功能逻辑•查询和类比

本报告讨论了C.S.皮尔士对类比的处理，将其与他的整体探究理论联系起来。我们首先介绍皮尔士从经典逻辑中采用的三种基本推理类型。在皮尔士的分析中，探究和类比都是复杂的逻辑推理程序，它们通过这三种类型的阶段发展而来，尽管通常顺序不同。

注释。使用后的讨论逻辑连词，以连接元组的形式表示 ${\显示样式e_{1}~\ldots~e_{k}，}$ 和最小求反运算，以方括号元组的形式表示 ${\显示样式{\texttt{（}}e_{1}{\texttt{，}}\ldots{\texttt，}}e_{k}{\text{）}}，}$ 作为微积分的主要表示形式运算布尔值函数，也就是说，对于命题。此演算的表达式解析为数据结构，其底层图形称为仙人掌图论者。因此得名仙人掌语言这是命题演算的方言。

推理的三种类型

亚里士多德的推理类型

图1快速概述了传统术语，在讨论过程中，我们将有机会提及这些术语。

{\displaystyle{\text{图1。亚里士多德的推理类型

皮尔士推理的类型

皮尔士在1865年的哈佛大学讲座《科学的逻辑》中，给出了他最早的三种推理方法之一。在那里，他展示了如何从三个方向得出相同的命题，这是三种模式中每一种推理的结果。

我们有三种不同的推断：

演绎或推论先验的，

归纳或推理特别的，

假设或推论后位.

（皮尔士，CE 1，第267页）。

如果我认为某些行为是明智的，因为它有一个属于只有明智的事情，我推理先验的.

如果我认为它是明智的，因为它曾经被证明是明智的话，也就是说，如果我推断它在这个场合是明智的因为它在那个场合是聪明的，我会归纳推理[特别的]。

但如果我认为这是明智的，因为智者这样做，那么我会做出纯粹的假设，认为他这样做是因为他是明智的后位.

（皮尔士，CE 1，第180页）。

假设我们做以下作业。

${\displaystyle{\begin{array}{lll}\mathrm{A}&=&{\text{Wisdom}}\\mathrm}B}&=&{\text}某个字符}}\\mathrm{C}&=＆{text{某个行为}}\\methrm{D}&=-{text{done by A wise man}}\\ mathrm{E}&={text{A sequence}}}\\end{arrary}}}}$

认识到更多的具体性将有助于理解，让我们在皮尔士的例子中进行以下替换。

${\displaystyle{\begin{array}{llll}\mathrm{B}&=&{\text{Benevolence}}&=&{\text}某个字符}}\\mathrm}C}&=＆{text{对慈善事业的贡献}&=&$

所有三种推理的聚合操作如图2所示。

｛\displaystyle｛\text｛图2。三智行为

每个论点的结论都是AC，为慈善事业捐款是明智的。

演绎本可以从AB规则中获得事实AC，仁爱就是智慧，与BC案例一起，对慈善事业的贡献就是仁爱。
归纳法本可以收集规则AC，为慈善事业做出贡献是智慧的典范，从事实AE来看，今天早些时候的行为是明智的，与案例CE一起，今天早些时候的行为是为慈善事业做出贡献的一个例子。
绑架案可能已经猜到了，对慈善事业的贡献是用智慧来解释的，从事实DC来看，对慈善的贡献是由这位智者完成的，而DA规则，一切明智的事情都是由这位智慧者完成的。
因此，一个聪明的人，如果做了所有明智的事情，那么他可能会无缘无故地为慈善事业捐款，甚至会慈善到错误的地步。但当看到智者为慈善事业捐款时，人们自然会认为慈善事业很可能是作记号从本质上说，他的智慧是原因他为慈善事业捐款。

分析的比较

当我们比较亚里士多德和皮尔士各自分析中出现的三种推理类型时，下面的两个数字将很有用。

{\displaystyle{\text{图3。转换中的推理类型}}}

{\displaystyle{\text{图4。皮尔士}}中的推理类型

亚里士多德的“Apagogy”•作为问题简化的诱因推理

皮尔士的诱因推理概念源于亚里士多德在前分析篇亚里士多德的讨论以一个看似偶然的例子开始，但这个问题及其分析是对柏拉图对话中一个重要研究的回应梅诺这项研究涉及知识的可能性以及知识与美德之间的关系，或知识与美德的对象、真与善之间的关系。这不仅是因为它在哲学中形成了一个反复出现的问题，还因为它在形式和内容之间保持了一定的对应关系，我们会发现这个例子与我们的研究越来越相关。

关于阅读的几点笔记可能会有帮助。希腊文本似乎暗示了一个几何图，其中有定向线段AB公司，不列颠哥伦比亚省，自动控制用于指示A类，B，C类。我们有两种选择来阅读这些线条标签，无论是作为暗示还是作为包含，如以下两种解释范式所示。

这里，“X（X）包含Y（Y）“表示”X（X）适用于所有Y（Y）“，或”X（X）是一切的预言Y（Y）”.如果没有混淆的危险，我们可以将其写为“X（X）≥Y（Y）”.

我们有归约（απαγωγη，外展）：（1）当第一项显然适用于中间项，但中间项适用于最后一项并不明显，但仍然比结论更有可能或不太可能时；或者（2）如果最后一个和中间的中间项不多；因为在所有这些情况下，其效果是使我们更接近知识。

(1)例如。，让A代表“可以教的”，B代表“知识”，C代表“道德”。那么，可以传授的知识是显而易见的；但美德是否是知识尚不清楚。那么，如果BC的可能性不小于AC，或者BC的可能性大于AC，则我们有减少；因为我们更接近于知识，因为我们引入了一个额外的术语，而之前我们不知道AC是真的。

（2）或者，如果B和C之间没有太多中间项，我们也有减少；因为在这种情况下，我们也更接近知识。例如。，假设D是“方形”，E是“直线图形”，F是“圆”。假设E和F之间只有一个中间项，即圆通过半月变为一个直线图形，我们应该近似于知识。

（亚里士多德，“先验分析”2.25）

诱因推理的方法与我们所说的一个问题简化为另一个问题的简化感有着密切的关系。被问到的问题是“美德可以教吗？”答案的类型如下。

如果美德是一种理解的形式，如果我们愿意承认理解可以被教授，那么美德可以被教授。通过迂回和间接的方式来解决问题，诱因推理的形式被用来将攻击从最初的问题，即美德是否可以被教导，转移到希望更容易的问题，也就是美德是否是一种理解形式。

