（L）.}$

根据这些定义，${\显示样式\mathrm{proj}_{XY}}$是集合中的映射$｛\displaystyle｛\mathcal｛L｝｝_｛XYZ｝｝$域上的三元关系${\显示样式X、Y、Z}$到集合${\显示样式{\mathcal{L}}_{XY}}$域上的并元关系${\显示样式X、Y、}$其他预测也存在类似的关系。为了以简洁而明确的方式形式化这些关系，需要添加更多的定义。

这套${\显示样式{\mathcal{L}}_{XYZ}，}$他们的成员只是三方关系${\显示样式X、Y、Z、}$可以识别为笛卡尔积的所有子集的集合$｛\displaystyle X \ times Y \ times Z，｝显示样式X \ times Y \ times Z，｝$也称为动力装置属于$｛\displaystyle X \ times Y \ times Z，｝显示样式X \ times Y \ times Z，｝$并在此处标记为${\显示样式\mathrm{Pow}（X\乘以Y\乘以Z）。}$

• $显示样式{\mathcal{L}}_{XYZ}~=~\{L:L\subseteqX\timesY\timesZ}~~\mathrm{Pow}（X\times Y\times Z）。}$

同样，两两笛卡尔乘积的幂集包含了不同域对上的所有并元关系，可以从中选择${\显示样式\{X，Y，Z\}.}$

• $显示样式{\mathcal{L}}_{XY}~=~\{L:L\subseteq X\times Y}~~\mathrm{Pow}（X\timers Y），}$

• $显示样式{\mathcal{L}}_{XZ}~=~\{L:L\subseteq X\times Z}~~\mathrm{Pow}（X\timers Z），}$

• $显示样式{\mathcal{L}}_{YZ}~=~\{L:L\subseteqY\timesZ}~~\mathrm{Pow}（Y\times Z）。}$

在数学中，对应于投影图的逆关系通常称为延伸然而，为了避免与该词的其他意思混淆，为了便于讨论，最好使用更具体的术语默示延伸.

给定三组，${\显示样式X、Y、Z、}$和三种二元关系，

• ${\显示样式U\subseteq X\times Y，}$

• ${\显示样式V\subseteq X\times Z，}$

• ${\显示样式W\subseteq Y\times Z，}$

这个默认扩展,${\显示样式\mathrm{te}_{XY}^{Z}，\mathrm{te}_{XZ}^{Y}$属于${\显示样式U、V、W、}$分别定义如下：

• ${\displaystyle\mathrm{te}_{XY}^{Z}（U）~=~\{（x，y，Z）：（x，y）\在U\}，}中$

• ${\显示样式\mathrm{te}_{XZ}^{Y}（V）~=~{（x，Y，z）：（x，z）\在V\}，}中$

• ${\displaystyle\mathrm{te}_{YZ}^{X}（W）~=~\{（X，y，z）：（y，z$

只要可以从上下文中收集附加到默认扩展的预期索引，就可以使用缩写形式，${\displaystyle\mathrm{te}（U），\mathrm}te}$

目前正在进行的关系构成的定义和说明利用了${\显示样式G\subseteq X\times Y}$到${\displaystyle\mathrm{te}（G）\subseteq X\times Y\times Z}$以及${\显示样式H\subseteq Y\times Z}$到$｛\displaystyle\mathrm｛te｝（H）\substeq X\times Y\times Z，｝$只有。

几何图解${\显示样式\mathrm{te}（G）}$和${\显示样式\mathrm{te}（H）}$分别如图4和图5所示。

o-------------------------------------------------o| ||o个|| /|\ || / | \ || / | \ || / | \ || / | \ || / | \ || / | * \ ||o o***o|| |\ / \*** /| || | \ / *** / | || | \ / ***\ / | || | \ *** / | || | / \*** / \ | || | / *** / \ | || |/ ***\ / \| ||o X/**Y Z o|| |\ \//* | / /| || | \ /// | / / | || | \ ///\ | / / | || | \ /// \ | / / | || | \/// \ | / / | || | /\/ \ | / / | || | *//\ \|/ / * | ||X*/Y或Y*Z|| \ * | | * / ||\G||H/|| \ | | / || \ | | / || \ | | / || \ | | / || \| |/ ||o o（零）|| |o-------------------------------------------------o图4。G到X X Y X Z的隐性延伸

o-------------------------------------------------o| ||o个|| /|\ || / | \ || / | \ || / | \ || / | \ || / | \ || / * | \ ||o**o o o|| |\ ***/ \ /| || | \ *** \ / | || | \ /*** \ / | || | \ *** / | || | / \ ***/ \ | || | / \ *** \ | || |/ \ /*** \| ||o X Y**\Z o|| |\ \ | *\\/ /| || | \ \ | \\\ / | || | \ \ | /\\\ / | || | \ \ | / \\\ / | || | \ \ | / \\\/ | || | \ \ | / \/\ | || | * \ \|/ /\\* | ||X*Y o Y \*Z|| \ * | | * / ||\G||H/|| \ | | / || \ | | / || \ | | / || \ | | / || \| |/ ||o o（零）|| |o-------------------------------------------------o图5。H到X X Y X Z的隐性延伸

