四象限基地

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这个四元虚数系（与基数 ${\displaystyle\scriptstyle{\sqrt{-4}}\，=\，2i\，}$和集合中的数字${\显示样式\脚本样式\{0，\，1，\，2，\，3\}\，}$)允许以独特的方式表示任何复数，没有负号或虚数${\显示样式\脚本样式i\，}$是必需的。

它就像否定的（基数–2）或阴性水族的（base-4）数字系统，但使用${\显示样式\脚本样式2i\，}$这些权力，来自${\显示样式\脚本样式（2i）^{+7}\，}$向下至${\显示样式\脚本样式（2i）^{-7}\，}$，是

${\显示样式-128i，-64,32i，16，-8i，-4,2i，1，-{\压裂{i}{2}}，-{\frac{1}{4}}$

因为我们有平等的权力${\显示样式\脚本样式2i\，}$代表实部以及${\显示样式\脚本样式2i\，}$代表虚部因此，该数字系统需要数字0、1、2和3。

${\显示样式\脚本样式（2i）^{-3}\，=\，{\frac{i}{8}}\，}$	（与数字一起使用${\显示样式\脚本样式d_{-2}\，}$属于阴性水族的（base-4）的实部表示${\显示样式\脚本样式2i（a+bi）\，=\，-2b+2ai\，}$)
${\显示样式\脚本样式（2i）^{-2}\，=\，-{\frac{1}{4}\，}$	（与数字一起使用${\显示样式\脚本样式d_{-1}\，}$属于阴性水族的（base-4）的实部表示${\显示样式\脚本样式a+bi\，}$)
${\显示样式\脚本样式（2i）^{-1}\，=\，-{\frac{i}{2}}\，}$	（与数字一起使用${\显示样式\脚本样式d_{-1}\，}$属于阴性水族的（base-4）的实部表示${\显示样式\脚本样式2i（a+bi）\，=\，-2b+2ai\，}$)
$｛\displaystyle\scriptstyle（2i）^｛0｝\，=\，1\，｝$	（与数字一起使用$｛\displaystyle\scriptstyled_｛0｝\，｝$属于阴性水族的（base-4）的实部表示${\显示样式\脚本样式a+bi\，}$)
${\显示样式\脚本样式（2i）^{1}\，=\，2i\，}$	（与数字一起使用${\显示样式\脚本样式d_{0}\，}$属于阴性水族的（基数-4）的实部表示${\显示样式\脚本样式2i（a+bi）\，=\，-2b+2ai\，}$)
${\显示样式\脚本样式（2i）^{2}\，=\，-4\，}$	（与数字一起使用${\显示样式\脚本样式d_{1}\，}$属于阴性水族的（base-4）的实部表示${\显示样式\脚本样式a+bi\，}$)
${\显示样式\脚本样式（2i）^{3}\，=\，-8i\，}$	（与数字一起使用${\显示样式\脚本样式d_{1}\，}$属于阴性水族的（base-4）的实部表示$｛\displaystyle\scriptstyle 2i（a+bi）\，=\，-2b+2ai\，｝$)

例如，201的四元虚表示为

${\显示样式\脚本样式（2i）^{8}\，}$	${\显示样式\脚本样式（2i）^{7}\，}$	${\显示样式\脚本样式（2i）^{6}\，}$	${\显示样式\脚本样式（2i）^{5}\，}$	${\显示样式\脚本样式（2i）^{4}\，}$	${\显示样式\脚本样式（2i）^{3}\，}$	${\显示样式\脚本样式（2i）^{2}\，}$	$｛\displaystyle\scriptstyle（2i）^｛1｝\，｝$	${\显示样式\脚本样式（2i）^{0}\，}$
${\显示样式\脚本样式256\，}$秒	${\显示样式\脚本样式-128i\，}$秒	${\显示样式\脚本样式-64\，}$秒	${\显示样式\脚本样式32i\，}$秒	${\显示样式\脚本样式16\，}$秒	${\显示样式\脚本样式-8i\，}$秒	${\显示样式\脚本样式-4\，}$秒	${\显示样式\脚本样式2i\，}$秒	${\显示样式\脚本样式1\，}$秒
1	0	1	0	1	0	2	0	1