第一个例子中假设形成过程的逻辑结构遵循“诱因到案例”的模式，其抽象形式如图5所示。

{\displaystyle{\text{图5。可教性、理解力、美德

以下作业解释了图的意义。

从事实到案件的拐骗按照以下模式进行。

${\显示样式{\开始{数组}{l}~{\text{事实：}}~V\右箭头T\\~｛\text｛规则：｝｝~U\Rightarrow T.｝｛\overline｛~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~？\结束{数组}}$

亚里士多德的“范式”•类比推理

亚里士多德在希腊语单词παραδεγμα的标题下研究类比推理或“以身作则”的主题，英语单词来自希腊语单词范式。该词最初的意思是指一种“旁白”，或对案例进行平行比较。

我们有一个例子（παραδειγμα，或类比），通过类似于第三个的项，主要极值被证明适用于中期。必须知道，中间值适用于第三项，第一项适用于与第三项类似的项。

例如。让A“坏”，B“向邻国开战”，C“雅典对抗底比斯”，D“底比斯对抗菲奇斯”。那么，如果我们要求证明对底比斯的战争是不好的，我们必须确信对邻国的战争是坏的。这方面的证据可以从类似的例子中得出，例如底比斯对福希斯的战争很糟糕。既然对邻国的战争是不好的，对底比斯的战争是对邻国的，那么很明显，对底比斯的战争也是不好的。

（亚里士多德，“先验分析”2.24）

{\显示样式{\text{图6。亚里士多德的“范式”

皮尔士的类比公式

接下来我们看看皮尔士分析类比推理的几种方法。版本1-

注：。皮尔士的符号作了一些改动，以便于两个版本之间的比较。

版本1。《论据的自然分类》（1867）

类比公式如下： ${\显示样式S^{\素数}、S^{\prime\prime}、~{\text{和}}~S^{\trime\prime}}$ 从这样一个类中随机抽取，其随机字符如下 ${\显示样式{P^{\素数}，P^{\prime\prime}，P^{\prime\prime}}。}$

${\显示样式{\开始{矩阵}T~{\text{is}}~P^{prime}，P^{\prime\prime}，P^{\prime\primer}，\\[4pt]S^{\rime}、S^{\ prime\prime}和S^{\prime\ prime}~{\text{are}}~Q\\[4pt]\因此T~{text{is}}~Q\结束{matrix}}}$

这样的论点是双重的。它结合了以下两项：

${\显示样式{\开始{矩阵}1。\\[4pt]S^{\素数}，S^{\prime\prime}，S^{\prime\prime}~{\text{被认为是}}~P^{\素}，P^{\rime\primer}，P^{\ prime\prime}\\[4pt]\因此~（{\text{By induction}}）~P^{\prime}，P^{\ prime\prime}，P^{\ prime\prime\prime}~{\text}is}~Q，\\[4pt]T~{\text{is}~P^}，P ^{\prime\prime}\\[4pt]\因此~（{\text{演绎}}）~T~{text{is}}~Q\end{matrix}}}$

${\显示样式{\开始{矩阵}2。\\例如，[4pt]S^{\prime}、S^{\trime\prime\prime}、S^{\prime\primes}~{\text{是}}~P^{\rime}，P^{\tprime\prime}，P^{\time\prime}.，\\[4pt]T~{\text{is}~P#{\prime{，P#{\time\prime{，P#{\Primes}\\因此，~（{\text{By hypothesis}}）~T~{text{具有}}~S^{prime}、S^{\prime\prime}、S^}\prime\trime}，\\[4pt]S^{\trime\prime}，S^{\ prime\prime}、S^{\prime\primes}~{text}are}~Q等常见字符\\[4pt]\因此~（{\text{演绎}}）~T~{text{is}}~Q\end{matrix}}}$

由于其双重性，类比非常强烈，只有少量的实例。

（皮尔士，CP 2.513；CE 2，46–47）

图7显示了上述分析中涉及的逻辑关系。

{\显示样式{\text{图7。皮尔士的类比公式（第1版）}}}

版本2。《概率推理理论》（1883）

皮尔士后来给出了更复杂的类比公式。版本2-

因此，类比推理的公式提出了三个前提，因此： ${\显示样式S^{\素数}，S^{\prime\prime}，S^{\prime\prime}，}$ 是某个未定义类的随机样本， ${\显示样式X，}$ 其中的字符 ${\显示样式P^{\素数}，P^{\prime\prime}，P^{\prime\prime}，}$ 是样品，

${\显示样式{\开始{矩阵}T~{\text{is}}~P^{\prime}，P^{\trime\primeneneneep，P^}\trime\trime}\\[4pt]S^{\素数}，S^{\prime\prime}，S^{\prime\prime}，~{\text{are}}~Q\operatorname{'S}\\因此，}}~T~{text{是}}~Q.\end{matrix}}}$

我们这里显然有一个归纳法和一个假设，然后是一个推论；因此：

${\displaystyle{\begin{array}{l|l}{\text{Every}}~X~{text{is，例如，}}~P^{\prime}、P^{\trime\prime{、P^{\prime\prime}、~{\text}等}}、&S^{\time}、S^{\rime\prime}，S^{\ prime\primes}，~{\text{等是}~X\operatorname{'S}、\\[4pt]T的示例发现~{\text{是}}~P^{\prime}，P^{\ prime\prime}，P^{\prime\prime\ prime}，~{\text{etc.}}&发现S^{prime}、S^{prime\prime}、S^{primer\prime、~{text{等是}}~Q\operatorname{'S}\\[4pt]{\text{因此，假设}}~T~{text{是}}~X.&{\text}因此，归纳起来，每个}}~X~{text}都是}}=Q.\end{array}}}$

${\displaystyle{\text{因此，演绎地说，}}~T~{\text{是}}~Q.}$

（皮尔士，CP 2.733）

图8显示了上述分析中涉及的逻辑关系。

{\显示样式{\text{图8。皮尔士的类比公式（第二版）}}}

杜威的“雨的迹象”•一个调查的例子

为了说明符号关系在探究中的地位，我们从杜威在日常生活中优雅而简单的反思性思维的例子开始。

一个男人在温暖的日子里行走。他上次观察时天空很晴朗；但现在他注意到，虽然主要忙于其他事情，但空气更凉爽。他突然想到可能要下雨了；抬头一看，他看到自己和太阳之间有一片乌云，于是他加快了脚步。在这种情况下，如果有什么可以称之为思想的话，那又是什么呢？行走的动作和寒冷的感觉都不是一种思想。步行是活动的一个方向；看和记是其他的活动方式。然而，下雨的可能性很高建议.行人感觉寒冷；他想到云朵和即将到来的阵雨。