现在可以给出几何解释，以图形形式充实了公式的含义，如下所示：

• ${\显示样式F（x，y，z）~=~G（x，y）\land H（y，z）.}$

用“${\显示样式\land}$“通常对应于两个集合的交集，然而，在这种情况下，它是默认扩展的交集${\显示样式\mathrm{te}（G）}$和${\显示样式\mathrm{te}（H）.}$

o-------------------------------------------------o| ||o个|| /|\ || / | \ || / | \ || / | \ || / | \ || / | \ || / | \ ||o o o o|| |\ / \ /| |||\/F\/||| | \ / * \ / | || | \ /*\ / | || | / \//*\\/ \ | || | / /\/ \/\ \ | || |/ ///\ /\\\ \| ||o X///Y \\ Z o|| |\ \/// | \\\/ /| || | \ /// | \\\ / | || | \ ///\ | /\\\ / | || | \ /// \ | / \\\ / | || | \/// \ | / \\\/ | || | /\/ \ | / \/\ | || | *//\ \|/ /\\* | ||X*/Y或Y\*Z|| \ * | | * / ||\G||H/|| \ | | / || \ | | / || \ | | / || \ | | / || \| |/ ||o o（零）|| |o-------------------------------------------------o图6。F是te（G）和te（H）的交点

代数结构

通过引入坐标，即通过各种形式的关系（在本例中为二元和三元关系）关联的对象的可识别名称，实现了从关系组合的几何图形到代数公式的过渡。将坐标添加到正在运行的示例中会生成下图：

o-------------------------------------------------o| ||o个|| /|\ || / | \ || / | \ || / | \ || / | \ || / | \ || / | \ ||o o o o|| |\ / \ /| |||\/F\/||| | \ / * \ / | || | \ /*\ / | || | / \//*\\/ \ | || | / /\/ \/\ \ | || |/ ///\ /\\\ \| ||o X///Y \\ Z o|| |\ 7\/// | \\\/7 /| || | \ 6// | \\6 / | || | \ //5\ | /5\\ / | || | \ /// 4\ | /4 \\\ / | || | \/// 3\ | /3 \\\/ | |||G/\/2\|/2\/\H||| | *//\ 1\|/1 /\\* | ||X*\ Y o Y/*Z|| 7\ *\\ |7 7| //* /7 || 6\ |\\\|6 6|///| /6 || 5\| \\@5 5@// |/5 || 4@ \@4 4@/ @4 || 3\ @3 3@ /3 || 2\ |2 2| /2 || 1\|1 1|/1 ||o o（零）|| |o-------------------------------------------------o图7。F是te（G）和te（H）的交点

通过对有序元组和有序元组集（即有序对）使用不同的符号，可以方便地在操作术语中思考关系${\显示样式（x，y）}$已写入${\显示样式x\！：\！y，}$有序三元组${\显示样式（x，y，z）}$已写入${\显示样式x\！：\！y\！：！z，}$等等，一组元组被认为是一个逻辑代数和，可以在较小的有限情况下以如下形式写出${\显示样式a\！：\！b~+~b\！：$等等。

例如，转换关系${\displaystyle F\subseteq X\times Y\times Z，~G\substeq X\temes Y，~H\substeq-Y\times-Z}显示样式$在这个符号中产生以下数据摘要：

${\显示样式{\开始{矩阵}F&=&4:3:4&+&4:4:4&+&4:5:4\\G&=&4:3&+&4m4&+＆4:5\\H&=&3:4&+&4:4&+&5:4\结束{矩阵}}}{矩阵}F&=&4:3:4&+&4:4:4&+&4:5:4\\G&=&4:3&+&4m4&+＆4:5\\H&=&3:4&+&4:4&+&5:4\结束{矩阵}}}$

与函数和关系的抽象符号一样类型信息在这种情况下，事实是${\显示样式G}$和${\显示样式H}$生活在不同的空间中，是隐含在语境中的使用。

现在让我们验证所有提出的定义、公式和其他关系是否与当前组合示例的具体数据一致。最终目标是对公式中发生的情况进行更清晰的描述，该公式表示了一对二元关系的关系组成，即它们的隐性延伸的交集的中间投影：

$显示样式G\circ H~=~\mathrm{proj}_{XZ}$

这是大局，所有的部分都到位了：

o-------------------------------------------------o| ||o个|| / \ || / \ || / \ || / \ || / \ || / \ ||/G o H\||X轴*Z轴|| 7\ /|\ /7 || 6\ / | \ /6 || 5\ / | \ /5 || 4@ | @4 || 3\ | /3 || 2\ | /2 || 1\|/1 || | || | || | || /|\ || / | \ || / | \ || / | \ || / | \ || / | \ || / | \ ||o | o（o | o）|| |\ /|\ /| |||\/F\/||| | \ / * \ / | || | \ /*\ / | || | / \//*\\/ \ | || | / /\/ \/\ \ | || |/ ///\ /\\\ \| ||o X///Y \\ Z o|| |\ \/// | \\\/ /| || | \ /// | \\\ / | || | \ ///\ | /\\\ / | || | \ /// \ | / \\\ / | || | \/// \ | / \\\/ | ||| G/\/\ |/\/\ H ||| | *//\ \|/ /\\* | ||X*\ Y o Y/*Z|| 7\ *\\ |7 7| //* /7 || 6\ |\\\|6 6|///| /6 || 5\| \\@5 5@// |/5 || 4@ \@4 4@/ @4 || 3\ @3 3@ /3 || 2\ |2 2| /2 || 1\|1 1|/1 ||o o（零）|| |o-------------------------------------------------o图8。G o H=项目_XZ（te（G）|^|te（H））