这个特定的示例表明${\显示样式\脚本样式2i\，}$代表实数与中的相同阴性水族的除了0s中的“riffling”对应于${\显示样式\脚本样式2i\，}$.获得底座${\显示样式\脚本样式2i\，}$复数的表示${\显示样式\脚本样式a+bi\，}$，对真实部分执行上述操作，然后再次对的真实部分执行${\显示样式\脚本样式2i（a+bi）\，=\，-2b+2ai\，}$然后向右移动，将其除以$｛\displaystyle\scriptstyle 2i\，｝$，给出与奇数诱导幂相对应的数字${\显示样式\脚本样式2i\，}$与负数和负数一样，四元虚数不需要符号位，但另外，也不需要分别表示复数的实部和虚部。因此，与其写${\显示样式\脚本样式-12+15i\，}$，我们可以简单地写102300.2，其中

-12 =    300$｛\displaystyle_｛2i｝｝$（的真实部分${\显示样式-12+15i}$, 30${\显示样式{-4}}$与0s交错）15i=102000.2${\显示样式{2i}}$（的真实部分${\显示样式2i（-12+15i）=-30-24i}$, 1202${\显示样式{-4}}$与0交错，然后右移以将其除以${\显示样式2i}$)--------102300.2$｛\displaystyle_｛2i｝｝$

转换表

底座10到底座${\显示样式\脚本样式2i\，}$

基数10 底座${\显示样式\脚本样式2i\，}$ 1 1 2 2 三 三 4 10300 5 10301 6 10302 7 10303 8 10200 9 10201 10 10202 11 10203 12 10100 13 10101 14 10102 15 10103 16 10000

基数10 底座${\显示样式\脚本样式2i\，}$ −1 103 −2 102 −3 101 −4 100 −5 203 −6 202 −7 201 −8 200 −9 303 −10 302 −11 301 −12 300 −13 1030003 −14 1030002 −15 1030001 −16 1030000

基数10 底座${\显示样式\脚本样式2i\，}$ 1我 10.2 2我 10 三我 20.2 4我 20 5我 30.2 6我 30 7我 103000.2 8我 103000 9我 103010.2 10我 103010 11我 103020.2 12我 103020 13我 103030.2 14我 103030 15我 102000.2 16我 102000

基数10 底座${\显示样式\脚本样式2i\，}$ −1我 0.2 −2我 1030 −3我 1030.2 −4我 1020 −5我 1020.2 −6我 1010 −7我 1010.2 −8我 1000 −9我 1000.2 −10我 2030 −11我 2030.2 −12我 2020 −13我 2020.2 −14我 2010 −15我 2010.2 −16我 2000

底座${\显示样式\脚本样式2i\，}$以10为基数

底座${\显示样式\脚本样式2i\，}$ 基数10 0 0 1 1 2 2 三 三 10 0+2我 11 1+2我 12 2+2我 13 3+2我 20 0+4我 21 1+4我 22 2+4我 23 3+4我 30 0+6我 31 1+6我 32 2+6我 33 3+6我

底座$｛\displaystyle\scriptstyle 2i\，｝$ 基数10 100 −4 101 −3 102 −2 103 −1 110 −4+2我 111 −3+2我 112 −2+2我 113 −1+2我 120 −4+4我 121 −3+4我 122 −2+4我 123 −1+4我 130 −4+6我 131 −3+6我 132 −2+6我 133 −1+6我

底座${\显示样式\脚本样式2i\，}$ 基数10 200 −8 201 −7 202 −6 203 −5 210 −8+2我 211 −7+2我 212 −6+2我 213 −5+2我 220 −8+4我 221 −7+4我 222 −6+4我 223 −5+4我 230 −8+6我 231 −7+6我 232 −6+6我 233 −5+6我

底座${\显示样式\脚本样式2i\，}$ 基数10 300 −12 301 −11 302 −10 303 −9 310 −12+2我 311 −11+2我 312 −10+2我 313 −9+2我 320 −12+4我 321 −11+4我 322 −10+4我 323 −9+4我 330 −12+6我 331 −11+6我 332 −10+6我 333 −9+6我

算术运算

对于下面讨论的示例，我们将使用两对整数：12和8（10100${\显示样式{2i}}$和10200${\显示样式{2i}}$），$｛\displaystyle7-i｝$和${\显示样式-12+16i}$(10303.2${\显示样式{2i}}$和102300${\显示样式{2i}}$）。

添加

实部加法等于基数−4（数字对应的偶数幂${\显示样式\脚本样式2i\，}$)和以−4为基数的虚数部分相加（与奇数幂相对应的数字${\显示样式\脚本样式2i\，}$). 请记住，基数−4中的“进位”（实际上是所有的负数）是减法，这分别适用于偶数分度位数（实数部分）和奇数分度数位（虚数部分）。

在某些情况下，加法和十进制一样简单，根本不需要进位。

10100+ 10200-----= 20300

即12+8=20。

但对于我们的第二对操作数，有必要“进位”${\显示样式{-4}}$+ 3$｛\displaystyle_｛-4｝｝$给出2个${\显示样式{-4}}$进位1${\显示样式{-4}}$，即向左减去两个位置。）

10303.2+ 102300.0--------= 102203.2

那就是${\显示样式（7-i）+（-12+16i）=-5+15i}$.