（杜威1991年6月7日）

询问和解释

在杜威的叙事中，我们可以确定符号关系的特征如下。酷炫是物体的标志雨，口译员是想到下雨的可能性在1910年对反思思维的描述中，杜威区分了两个阶段，“困惑、犹豫、怀疑的状态”和“搜索或调查的行为”（杜威1991，9），这两个阶段在他后来的探究模型中得到了进一步的完善。在这个例子中，反思是口译员的行为，通过他对可能下雨的印象，在冷静的感官冲击和下雨的客观危险之间建立了一种联系。但反思不仅仅是不负责任的猜测。在反思中，口译员通过寻找这个想法所暗示的其他迹象，并根据这个搜索的结果评估这个想法，从而对雨的想法（思维中下雨的可能性）进行充放电。

图9展示了杜威的“雨的迹象”例子，追踪了标志关系的结构和功能，因为它告知了探究活动，包括惊讶解释和有意行动的运动。符号关系的二元面用几个适用的最松散的术语标记，表示符号对最终发生的“重要性”和“对应关系”；具有外部导向的思想。这些二元角色的区别并不意味着什么本质，因为只有在特殊或退化的情况下，它们的阴影投影才能保持足够的信息来确定原始符号关系。

{\显示样式{\text{图9。杜威的“下雨迹象”示例}}}

探究与推理

如果我们深入了解杜威的故事，考虑到行动的思想意义，我们就会意识到，口译员随后的行为，通过这一集的自然结局——加快步伐，及时寻求避雨的地方——形成了一系列进一步的口译员，取决于个人的积极原因、最初公认的下雨迹象和实际情况的第一印象。正如批判性反思会发展出与一个想法相关的、可供选择的符号一样，语用解释也会探索相应的、对比鲜明的行为，这些行为会给一个人的信仰带来有效的、可检验的意义。

图10根据皮尔斯确定的三个推理阶段，绘制了本例中的查询进度。

{\显示样式{\text{图10。查询周期}}}

绑架。第一步，跌跌撞撞地进入调查周期是通过屈挠性推理。事实C类⇒A类行人现状中空气的凉爽，从他的世俗经验（或其他背景知识）中发挥了规律B⇒A类空气中的寒意是预示着下雨的情况的一个特征。这一事实和这一规则相互配合，为所观察到的现象提供了一个合理的解释。那个徒步旅行者把箱子放在一边C类⇒B，这预示着当前形势下会下雨。
扣除额…
入职培训…

在对调查最初步骤的分析中，我们有一种复杂或混合的推理形式，可以看作是分两个步骤进行的：

第一步是诱拐，它从事实和规则的考虑中抽象出案件。

事实：	C类⇒A类，	在当前情况下，空气很凉爽。
规则：	B⇒A类，	就在下雨之前，空气很凉爽。
案例：	C类⇒B，	目前的情况是在下雨之前。

2.最后一步是演绎，将本案纳入另一个规则，从而得出一个新颖的事实。

案例：	C类⇒B，	目前的情况是在下雨之前。
规则：	B⇒天，	就在下雨之前，乌云会出现。
事实：	C类⇒天，	在当前情况下，将出现乌云。

这远不是对Rainy Day调查的完整分析，即使它可能是在三段论框架的约束下进行的，它只涵盖了相关调查过程的前两个步骤，但也许它可以作为一个开始。

量化理论的功能概念

到目前为止，量化理论一直是基于个人变量在完全确定元素的普遍集合范围内的假设。仅仅是写量化公式的行为，比如 $｛\displaystyle\ for all _｛x\ in x｝f（x）｝$ 和 ${\显示样式\exists_{x\ in x}f（x）}$ 包含对此类概念的订阅，如在其索引中调用的成员关系所示。然而，当我们根据实用主义和建设性原则更加批判性地反思传统假设时，这些假设开始成为有问题的假设，其理由不容置疑，作为具有彻底决心的项目，它们超越了有限信息和控制的管理权力。因此，值得考虑的是，量化理论的场景如何可能会更接近熟悉的领域，朝着表示我们对现象的持续了解的谓词本身转移。

高阶命题表达式

If函数类型 ${\显示样式X\to\mathbb{B}}$ 关于事物的命题 ${\显示样式X}$ 然后是类型的函数 ${\显示样式（X\to\mathbb{B}）\to\mathbb{B}}$ 命题是关于中的事物的命题吗 ${\显示样式X，}$ 系列中的第一个高阶命题基于 ${\显示样式X.}$

为了以具体材料为基础进行调查，让我们首先考虑高阶命题表达式特别是那些源于1和2变量的命题。

高阶命题与逻辑算子(n个= 1)

A类高阶命题是一个关于命题的命题。如果命题的原始顺序是一类指示函数 ${\显示样式f:X\to\mathbb{B}}$ 然后，下一个更高阶的命题由类型映射组成 ${\显示样式m:（X\to\mathbb{B}）\to\mathbb{B}.}$

例如，考虑以下情况 ${\显示样式X=\mathbb{B}.}$ 关于 ${\显示样式X.}$ 每个命题都有具体的类型 ${\显示样式f:X\to\mathbb{B}}$ 和抽象类型 ${\显示样式f:\mathbb{B}\to\mathbb{B}.}$ 从那一开始，我们可以对四个命题的初始集合做出十六个高阶命题。每个高阶命题都有抽象类型 ${\显示样式m:（\mathbb{B}\to\mathbb{B}）\to\mathbb{B}.}$

表11列出了关于一个布尔变量上命题的十六个高阶命题，按以下方式组织。

第1列和第2列共同给出了四个命题的真值表形式 $｛\displaystylef:\mathbb｛B｝\to\mathbb｛B｝。｝$ 第1列显示命题的名称 ${\显示样式f{i}，}$ 对于 ${\显示样式i}$ =1到4，而第2列中的条目显示了每个命题在相应列标题中列出的参数值上的值。
第3列显示了有关命题的一个更常见的表达式。
最后十六列的标题是一系列高阶命题的常规名称，也称为措施 ${\显示样式m{j}，}$ 对于 ${\显示样式j}$ =0到15。表体中的条目显示了每个度量值分配给每个命题的值 $｛\displaystylef_｛i｝。｝$

{\显示样式{\text{表11。高阶命题}}~（n=1）}

表12显示了一系列解释范畴对于表11中的高阶命题，我将推迟进一步讨论，直到我们超越一维情况。低维情况往往是浓缩或退化的一旦我们把两个变量混合在一起，它们的结构和全部意义几乎自动变得更容易看到。

{\显示样式{\text{表12。高阶命题的解释范畴}}~（n=1）}

高阶命题与逻辑算子(n个= 2)

通过回顾符号并准备将其扩展到更高阶的话语世界，让我们首先考虑话语世界 $X^{\bullet}=[{\mathcal{X}}]=[X_{1}，X_{2}]=[u，v]，$ 基于两个逻辑特征或布尔变量 ${\显示样式u}$ 和 ${\显示样式v.}$

话语的世界 ${\显示样式{X^{\项目符号}}}$ 由两部分组成，一组点和一套命题.