剩下的就是对照图8所示的情况检查以下数据和推导集合。

${\显示样式{\开始{矩阵}F&=&4:3:4&+&4:4:4&+&4:5:4\\G&=&4:3&+&4m4&+＆4:5\\H&=&3:4&+&4:4&+&5:4\结束{矩阵}}}{矩阵}F&=&4:3:4&+&4:4:4&+&4:5:4\\G&=&4:3&+&4m4&+＆4:5\\H&=&3:4&+&4:4&+&5:4\结束{矩阵}}}$

${\显示样式{\开始{矩阵}G\圆H&=&（4\！：\！3~+~4\！：\！4~+~4\；：\！5）（3\{矩阵}G\圆H&=&（4\！：\！3~+~4\！：\！4~+~4\；：\！5）（3\$

${\显示样式{\begin{matrix}\mathrm{te}（G）&=&\mathrm{te}_{XY}^{Z}（G）\\[4pt]&=&\显示样式\sum_{Z=1}^{7}（4\！：\！3\！：！Z~+~4\！4\$

$｛\displaystyle｛\begin｛matrix｝\mathrm｛te｝（G）&=&4:3:1&&4:4:1&&4:5:1&&+\\&&4:3:2&&4:5:2&&+\\&&4:3:3&&4:4:3&&4:5:3&&4:5:3&&&&4:3:4&&4:5:4&&4:5:4&&+\\&&4:3:5&&4:4:5&&4:5:5&&4:5&&5&&+\\&&4:3:6&&4:4:6&&4:5：6&+\\&&4:3:7&&4:4:7&&4:5:7\end｛matrix｝｝｝$

${\显示样式{\开始{矩阵}\mathrm{te}（H）&=&\mathrm{te}_{YZ}^{X}（H）\\[4pt]&=&\显示样式\sum_{X=1}^{7}（X\！：\！3\！：！4~+~X\！4\！：$

${\显示样式{\开始{矩阵}\mathrm{te}（H）&=&1:3:4&+&1:4:4&+＆1:5:4&+\\&2:3:4&+&2:4:4&+&2:5:4&+\\&3:3:4&++&3:4:4&++&3:5:4&++\&&7:3:4&+&7:4:4&+&7:5:4\结束{矩阵}}}$

${\displaystyle{\begin{array}{ccl}\mathrm{te}（G）\cap\mathrm{te}（H）&=&4\！：\！3:\!4~+~4\!:\!4\!:\!4~+~4\!:\!5\!:\!4\\[4pt]G\circ H&=&\mathrm{proj}_{XZ}3:\!4~+~4\!:\!4\!:\!4~+~4\!:\!5\!:\!4\\[4pt]G\circ H&=&\mathrm{proj}_{XZ}$

矩阵表示法

我们可以用另一种方式来表示二元关系，即表示为逻辑矩阵掌握关系构成与普通构成的类比矩阵乘法它出现在线性代数中。

首先，虽然我们仍然有一个非常简单的具体案例的数据，但让我们反思一下我们在上一个示例中所做的工作，以便找到组成${\显示样式G\circ H}$二元关系${\显示样式G}$和${\显示样式H.}$

以下是我们之前的设置：

${\显示样式{\开始{矩阵}X&=&\{1,2,3,4,5,6,7\}\结束{矩阵}}}{矩阵}X&=&\{1,2,3,4,5,6,7\}\结束{矩阵}}}$

${\显示样式{\开始{矩阵}G&=&4:3&+4:4&+&4:5&\substeq&X\乘以X\\H&=&3:4&+&4:4&+5:4&\subteq&X\乘以X\结束{矩阵}}{矩阵}G&=&4:3&+4:4&+&4:5&\substeq&X\乘以X\\H&=&3:4&+&4:4&+5:4&\subteq&X\乘以X\结束{矩阵}}$

让我们回顾一下寻找一对二元关系的关系组成的规则。考虑到二元关系${\显示样式P\subseteq X\times Y}$和${\显示样式Q\subseteq Y\times Z，}$的组成${\显示样式P~{\text{on}}~Q}$写为${\显示样式P\circ Q，}$或者更简单地说${\显示样式PQ，}$获得如下：

要计算${\显示样式PQ，}$一般来说，其中${\显示样式P}$和${\显示样式Q}$是并元关系，用普通的分配代数方法简单地将这两个和相乘，但要遵循以下规则来求两个基本形状关系的乘积${\显示样式a:b}$和${\显示样式c:d.}$

${\显示样式{\开始{矩阵}（a:b）（c:d）&=&（a:d）&{\text{if}}~b=c\\（a:hb）（c:d）&=&0&{\text{otheric}}\结束{matrix}}}}$