减法

减法等于实数部分的基数-4减法（数字对应的偶数幂${\显示样式\脚本样式2i\，}$)虚部的基数−4减法（与奇数幂相对应的数字${\显示样式\脚本样式2i\，}$). 请记住，基数−4中的“借用”（实际上是所有负数）是相加的，这分别适用于偶数索引数字（实数部分）和奇数索引数位（虚数部分）。

在某些情况下，减法和十进制一样简单，根本不需要借用。

20300- 10100-----= 10200

即20–12=8。

对于第二对操作数，有必要“借用”${\显示样式{-4}}$− 3$｛\displaystyle_｛-4｝｝$借1${\显示样式{-4}}$，即向左两个位置加1，得到2${\显示样式{-4}}$.)

102203.2-  10303.2--------= 102300.0

那就是${\显示样式（-5+15i）-（7-i）=（-12+16i）}$.

乘法

(...)

部门

内部划分n个虚数系是一个挑战！

代数运算

指数

(...)

根部提取

根提取在n-虚数系统是一个挑战！

序列

A212494型底座${\显示样式\脚本样式2i\，}$非负整数的表示。

{0, 1, 2, 3, 10300, 10301, 10302, 10303, 10200, 10201, 10202, 10203, 10100, 10101, 10102, 10103, 10000, 10001, 10002, 10003, 20300, 20301, 20302, 20303, 20200, 20201, 20202, 20203, ...}

A007608型以−4为基数的非负整数。（基数位数${\显示样式\脚本样式2i\，}$对应于偶数幂的表示${\显示样式\脚本样式2i\，}$，即真实部分）

{0, 1, 2, 3, 130, 131, 132, 133, 120, 121, 122, 123, 110, 111, 112, 113, 100, 101, 102, 103, 230, 231, 232, 233, 220, 221, 222, 223, 210, 211, 212, 213, 200, 201, 202, 203, ...}

A177505号底座$｛\displaystyle\scriptstyle 2i\，｝$以4为基数重新解释的非负整数的表示。

{0, 1, 2, 3, 304, 305, 306, 307, 288, 289, 290, 291, 272, 273, 274, 275, 256, 257, 258, 259, 560, 561, 562, 563, 544, 545, 546, 547, 528, 529, 530, 531, 512, 513, 514, 515, ...}

A212542型底座$｛\displaystyle\scriptstyle 2i\，｝$负整数的表示。

{103, 102, 101, 100, 203, 202, 201, 200, 303, 302, 301, 300, 1030003, 1030002, 1030001, 1030000, 1030103, 1030102, 1030101, 1030100, 1030203, 1030202, 1030201, 1030200, ...}

A212526型以−4为底的负整数。（基数位数${\显示样式\脚本样式2i\，}$对应于偶数幂的表示${\显示样式\脚本样式2i\，}$，即真实部分）

{13, 12, 11, 10, 23, 22, 21, 20, 33, 32, 31, 30, 1303, 1302, 1301, 1300, 1313, 1312, 1311, 1310, 1323, 1322, 1321, 1320, 1333, 1332, 1331, 1330, 1203, 1202, 1201, 1200, ...}

另请参见

• n个虚数系（带有基数 ${\displaystyle\scriptstyle{\sqrt{-n}}，\，n\，\geq\，2\，}$，和集合中的数字${\显示样式\脚本样式\{0，\，…，\，n-1\}\，}$)
• 双想象数字系统（带有基数 ${\displaystyle\scriptstyle{\sqrt{-2}}\，=\，{\sqrt{2}}\、i\，}$和集合中的数字${\显示样式\脚本样式\{0，\，1\}\，}$)
• 消极的（基数-2）数字系统
• Negaquartal公司（基数-4）数字系统

工具书类

• 唐纳德·科努特，计算机编程的艺术第2卷，第2版。马萨诸塞州雷丁：艾迪森·韦斯利（1981）：189。

外部链接

• Donald Knuth（1960年4月），“虚数系统."ACM通信 三（4） 第245-247页。
• Joerg Arndt，“基数2i
• 四象限基地-发件人维基百科，免费百科全书。