的要点 ${\显示样式{X^{\项目符号}}}$ 形成空间：

${\显示样式{\开始｛矩阵｝X&=&\langle{\mathcal{X}}\rangle&=&\angleu，v\rangle=&\{（u，v）\}&\cong&\mathbb{B}^{2}。\结束{矩阵}}$

中的每个点 ${\显示样式{X}}$ 可以通过奇异命题也就是说，一个唯一描述它的命题。这种表示形式导致以下点的枚举。

${\显示样式{\开始{矩阵}X&=&\{~{\texttt{（}}u{\texttt{）（}}v{\texttte{）}~，~{\text{（{}u{texttt{）{}~v~，~u~{\ttexttt{。\结束{矩阵}}$

中的每个点 ${\显示样式X}$ 也可以通过其协调，即通过中的有序值对 ${\显示样式\mathbb{B}}$ 哪个坐标命题 ${\显示样式u}$ 和 ${\显示样式v}$ 接受这一点。这种表示形式导致以下点的枚举。

${\显示样式{\开始{矩阵}X&=&&\｛\（0,0），\（0,1），\（1,0），\（1,1）\\｝&&\cong&&\mathbb｛B｝^｛2｝。\结束{矩阵}}$

的主张 ${\显示样式{X^{\项目符号}}}$ 形成空间：

${\显示样式{\开始{矩阵}X^{\uparrow}&=&（X\to\mathbb{B}）&=&\{f:X\to\mathbb{B}\}&\cong&（\mathbb2{B}^{2}\to\mathbb{B}）。\结束{矩阵}}$

与往常一样，只要人们意识到同构结构的存在并知道何时再次调用它们是至关重要的，通常可以忽略一些同构结构之间的细微区别标记。

下一个更高阶的话语世界建立在 ${\显示样式{X^{\项目符号}}}$ 是 ${\显示样式X^{\项目符号2}=[X^{\bullet}]=[[u，v]]，}$ 其可以以以下方式发展。的主张 ${\显示样式{X^{\项目符号}}}$ 成为…的要点 ${\显示样式X^{\项目符号2}，}$ 以及类型的映射 ${\显示样式m:（X\to\mathbb{B}）\to\mathbb{B}}$ 成为…的主张 ${\显示样式X^{\项目符号2}.}$ 此外，为讨论配备一组选定的命题的高阶算子是很方便的，所有这些算子都具有以下形式 ${\显示样式w:（\mathbb{B}^{2}\ to \mathbb{B}）^{k}\ to \ mathbb}.}$

为了在剩下的讨论中保留几个词，我将使用以下术语测量和限定符指所有类型的高阶命题和运算符。为了用生动的语言描述当前的环境 ${\显示样式[u，v]}$ 可以被视为16幅文氏图的画廊，而度量 ${\显示样式m:（X\to\mathbb{B}）\to\mathbb{B}}$ 类似于一组评委或一组批评性观众，每个人都会对每一张照片进行整体评价，并报告得到支持与否的照片。这样，每个法官 ${\显示样式m{j}}$ 将图片库分为两个美学部分，即图片 ${\显示样式m{j}^{-1}（1）}$ 那个 ${\显示样式m{j}}$ 点赞和图片 ${\显示样式m{j}^{-1}（0）}$ 那个 ${\显示样式m{j}}$ 不喜欢。

有 ${\显示样式2^{16}=65536}$ 形式的度量 ${\显示样式m:（\mathbb{B}^{2}\to\mathbb{B}）\to\mathbb{B}.}$ 表13以上面使用的高阶真值表的形式显示了它们数量的前24个。该列标题为 ${\显示样式m{j}}$ 显示度量值 ${\显示样式m{j}}$ 关于每个命题 ${\显示样式f_{i}:\mathbb{B}^{2}\to\mathbb{B}}$ 对于 ${\显示样式i}$ =0至15。按指示顺序排列的措施称为标准订购在这个方案中，索引 ${\显示样式j}$ 测量值的 ${\显示样式m{j}}$ 是表中相应列中位字符串的十进制等价物，按从下至上的顺序读取二进制数字。

{\显示样式{\text{表13。高阶命题}}~（n=2）}

裁判员

这个 ${\显示样式2^{16}}$ 类型度量 ${\显示样式（\mathbb{B}\times\mathbb{B}\to\mathbb2{B}）\to\mathbp{B}}$ 提出了一系列关于二维话语世界命题的命题。它们标准排序中的早期条目定义的宇宙太无定形，无法让我们在第一次通过时停留太久，但当我们转向排序的高端时，我们开始认识到值得从新的角度研究的熟悉结构。

为了便于我们的研究，我们定义了几个高阶算子，

${\显示样式{\begin{matrix}\Upsilon:（\mathbb{B}\times\mathbb{B}\to\mathbb2{B}）^{2}\to\mathbp{B}&&{text{and}}&&\Upsilen_{1}:$

称为相对和绝对裁判员分别是。如果其中一个操作符是用更原始的概念定义的，那么剩下的操作符可以用第一个建立的操作符定义。

让 ${\显示样式X=\langle u，v\rangle}$ 是一个二维布尔空间， ${\显示样式X\cong\mathbb{B}\times\mathbb{B}，}$ 由两个布尔变量或逻辑特征生成 ${\显示样式u}$ 和 ${\显示样式v.}$

给定一对有序命题 ${\显示样式e，f:\langle u，v\rangle\to\mathbb{B}}$ 作为参数相对裁判员报告值 ${\显示样式1}$ 如果第一个暗示第二个，否则它报告值 ${\显示样式0.}$

${\displaystyle{\begin{matrix}\Upsilon（e，f）=1&{\text{当且仅当}}&&e\右箭头f\end{matrix2}}}$