查找关系组合${\显示样式G\circ H，}$一开始可以把它写成一个准代数乘积：

${\显示样式{\开始{矩阵}G\圆H&=&（4\！：\！3~+~4\！：\！4~+~4\；：\！5）（3\！：！4~+4\！！4~+~5\！：：\！4）\结束{矩阵}}}{矩阵}G\圆H&=&（4\！：\！3~+~4\！：\！4~+~4\；：\！5）（3\！：！4~+4\！！4~+~5\！：：\！4）\结束{矩阵}}}$

根据分配定律的适用形式将其相乘，可以得到以下展开式：

${\显示样式{\开始{矩阵}G\圆圈H&=&（4:3）（3:4）&+&（4:4）（4:4{矩阵}G\圆圈H&=&（4:3）（3:4）&+&（4:4）（4:4$

应用确定基本关系乘积的规则生成以下数组：

${\显示样式{\开始{矩阵}G\圆圈H&=&4:4&+&0&+&0&+\\&0&+4:4&+0&+\\&0&+&0&0&4\结束{矩阵}}}{矩阵}G\圆圈H&=&4:4&+&0&+&0&+\\&0&+4:4&+0&+\\&0&+&0&0&4\结束{矩阵}}}$

由于此上下文中的加号表示逻辑析取或集合理论聚合的操作，因此所有正乘数都计为一，从而得出最终结果：

${\显示样式{\开始{矩阵}G\圆圈H&=&4:4\结束{矩阵}}}{矩阵}G\圆圈H&=&4:4\结束{矩阵}}}$

着眼于提取关系合成的一般公式，从这里类比代数乘法的角度来看，让我们检查一下在乘法并元关系时所做的工作${\显示样式G}$和${\显示样式H}$共同获得它们的关系复合${\显示样式G\circ H.}$

给定空间${\显示样式X={1,2,3,4,5,6,7\}，}$其基数${\显示样式|X|}$是${\显示样式7，}$有${\displaystyle|X\times X|=|X|\cdot|X|}$ ${\显示样式=}$ ${\显示样式7\cdot 7=49}$形式的基本关系$｛\displaystylei:j，｝$哪里${\显示样式i}$和${\显示样式j}$空间范围${\显示样式X.}$虽然它们可能以许多不同的方式组织，但可以方便地将基本关系集合视为按以下形式的词典编纂块排列：

${\显示样式{\开始{矩阵}1\!:\!1&1\!:\!2&1\!:\!3&1\!:\!4&1\!:\!5&1\!:\!6&1\!:\!7\\2\!:\!1&2\!:\!2&2\!:\!3&2\!:\!4&2\!:\!5&2\!:\!6&2\!:\!7\\3\!:\!1&3\!:\!2&3\!:\!3&3\!:\!4&3\!:\!5&3\!:\!6&3\!:\!7\\4\!:\!1&4\!:\!2&4\!:\!3&4\!:\!4&4\!:\!5&4\!:\!6&4\!:\!7\\5\!:\!1&5\!:\!2&5\!:\!3&5\!:\!4&5\!:\!5&5\!:\!6&5\!:\!7\\6\!:\!1&6\!:\!2&6\!:\!3&6\!:\!4&6\!:\!5&6\!:\!6&6\!:\!7\\7\!:\!1&7\!:\!2&7\!:\!3&7\!:\!4&7\!:\!5&7\!:\!6&7\!:\!7\结束{矩阵}}{矩阵}1\!:\!1&1\!:\!2&1\!:\!3&1\!:\!4&1\!:\!5&1\!:\!6&1\!:\!7\\2\!:\!1&2\!:\!2&2\!:\!3&2\!:\!4&2\!:\!5&2\!:\!6&2\!:\!7\\3\!:\!1&3\!:\!2&3\!:\!3&3\!:\!4&3\!:\!5&3\!:\!6&3\!:\!7\\4\!:\!1&4\!:\!2&4\!:\!3&4\!:\!4&4\!:\!5&4\!:\!6&4\!:\!7\\5\!:\!1&5\!:\!2&5\!:\!3&5\!:\!4&5\!:\!5&5\!:\!6&5\!:\!7\\6\!:\!1&6\!:\!2&6\!:\!3&6\!:\!4&6\!:\!5&6\!:\!6&6\!:\!7\\7\!:\!1&7\!:\!2&7\!:\!3&7\!:\!4&7\!:\!5&7\!:\!6&7\!:\!7\结束{矩阵}}$

关系${\显示样式G}$和${\显示样式H}$然后可以被视为以下形式的逻辑和：

${\显示样式{\开始{矩阵}G&=&\显示样式\sum_{ij}G_{ij}（i\！：\！j）\\[20pt]H&=&\显示样式\sum_{ij}高_{ij}（i\！：\！j）结束{矩阵}}}{矩阵}G&=&\显示样式\sum_{ij}G_{ij}（i\！：\！j）\\[20pt]H&=&\显示样式\sum_{ij}高_{ij}（i\！：\！j）结束{矩阵}}}$

符号${\displaystyle\textstyle\sum_{ij}}$表示基本关系集合的逻辑和${\显示样式i\！：\！j}$而这些因素${\显示样式G_{ij}}$和${\显示样式H_{ij}}$是中的值布尔域 ${\显示样式\mathbb{B}=\{0,1\}}$被称为系数关系的${\显示样式G}$和${\显示样式H，}$关于相应的初等关系${\显示样式i\！：\！j.}$