用另一种方式表达：

${\displaystyle{\begin{matrix}\Upsilon（e，f）=1&\iff&&{\texttt{（}}e{\textt{（{}f{\texttt{））}}=1\end{matrix}}}}$

然而，在撰写本文时，重要的是要注意 ${\显示样式1}$ 出现在左侧 ${\显示样式1}$ 出现在逻辑等价的右侧有不同的含义。在填写详细信息时，我们有以下内容。

${\displaystyle{\begin{matrix}\Upsilon（e，f）=1\in\mathbb{B}&&\iff&&{\texttt{（}}e{\texttt{$

将类型作为下标写入，并使用以下事实 $｛\displaystyle X＝\langle u，v\langle，｝$ 可以更简洁地表达如下。

${\displaystyle{\begin{matrix}\Upsilon（e，f）=1_{\mathbb{B}}&&\iff&{\texttt{（}}e{\texttt{$

最后，将第一个参数写为下标通常很方便。因此，我们有以下等式。

${\显示样式{\开始{矩阵}\Upsilon_{e}（f）&=&\ Upsilon（e，f）。\结束{矩阵}}$

这个绝对裁判员，也称为裁判措施，是一个高阶命题 ${\显示样式\Upsilon_{1}：（\mathbb{B}\times\mathbb{B}\to\mathbb2{B}）\to\mathbp{B}}$ 由方程式定义 $｛\displaystyle\Upsilon\｛1｝（f）=\Upsilon（1，f）。｝$ 在本例中，下标 ${\显示样式1}$ 左翼与论点 ${\显示样式1}$ 右边都指常量命题 ${\显示样式1:\mathbb{B}\times\mathbb{B}\to\mathbb2{B}.}$ 在大多数情况下 $｛\displaystyle\Upsilon\｛1｝｝$ 应用于参数时，省略下标是安全的 ${\显示样式1}$ 因为参数的数量指示了运算符的类型。因此，我们有以下恒等式和等价物。

${\displaystyle{\begin{matrix}\Upsilon f=\Upsilen_{1}（f）=1_{\mathbb{B}}&\iff&{\texttt{（}}1{\textt{（{}f{\texttt{））}}=\mathbf{1}&\iff&f=1_{\tmathbb}B}\times\mathbb{B}\to\mathbb2{B}{}\end{matrixe}}}$

裁判措施 ${\显示样式\Upsilon_{1}}$ 在布尔函数的层次上定义为数学对象，但也可以根据它在句法层次上诱导的判断来理解。按照这种解释 ${\显示样式\Upsilon_{1}}$ 认识命题演算的定理 ${\显示样式[u，v]，}$ 得分为 ${\显示样式1}$ 重言式和分数 ${\显示样式0}$ 对于其他一切，把所有或有陈述都视为谎言。

对于那些可能更喜欢另一种定义的人，顺便说一句。如果我们最初采取 ${\显示样式\Upsilon}$ 表示绝对度量，则相对度量可以定义为 ${\显示样式\Upsilon_{e} （f）=\Upsilon{\texttt{（}}e{\texttt（}}f{\texttt{））}}.}$

量入为出

让我们定义两组度量，

${\显示样式\alpha_{i}，\beta_{i{：（\mathbb{B}\times\mathbb{B}\to\mathbb2{B}）\to\mathbp{B}~{\text{for}}~i=0~{\text{to}}~15，}$

通过以下方程式：

${\显示样式{\开始{矩阵}\alpha_{i} （f）&=&\上西隆（f_{i}，f）&=&\下西隆（f1{i}\右箭头f），\\[6pt]\beta_{i} （f）&=&\上西隆（f，f_{i}）&=&\下西隆（f\右箭头f_{i}）。\结束{矩阵}}$

表14显示了每个值 ${\显示样式\alpha_{i}}$ 关于16个布尔函数中的每一个 ${\显示样式f:\mathbb{B}\times\mathbb{B}\to\mathbb2{B}.}$ 根据16个函数的蕴涵顺序， ${\显示样式\alpha_{i} （f）=1｝$ 这么说 ${\显示样式f}$ 是高于或等于 ${\显示样式f{i}}$ 在蕴涵格中，即， ${\显示样式f\geqf{i}}$ 在蕴涵排序中。

{\显示样式{\text{表14。隐含序}}~\alpha的限定符_{i} （f）=\Upsilon（f_{i}，f）}

表15显示了每个值 ${\显示样式\beta_{i}}$ 16个布尔函数中的每一个 ${\显示样式f:\mathbb{B}\times\mathbb{B}\to\mathbb2{B}.}$ 就16个函数的蕴涵排序而言， ${\显示样式\beta_{i} （f）=1}$ 这么说 ${\显示样式f}$ 是低于或等于 ${\显示样式f{i}}$ 在蕴涵格中，即， ${\显示样式f\leq f_{i}}$ 在蕴涵排序中。

{\显示样式{\text{表15。隐含排序}}~\beta的限定符_{i} （f）=\Upsilon（f，f_{i}）}

应用于给定命题 ${\显示样式f，}$ 限定词 ${\显示样式\alpha_{i}}$ 和 ${\显示样式\beta_{i}}$ 告知是否 $｛\displaystyle f｝$ 是在上面 ${\显示样式f{i}}$ 或在下面 ${\显示样式f{i}，}$ 例如，让我们追溯几种这样的措施的效果，即那些在表中占据极限位置的措施。

${\显示样式{\开始{array}{*{8}{r}}\alpha_{0}页=1&\mathrm{iff}&f_{0}\Rightarrowf&\mathrm{iff2}&0\RightArrowf，&\mathr因此}&\alpha_{0}页=1&\mathrm{for~all}~f.\\[4pt]\alpha_{15} （f）=1&\mathrm{iff}&f_{15}\右箭头f&\mathrm{iff2}&1\右箭头f，&\mathr因此}&\alpha_{15} （f）=1&\mathrm{iff}~f=1.\\[4pt]\beta_{0}页=1&\mathrm{iff}&f\Rightarrow f_{0}&\mathrm{iff}&f\ Rightarror 0，&\mathr因此}&\beta_{0}页=1&\mathrm{iff}~f=0.\\[4pt]\beta_{15} （f）=1&\mathrm{iff}&f\Rightarrow f_{15}&\mathrm{iff2}&f\右箭头1，&\mathr因此}&\beta_{15} （f）=1&\mathrm{for~all}~f.\end{array}}}$

用他们积极重视的命题形式来表达， ${\显示样式\alpha_{0}=\beta_{15}}$ 是一种完全不分青红皂白的措施，接受所有主张 ${\显示样式f:\mathbb{B}\times\mathbb{B}\to\mathbb2{B}，}$ 然而 ${\显示样式\alpha_{15}}$ 和 ${\显示样式\beta_{0}$ 度量值是对常量命题的估值吗 ${\显示样式1:\mathbb{B}\times\mathbb{B}\to\mathbb2{B}}$ 和 ${\显示样式0:\mathbb{B}\times\mathbb{B}\to\mathbb2{B}，}$ 分别是最重要的。

最后，为了使用纤维符号来表示模型集，很自然地使用如下符号来表示满足相关裁判要求的命题集。

${\显示样式{\begin{matrix}[|\alpha_{i}|]&=&\alpha_{i}^{-1}（1），\\[6pt][|\beta_{i{|]&=&\beta_{i{1}（一），\\[6pt][|\Upsilon_{p}|]&=&\Upsilen_{p{-1}.（1）。\结束{矩阵}}$

将存在论解释扩展到量化逻辑

这项工作的资源之一是基于C.S.皮尔士逻辑图的形式演算。现在我们将采用存在解释在命题逻辑的核心层面上，确定逻辑常数和连接词的含义。为了建立在这个核心之上，我们需要扩展存在论解释，以包含对量化命题的分析，或者定量这反过来又需要进一步发展我们微积分的两种能力。在形式方面，我们需要考虑更高阶的函数类型，继续前面的冒险。在内容方面，我们需要考虑元素或单数的命题。

让我们回到二维宇宙 ${\显示样式X^{\项目符号}=[u，v].}$ 命题和量化之间的桥梁由一组度量或限定符 ${\displaystyle\ell_{ij}：（\mathbb{B}\times\mathbb{B}\to\mathbb2{B}）\to\mathbp{B}}$ 由以下方程式定义。

${\显示样式{\开始{数组}{*{11}{l}}\ell_{00}页&=&\ell_{{texttt{（}}u{\texttt{）（}}v{\textt{）}}f&=&\alpha_{1} （f）&=&\Upsilon_{{texttt{（}}u{texttt}）_{01}页&=&\ell_{{texttt{（}}u{\texttt{）}v}f&=&\alpha_{2} （f）&=&\Upsilon_{{\texttt{（}}u{\textt{）}}v}f&=&\Upsilon_}{\textts{（{}u{texttt{）{}v\，\Rightarrow\，f}&=&f~{\text{likes}}~{\text{_{10} （f）&=&\ell_{u{\texttt{（}}v{\texttt{）}}f&=&\alpha_{4} （f）&=&\Upsilon_{u{\texttt{_{11} （f）&=&\ell_{u\，v}f&=&\alpha_{8} （f）&=&\Upsilon_{u\，v}f&=&\Upsilon_}u\，v \，\Rightarrow\，f}&=&f~{\text{likes}}~u \，v\end{array}}}$

高阶命题 ${\displaystyle\ell_{ij}：（\mathbb{B}\times\mathbb{B}\to\mathbb2{B}）\to\mathbp{B}}$ 告诉我们关于这个命题的一些事情 ${\显示样式f:\mathbb{B}\times\mathbb{B}\to\mathbb2{B}，}$ 即类型空间中的哪些元素 ${\显示样式\mathbb{B}\times\mathbb{B}}$ 被赋值为正值 ${\显示样式f.}$ 总的来说 ${\显示样式\ell_{ij}}$ 运算符为我们提供了一种方法来表达对中命题的许多有用观察 ${\显示样式X^{\项目符号}=[u，v].}$ 图16总结了 ${\显示样式\ell_{ij}}$ 类型命题上的算子 $｛\displaystylef:\mathbb｛B｝\times\mathbb｛B｝\to\mathbb｛B｝。｝$

{\显示样式{\text{图16。话语}}~\左[\ell_{00}，\ell_}01}，\ ell_{10}，\sell_{11}\right]\subseteq\left[\左[u，v\right]右]}的高阶宇宙

高阶命题在量化理论中的应用

我们对高阶命题不断扩展的前景的探索，已经到了可以开始开拓量化逻辑新视角的地步。

虽然从纯粹形式的角度来看可能都是一样的，但对我们作为基本指标函数目标的二值空间采用稍微不同的解释确实有助于直觉。本着这种精神，我们宣布存在值函数 ${\显示样式f:\mathbb{B}^{k}\to\mathbb{E}}$ 哪里 ${\displaystyle\mathbb{E}=\{-E，+E\}=\}\mathrm{empty}，\mathrm{existing}\}}$ 是一对值，指示话语底层宇宙的细胞中是否存在任何东西。像往常一样，我们不会对这些函数的编码过于挑剔，只要预期的解释足够清楚，就会恢复为二进制代码。考虑到这一解释，接下来的几个表说明了经典量化理论和高阶指示函数之间的对应关系。

表17展示了传统上被称为“反对方”的量化命题形式的四重模式，将其与四个高阶命题联系起来，根据上下文，这些高阶命题也称为措施，限定符，或高阶指示器功能.

${\显示样式{\text{表17。作为高阶指标函数的三段论前提}}}$
${\显示样式{\开始{数组}{clcl}\mathrm{A}&{\text{通用肯定}}&{\text{All}}~u~{\text}is}}~v&{text{}}~u{\textt{tt{（}}v{\texttt{）}}&{\text{}}~u\cdot v=0\\[4pt]\mathrm{I}&{text{特殊肯定}}&｛\text｛Some｝｝~u~｛\text｛is｝｝~v&｛\text｛Indicator of｝｝~u\cdot v=1\\[4pt]\mathrm｛O｝&｛\text｛Special Negative｝｝&｛\text｛Some｝｝~u~｛\text｛is｝｝~｛\texttt｛（｝$