一般来说，对于并元关系${\显示样式L，}$系数${\显示样式L_{ij}}$基本关系的${\显示样式i\！：\！j}$在关系中${\显示样式L}$将${\显示样式0}$或${\显示样式1，}$分别作为${\显示样式i\！：\！j}$被排除在或包含在${\显示样式L}$

有了这些约定${\显示样式G}$和${\显示样式H}$可以写出如下：

${\显示样式{\开始{矩阵}G&=&4:3+&4:4+&4:5&=\结束{矩阵}}}{矩阵}G&=&4:3+&4:4+&4:5&=\结束{矩阵}}}$

${\显示样式{\开始{smallmatrix}0\cdot（1:1）&+&0\cdot（1:2）&+&0\cdot（1:3）&+&0\cdot1（1:4）&+和0\cdop（1:5）&+与0\cdo&+\\0\cdot（3:1）&+&0\cdo（3:2）&+&0\cdop（3:3）&+＆0\cdto（3:4&+&\mathbf{1}\cdot（4:3）&+&\mathbf{1\cdot（5:4）&+＆\mathbf{1}\ cdot（6:5）&+&0\cdot）&+\\0\cdot（6:1）&+&0\cdo（6:2）&+&0\cdop（6:3）&++&0\ cdot&+&0\cdot（7:2）&+&0\cdo（7:3{smallmatrix}0\cdot（1:1）&+&0\cdot（1:2）&+&0\cdot（1:3）&+&0\cdot1（1:4）&+和0\cdop（1:5）&+与0\cdo&+\\0\cdot（3:1）&+&0\cdo（3:2）&+&0\cdop（3:3）&+＆0\cdto（3:4&+&\mathbf{1}\cdot（4:3）&+&\mathbf{1\cdot（5:4）&+＆\mathbf{1}\ cdot（6:5）&+&0\cdot）&+\\0\cdot（6:1）&+&0\cdo（6:2）&+&0\cdop（6:3）&++&0\ cdot&+&0\cdot（7:2）&+&0\cdo（7:3$

${\显示样式{\开始{矩阵}H&=&3:4&+&4:4&+&5:4&=\结束{矩阵}}}{矩阵}H&=&3:4&+&4:4&+&5:4&=\结束{矩阵}}}$

${\显示样式{\开始{smallmatrix}0\cdot（1:1）&+&0\cdot（1:2）&+&0\cdot（1:3）&+&0\cdot1（1:4）&+和0\cdop（1:5）&+与0\cdo&+\\0\t（3:1）&+&0\cdot（3:2）&+&0\cdop（3:3）&++&\mathbf{1}\cdot&+&0\cdot（4:2）&+&0\cdop（4:3）&++&\mathbf{1}\cdot cdot（5:7）&+\\0\cdot（6:1&+&0\cdot（7:2）&+&0\cdo（7:3{smallmatrix}0\cdot（1:1）&+&0\cdot（1:2）&+&0\cdot（1:3）&+&0\cdot1（1:4）&+和0\cdop（1:5）&+与0\cdo&+\\0\t（3:1）&+&0\cdot（3:2）&+&0\cdop（3:3）&++&\mathbf{1}\cdot&+&0\cdot（4:2）&+&0\cdop（4:3）&++&\mathbf{1}\cdot cdot（5:7）&+\\0\cdot（6:1&+&0\cdot（7:2）&+&0\cdo（7:3$

剥离到最基本的部分，我们可以得到以下关系的系数矩阵${\显示样式G}$和${\显示样式H.}$

${\显示样式G~=~{\开始{pmatrix}0&0&0&00&0&0&0\\0&0＆0&0+0&0&0&0&0 \\0&0&0&0-0&0 \ \0&0&1&1&0&0 \\0&0&0&0&0&0&0{pmatrix}0&0&0&00&0&0&0\\0&0＆0&0+0&0&0&0&0 \\0&0&0&0-0&0 \ \0&0&1&1&0&0 \\0&0&0&0&0&0&0$

${\显示样式H~=~{\开始{pmatrix}0&0&0&0&0&0&0 \\ 0&0&0&0&0&0 \\ 0&0&0&1&0&0&0 \\ 0&0&0&0&1&0&0&0 \\ 0&0&0&0&0&0 \\ 0&0&0&0&0&0&0&0&0 \\ end｛pmatrix｝｝｝｝{pmatrix}0&0&0&0&0&0&0 \\ 0&0&0&0&0&0 \\ 0&0&0&1&0&0&0 \\ 0&0&0&0&1&0&0&0 \\ 0&0&0&0&0&0 \\ 0&0&0&0&0&0&0&0&0 \\ end｛pmatrix｝｝｝｝$

这些是并元关系的逻辑矩阵表示${\显示样式G}$和${\显示样式H.}$

如果二元关系${\显示样式G}$和${\显示样式H}$被视为逻辑和，然后是它们的关系构成${\显示样式G\circ H}$可以被视为总和的乘积，这一事实可以表示如下：