表18进一步详细阐述了上述观点，通过命题表达了一组更大的量化命题形式。

${\显示样式{\text{表18。命题的简单限定符（版本1）｝｝$
${\显示样式{\开始{矩阵}u\!:\\v\！：\结束{矩阵}}$	${\显示样式{\开始{矩阵}1100\\1010\结束{矩阵}}}$	${\显示样式f}$	${\displaystyle{\begin{smallmatrix}{\texttt{（}}\ell_{11}{\texttt{）}}\\{\text{No}}~u\\{text{is}}~v\end{smallmatrix}}}$	${\displaystyle{\begin{smallmatrix}{\texttt{（}}\ell_{10}{\texttt{）}}\\{\text{No}}~u\\{text{is}}~{\textt{（{}v{\texttt{）{}}\end{smallmatrix}}}}$	${\displaystyle{\begin{smallmatrix}{\texttt{（}}\ell_{01}{\texttt{）}}\\{\text{No}}~{\textt{（{}u{\textth{）{}\\{text{is}}~v\end{smallmatrix}}}}$	${\displaystyle{\begin{smallmatrix}{\texttt{（}}\ell_{00}{\texttt{）}}\\{\text{No}}~{\textt{（{}u{\textth{$	${\displaystyle{\begin{smallmatrix}\ell_{00}\\{\text{Some}}~{\texttt{（}}u{texttt{）}}\\{text{is}}~}\texttt}（}{v{texttt}）}{end{smallmatrix}}}}$	$｛\displaystyle｛\begin｛smallmatrix｝\ell_｛01｝\\｛\text｛Some｝｝~｛\texttt｛（｝）｝u｛\texttt｛）｝\\｛\text｛is｝｝~ v\end｛smallmatrix｝｝｝$	${\显示样式{\begin{smallmatrix}\ell_{10}\\{\text{Some}}~u\\{text{is}}~{texttt{（}}v{\textt{）}}\end{smallmatrix}}}$	${\显示样式{\begin{smallmatrix}\ell_{11}\\{\text{Some}}~u\\{text{is}}~v\end{smallmatrix}}}$
${\显示样式f_{0}}$	${\显示样式0000}$	${\显示样式{\texttt{（}}~{\texttt{）}}}$	1	1	1	1	0	0	0	0
${\显示样式f{1}}$	${\显示样式0001}$	${\显示样式{\texttt{（}}u{\texttt{）（}}v{\textt{）}}$	1	1	1	0	1	0	0	0
${\显示样式f{2}}$	$｛\displaystyle 0010｝｛\displaystyle 0010｝$	${\显示样式{\texttt{（}}u{\texttt{）}}~v}$	1	1	0	1	0	1	0	0
${\显示样式f{3}}$	${\显示样式0011}$	${\显示样式{\texttt{（}}u{\texttt{）}}}$	1	1	0	0	1	1	0	0
${\显示样式f_{4}}$	${\显示样式0100}$	${\显示样式u~{\texttt{（}}v{\texttt{）}}}$	1	0	1	1	0	0	1	0
${\显示样式f{5}}$	${\显示样式0101}$	${\显示样式{\texttt{（}}v{\texttt{）}}}$	1	0	1	0	1	0	1	0
${\显示样式f{6}}$	${\显示样式0110}$	${\显示样式{\texttt{（}}u{\texttt{，}}v{\textt{）}}$	1	0	0	1	0	1	1	0
${\显示样式f_{7}}$	${\显示样式0111}$	${\显示样式{\texttt{（}}u~v{\texttt{）}}}$	1	0	0	0	1	1	1	0
${\显示样式f_{8}}$	${\显示样式1000}$	${\显示样式u~v}$	0	1	1	1	0	0	0	1
${\显示样式f_{9}}$	${\显示样式1001}$	${\displaystyle{\texttt{（（}}u{\texttt{，}}v{\textt{））}}}$	0	1	1	0	1	0	0	1
${\显示样式f{10}}$	${\显示样式1010}$	${\显示样式v}$	0	1	0	1	0	1	0	1
${\显示样式f{11}}$	${\显示样式1011}$	${\displaystyle{\texttt{（}}u~{\texttt（}}v{\texttt{））}}}$	0	1	0	0	1	1	0	1
${\显示样式f{12}}$	$｛\displaystyle 1100｝$	${\显示样式u}$	0	0	1	1	0	0	1	1
${\显示样式f{13}}$	${\显示样式1101}$	$｛\displaystyle｛\texttt｛（（）｝u｛\texttt｛）｝｝~v｛\texttt｛）｝｝$	0	0	1	0	1	0	1	1
${\显示样式f{14}}$	${\显示样式1110}$	${\显示样式{\texttt{（（}}u{\texttt{）（}}v{\textt{））}}}$	0	0	0	1	0	1	1	1
${\显示样式f{15}}$	${\显示样式1111}$	$｛\displaystyle｛\texttt｛（（）｝~｛\texttt｛））｝｝$	0	0	0	0	1	1	1	1