$｛\displaystyle G\circ H~=~（\sum_{ij}G_{ij}（i\！：\！j））（\sum_{ij}高_{ij}（i\！：\！j））。}{ij}G_{ij}（i\！：\！j））（\sum_{ij}高_{ij}（i\！：\！j））。}$

复合关系${\显示样式G\circ H}$是同一空间上的并元关系${\显示样式X，}$换句话说，${\显示样式G\circ H\subseteq X\乘以X，}$这意味着${\显示样式G\circ H}$必须符合以下形式的逻辑和：

$显示样式G\circ H~=~\sum_{ij}（G\cick H）_{ij}（i\！：\！j）.}$

在这个公式中，$显示样式（G\circ H）_{ij}}$是的系数${\显示样式G\circ H}$关于基本关系${\显示样式i\！：\！j.}$

推理的最佳方法之一${\显示样式G\circ H}$应该是问问自己它的系数是多少$显示样式（G\circ H）_{ij}}$应该用于每个基本关系${\显示样式i\！：\！j}$反过来。

因此，让我们提出一个问题：

$显示样式（G\circ H）_{ij}~=~？}$

为了回答这个问题，有助于认识到上述指定产品可以用以下等效形式书写：

$｛\displaystyle G\circ H~=~（\sum_{ik}G_{ik}（i\！：\！k））（\sum_{kj}高_{kj}（k\！：\！j）。}{ik}G_{ik}（i\！：\！k））（\sum_{kj}高_{kj}（k\！：\！j）。}$

片刻的思考就会告诉我们$显示样式（G\circ H）_{ij}=1}$当且仅当存在元素时${\显示样式k}$在里面${\显示样式X}$使得${\显示样式G_{ik}=1}$和${\显示样式H_{kj}=1.}$

因此，我们得出的结果是：

$显示样式（G\circ H）_{ij}~=~\sum_{k} G公司_{ik}H_{kj}.}{k} G公司_{ik}H_{kj}.}$

这源于布尔运算的属性，特别是乘积${\显示样式G_{ik}H_{kj}}{ik}H_{kj}}$是${\显示样式1}$当且仅当两者${\显示样式G_{ik}}$和${\显示样式H_{kj}}$是${\显示样式1}$事实上${\显示样式\textstyle\sum_{k} F类_{k} }{k} F类_{k} }$等于${\显示样式1}$以防万一${\显示样式F_{k}}$是${\显示样式1.}$

为了获得关系复合的计算公式，剩下的全部工作${\显示样式G\circ H}$二元关系${\显示样式G}$和${\显示样式H}$是收集系数$显示样式（G\circ H）_{ij}}$作为${\显示样式i}$和${\显示样式j}$范围超过${\显示样式X.}$

${\显示样式{\开始{矩阵}G\圆圈H&=&\显示样式\总和_{ij}（G\圆圈H）_{ij}（i\！：\！j）&=&\displaystyle\sum_{iji}（\sum_{k} G公司_{ik}H_{kj}）（i！：\！j）。\结束{矩阵}}{矩阵}G\圆圈H&=&\显示样式\总和_{ij}（G\圆圈H）_{ij}（i\！：\！j）&=&\displaystyle\sum_{iji}（\sum_{k} G公司_{ik}H_{kj}）（i！：\！j）。\结束{矩阵}}$

这是线性代数中矩阵乘法的逻辑模拟，逻辑设置的不同之处在于，对系数执行的所有操作都发生在布尔运算系统中，其中求和对应于逻辑析取，乘法对应于逻辑合取。

通过解开这个公式，人们可以注意到${\显示样式\textstyle\sum_{k} G公司_{ik}H_{kj}}{k} G公司_{ik}H_{kj}}$通常被称为标量积。在这种情况下，它是$｛\displaystyle i ^｛\text｛th｝｝｝｝$第行，共行${\显示样式G}$使用${\显示样式j^{\text{th}}}$第列，共列${\显示样式H.}$

为了使这一陈述更具体，让我们回到以下示例${\显示样式G}$和${\显示样式H}$我们带着：

${\显示样式G~=~{\开始{pmatrix}0&0&0&00&0&0&0\\0&0＆0&0+0&0&0&0&0 \\0&0&0&0-0&0 \ \0&0&1&1&0&0 \\0&0&0&0&0&0&0{pmatrix}0&0&0&00&0&0&0\\0&0＆0&0+0&0&0&0&0 \\0&0&0&0-0&0 \ \0&0&1&1&0&0 \\0&0&0&0&0&0&0$

${\显示样式H~=~{\开始{pmatrix}0&0&0&0&0&0&0 \\ 0&0&0&0&0&0 \\ 0&0&0&1&0&0&0 \\ 0&0&0&0&1&0&0&0 \\ 0&0&0&0&0&0 \\ 0&0&0&0&0&0&0&0&0 \\ end｛pmatrix｝｝｝｝{pmatrix}0&0&0&0&0&0&0 \\ 0&0&0&0&0&0 \\ 0&0&0&1&0&0&0 \\ 0&0&0&0&1&0&0&0 \\ 0&0&0&0&0&0 \\ 0&0&0&0&0&0&0&0&0 \\ end｛pmatrix｝｝｝｝$

计算公式${\显示样式G\circ H}$如下所示：

${\displaystyle{\begin{array}{ccl}（G\circ H）_{ij}&=&{\text{}~{ij{^{\text{th}}~{\text}}矩阵表示中的}}~G\cicc H\\[2pt]&=&}\text{}行中的条目和}}~G\circ H\\[2pt]&=&{\text{}}~{i}^{text{th}}~}\text{一行}}~G~{text{与}的标量积}~｛j｝^｛\text｛th｝｝~｛\text｛column of｝｝~ H\\[2pt]&=&&sum_{k} G公司_{ik}H_{kj}\结束{数组}}}~｛j｝^｛\text｛th｝｝~｛\text｛column of｝｝~ H\\[2pt]&=&&sum_{k} G公司_{ik}H_{kj}\结束{数组}}$

碰巧，由于只有一行${\显示样式G}$和一列${\显示样式H}$也不全是零。以逻辑方式获取第四行的标量积${\显示样式G}$第四列为${\显示样式H}$为的矩阵生成唯一的非零项${\显示样式G\circ H.}$

${\显示样式G\circ H~=~{\开始{pmatrix}0&0&0&00&0&0&0\\0&0＆0&0+0&0&0 \\0&0&0&0&0&0:0\\0&0&1&0&0-0\\0＆0&0＆0＆0\0\\0&0-0&0&{pmatrix}0&0&0&00&0&0&0\\0&0＆0&0+0&0&0 \\0&0&0&0&0&0:0\\0&0&1&0&0-0\\0＆0&0＆0＆0\0\\0&0-0&0&$

图论图

还有另一种形式的二元关系表示法，值得牢记，尤其是它能够使许多复杂公式的逻辑几乎立即被大脑所理解。这是关于二分图，或双图简而言之。

这里是什么${\显示样式G}$和${\显示样式H}$如bigraph图片所示：

o---------------------------------------o| || 1 2 3 4 5 6 7 ||o o o o o o o o X|| /|\ ||/| \G|| / | \ ||o o o o o o o o X|| 1 2 3 4 5 6 7 || |o---------------------------------------o图9。G=4:3+4:4+4:5

o---------------------------------------o| || 1 2 3 4 5 6 7 ||o o o o o o o o X|| \ | / ||\ |/小时|| \|/ ||o o o o o o o o X|| 1 2 3 4 5 6 7 || |o---------------------------------------o图10。高度=3:4+4:4+5:4

这些图表可以表示：

${\显示样式{\开始{矩阵}G~{\text{puts}}~4~{text{相对于}}~3,4,5.\\[2pt]H~{\text{puts{}~3,5,5~{text}相对于}}~4.\end{matrix}}}}{矩阵}G~{\text{puts}}~4~{text{相对于}}~3,4,5.\\[2pt]H~{\text{puts{}~3,5,5~{text}相对于}}~4.\end{matrix}}}}$

形成复合关系${\显示样式G\circ H，}$一个简单地遵循bigraph${\显示样式G}$通过bigraph${\显示样式H，}$在这里，按照页面的顺序排列双图，然后将两个节点之间长度为2的任何非空路径集视为等效于复合双图中这些节点之间的单个有向边${\显示样式G\circ H.}$

以下是它在图片中的外观：

o---------------------------------------o| || 1 2 3 4 5 6 7 ||o o o o o o o o X|| /|\ ||/| \G|| / | \ ||o o o o o o o o X|| \ | / ||\ |/小时|| \|/ ||o o o o o o o o X|| 1 2 3 4 5 6 7 || |o---------------------------------------o图11。G后跟H

o---------------------------------------o| || 1 2 3 4 5 6 7 ||o o o o o o o o X|| | |||总小时|| | ||o o o o o o o o X|| 1 2 3 4 5 6 7 || |o---------------------------------------o图12。G由H组成

我们再一次发现${\显示样式G\circ H=4:4.}$

我们现在看到了二元关系的三种不同表现。如果一个人对字母、数字或图片有强烈的偏好，那么人们可能会倾向于将其中的一个或另一个视为规范，但在任何给定的应用中，都会发现它们各自有其独特的优点和缺点，因此，要达到最大的优点，就要记住这三个因素。

为了了解并元关系的双图图的预期效用，让我们设计一个稍微复杂一些的合成问题示例，并用它来说明矩阵乘法公式的逻辑。

保持在同一空间${\显示样式X={1,2,3,4,5,6,7\}，}$定义并元关系${\显示样式M，N\子项X\倍X}$如下所示：

${\显示样式{\开始{数组}{*{19}{c}}M&=&2\！：\！1&+&2\!:\!2&+&2\!:\!3&+&4\!:\!3&+&4\!:\!4&+&4\!:\!5&+&6\!:\!5&+&6\!:\!6&+&6\!:\!7\\[2pt]N&=&1\！：\！1&+&2\!:\!1&+&3\!:\!3&+&4\!:\!3&~&+&~&4\!:\!5&+&5\!:\!5&+&6\!:\!7&+&7\!:\!7\结束{数组}}1&+&2\!:\!2&+&2\!:\!3&+&4\!:\!3&+&4\!:\!4&+&4\!:\!5&+&6\!:\!5&+&6\!:\!6&+&6\!:\!7\\[2pt]N&=&1\！：\！1&+&2\!:\!1&+&3\!:\!3&+&4\!:\!3&~&+&~&4\!:\!5&+&5\!:\!5&+&6\!:\!7&+&7\!:\!7\结束{数组}}$

以下是bigraph图片：

o---------------------------------------o| || 1 2 3 4 5 6 7 ||o o o o o o o o X|| /|\ /|\ /|\ ||/| \/| \/|\M|| / | \ / | \ / | \ ||o o o o o o o o X|| 1 2 3 4 5 6 7 || |o---------------------------------------o图13。并元关系M

o---------------------------------------o| || 1 2 3 4 5 6 7 ||o o o o o o o o X|| | / | / \ | \ | |||/|/\ | \ | N|| |/ |/ \| \| ||o o o o o o o o X|| 1 2 3 4 5 6 7 || |o---------------------------------------o图14。并元关系N

形成复合关系${\显示样式M\circ N，}$一个简单地遵循bigraph${\显示样式M}$通过bigraph${\显示样式N，}$按照页面的顺序排列二元图，然后计算两个节点之间长度为2的任何非空路径集，这些路径集等效于复合二元图中这两个节点间的单个有向边${\显示样式M\circ N.}$

以下是它在图片中的外观：

o---------------------------------------o| || 1 2 3 4 5 6 7 ||o o o o o o o o X|| /|\ /|\ /|\ ||/| \/| \/|\M|| / | \ / | \ / | \ ||o o o o o o o o X|| | / | / \ | \ | |||/|/\ | \ | N|| |/ |/ \| \| ||o o o o o o o o X|| 1 2 3 4 5 6 7 || |o---------------------------------------o图15。M后跟N

o---------------------------------------o| || 1 2 3 4 5 6 7 ||o o o o o o o o X|| / \ / \ / \ ||/\/\/\M编号|| / \ / \ / \ ||o o o o o o o o X|| 1 2 3 4 5 6 7 || |o---------------------------------------o图16。M由N组成

让我们回到那个神秘的矩阵乘法公式，看看它在双图表示中是如何出现的。

成分系数${\显示样式M\circ N}$之间${\显示样式i}$和${\显示样式j}$在里面${\显示样式X}$如下所示：

$显示样式（M\circ N）_{ij}~=~\sum_{k} 米_{ik}编号_{kj}}{k} 米_{ik}编号_{kj}}$

以图形方式解释，这是一个路径上的和.从节点开始${\显示样式i，}$ ${\显示样式M_{ik}}$存在${\显示样式1}$指示的bigraph中有一条边${\显示样式M}$来自节点${\显示样式i}$到节点${\显示样式k}$和${\显示样式N_{kj}}$存在${\显示样式1}$指示的bigraph中有一条边${\显示样式N}$来自节点${\显示样式k}$到节点${\显示样式j.}$所以${\显示样式\textstyle\sum_{k}}$覆盖所有可能的中介机构${\显示样式k，}$从升序${\显示样式0}$到${\显示样式1}$只要节点之间恰好有一条长度为2的路径${\显示样式i}$和${\显示样式j.}$

在这一点上，计算其他可能的组成是有指导意义的${\显示样式M}$和${\显示样式N，}$即组成${\显示样式N\circ M，}$这需要${\显示样式M}$和${\显示样式N}$以相反的顺序。以下是图形计算：

o---------------------------------------o| || 1 2 3 4 5 6 7 ||o o o o o o o o X|| | / | / \ | \ | |||/|/\ | \ | N|| |/ |/ \| \| ||o o o o o o o o X|| /|\ /|\ /|\ ||/| \/| \/|\M|| / | \ / | \ / | \ ||o o o o o o o o X|| 1 2 3 4 5 6 7 || |o---------------------------------------o图17。N后跟M

o---------------------------------------o| || 1 2 3 4 5 6 7 ||o o o o o o o o X|| ||否M|| ||o o o o o o o o X|| 1 2 3 4 5 6 7 || |o---------------------------------------o图18。N由M组成

总之，${\显示样式N\circ M=0.}$这个例子提供了充分的证据，证明关系复合，就像它的同类矩阵乘法一样，是一个非交换的代数运算。

工具书类

• Ulam，S.M.和Bednarek，A.R.，“关于并行计算的关系结构和图式理论”（1977年），第477-508页，载于A.R.Bednarek和Françoise Ulam（编辑），类比之间的类比：S.M.Ulam及其洛斯阿拉莫斯合作者的数学报告加州大学出版社，加州伯克利，1990年。

参考文献

• 日本数学学会，数学百科全书词典第2版，共2卷。，Kiyosi Itó（编辑），麻省理工学院出版社，马萨诸塞州剑桥，1993年。

• Mili，A.、Desharnais，J.、Mili，F.和Frappier，M。，计算机程序构造，牛津大学出版社，纽约州纽约市，1994年。

• 南卡罗来纳州乌兰市。，类比之间的类比：S.M.Ulam及其洛斯阿拉莫斯合作者的数学报告A.R.Bednarek和Françoise Ulam（编辑），加州大学出版社，加州伯克利，1990年。

资源

• 逻辑教学大纲

文档历史记录

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• 关系构成,国际科学维基
• 关系构成,维基大学
• 关系构成,维基百科