表19和表20显示了与表18相同的信息，以不同的顺序对行进行排序，以显示数组中的其他对称性。

${\显示样式{\text{表19。命题的简单限定符（第二版）}}}$
${\显示样式{\开始{矩阵}u\!:\\v\！：\结束{矩阵}}$	${\显示样式{\开始｛矩阵｝1100\\1010\结束{矩阵}}}$	${\显示样式f}$	${\displaystyle{\begin{smallmatrix}{\texttt{（}}\ell_{11}{\texttt{）}}\\{\text{No}}~u\\{text{is}}~v\end{smallmatrix}}}$	${\displaystyle{\begin{smallmatrix}{\texttt{（}}\ell_{10}{\texttt{）}}\\{\text{No}}~u\\{text{is}}~{\textt{（{}v{\texttt{）{}}\end{smallmatrix}}}}$	${\displaystyle{\begin{smallmatrix}{\texttt{（}}\ell_{01}{\texttt{）}}\\{\text{No}}~{\textt{（{}u{\textth{）{}\\{text{is}}~v\end{smallmatrix}}}}$	${\displaystyle{\begin{smallmatrix}{\texttt{（}}\ell_{00}{\texttt{）}}\\{\text{No}}~{\textt{（{}u{\textth{$	${\displaystyle{\begin{smallmatrix}\ell_{00}\\{\text{Some}}~{\texttt{（}}u{texttt{）}}\\{text{is}}~}\texttt}（}{v{texttt}）}{end{smallmatrix}}}}$	${\显示样式{\begin{smallmatrix}\ell_{01}\\{\text{Some}}~{\textt{（}}u{\texttt{）}}\\{text{is}}~v\end{smallmatrix}}}}$	${\显示样式{\begin{smallmatrix}\ell_{10}\\{\text{Some}}~u\\{text{is}}~{texttt{（}}v{\textt{）}}\end{smallmatrix}}}$	${\显示样式{\begin{smallmatrix}\ell_{11}\\{\text{Some}}~u\\{text{is}}~v\end{smallmatrix}}}$
${\显示样式f_{0}}$	${\显示样式0000}$	${\显示样式{\texttt{（}}~{\texttt{）}}}$	1	1	1	1	0	0	0	0
${\显示样式f{1}}$	$｛\displaystyle 0001｝$	${\显示样式{\texttt{（}}u{\texttt{）（}}v{\textt{）}}$	1	1	1	0	1	0	0	0
${\显示样式f{2}}$	${\显示样式0010}$	${\显示样式{\texttt{（}}u{\texttt{）}}~v}$	1	1	0	1	0	1	0	0
${\显示样式f_{4}}$	$｛\displaystyle 0100｝｛\displaystyle 0100｝$	${\显示样式u~{\texttt{（}}v{\texttt{）}}}$	1	0	1	1	0	0	1	0
${\显示样式f_{8}}$	${\显示样式1000}$	${\显示样式u~v}$	0	1	1	1	0	0	0	1
${\显示样式f{3}}$	${\显示样式0011}$	${\显示样式{\texttt{（}}u{\texttt{）}}}$	1	1	0	0	1	1	0	0
${\显示样式f{12}}$	${\显示样式1100}$	${\显示样式u}$	0	0	1	1	0	0	1	1
${\显示样式f{6}}$	${\显示样式0110}$	${\显示样式{\texttt{（}}u{\texttt{，}}v{\textt{）}}$	1	0	0	1	0	1	1	0
${\显示样式f_{9}}$	$｛\displaystyle 1001｝$	${\displaystyle{\texttt{（（}}u{\texttt{，}}v{\textt{））}}}$	0	1	1	0	1	0	0	1
${\显示样式f{5}}$	${\显示样式0101}$	${\显示样式{\texttt{（}}v{\texttt{）}}}$	1	0	1	0	1	0	1	0
${\显示样式f{10}}$	${\显示样式1010}$	${\显示样式v}$	0	1	0	1	0	1	0	1
${\显示样式f_{7}}$	${\显示样式0111}$	${\显示样式{\texttt{（}}u~v{\texttt{）}}}$	1	0	0	0	1	1	1	0
${\显示样式f{11}}$	${\显示样式1011}$	${\displaystyle{\texttt{（}}u~{\texttt（}}v{\texttt{））}}}$	0	1	0	0	1	1	0	1
${\显示样式f{13}}$	${\显示样式1101}$	${\显示样式{\texttt{（（}}u{\texttt{）}}~v{\textt{）{}}$	0	0	1	0	1	0	1	1
${\显示样式f{14}}$	${\显示样式1110}$	${\显示样式{\texttt{（（}}u{\texttt{）（}}v{\textt{））}}}$	0	0	0	1	0	1	1	1
$｛\displaystylef_｛15｝｝$	${\显示样式1111}$	${\显示样式{\texttt{（（}}~{\texttt{））}}}$	0	0	0	0	1	1	1	1

${\显示样式{\text{表20。命题的简单限定符（第三版）}}}$
${\显示样式{\开始{矩阵}u\!:\\v\！：\结束{矩阵}}$	${\显示样式{\开始{矩阵}1100\\1010\结束{矩阵}}}$	${\显示样式f}$	${\displaystyle{\begin{smallmatrix}{\texttt{（}}\ell_{11}{\texttt{）}}\\{\text{No}}~u\\{text{is}}~v\end{smallmatrix}}}$	${\displaystyle{\begin{smallmatrix}{\texttt{（}}\ell_{10}{\texttt{）}}\\{\text{No}}~u\\{text{is}}~{\textt{（{}v{\texttt{）{}}\end{smallmatrix}}}}$	${\displaystyle{\begin{smallmatrix}{\texttt{（}}\ell_{01}{\texttt{）}}\\{\text{No}}~{\textt{（{}u{\textth{）{}\\{text{is}}~v\end{smallmatrix}}}}$	${\displaystyle{\begin{smallmatrix}{\texttt{（}}\ell_{00}{\texttt{）}}\\{\text{No}}~{\textt{（{}u{\textth{$	$｛\displaystyle｛\begin｛smallmatrix｝\ell _｛00｝\\｛\text｛Some｝｝｝~｛\texttt｛（｝）｝u｛\texttt｛）｝｝\\｛\text｛is｝｝~｛\texttt｛（｝）｝v｛\texttt｛）｝｝｝\end｛smallmatrix｝｝$	${\显示样式{\begin{smallmatrix}\ell_{01}\\{\text{Some}}~{\textt{（}}u{\texttt{）}}\\{text{is}}~v\end{smallmatrix}}}}$	${\显示样式{\begin{smallmatrix}\ell_{10}\\{\text{Some}}~u\\{text{is}}~{texttt{（}}v{\textt{）}}\end{smallmatrix}}}$	$｛\displaystyle｛\begin｛smallmatrix｝\ell_｛11｝\\text｛Some｝｝~u\\text｛is｝~v\end｛smallmatrix｝｝｝$
${\显示样式f_{0}}$	$｛\displaystyle 0000｝$	${\显示样式{\texttt{（}}~{\texttt{）}}}$	1	1	1	1	0	0	0	0
$｛\displaystylef_｛1｝｝$	${\显示样式0001}$	${\显示样式{\texttt{（}}u{\texttt{）（}}v{\textt{）}}$	1	1	1	0	1	0	0	0
${\显示样式f{2}}$	${\显示样式0010}$	${\显示样式{\texttt{（}}u{\texttt{）}}~v}$	1	1	0	1	0	1	0	0
${\显示样式f_{4}}$	${\显示样式0100}$	${\显示样式u~{\texttt{（}}v{\texttt{）}}}$	1	0	1	1	0	0	1	0
${\显示样式f_{8}}$	${\显示样式1000}$	${\显示样式u~v}$	0	1	1	1	0	0	0	1
${\显示样式f{12}}$	${\显示样式1100}$	${\显示样式u}$	0	0	1	1	0	0	1	1
${\显示样式f{10}}$	$｛\displaystyle 1010｝$	${\显示样式v}$	0	1	0	1	0	1	0	1
${\显示样式f_{9}}$	${\显示样式1001}$	${\displaystyle{\texttt{（（}}u{\texttt{，}}v{\textt{））}}}$	0	1	1	0	1	0	0	1
${\显示样式f{6}}$	${\显示样式0110}$	${\显示样式{\texttt{（}}u{\texttt{，}}v{\textt{）}}$	1	0	0	1	0	1	1	0
${\显示样式f{5}}$	${\显示样式0101}$	${\显示样式{\texttt{（}}v{\texttt{）}}}$	1	0	1	0	1	0	1	0
${\显示样式f{3}}$	${\显示样式0011}$	${\显示样式{\texttt{（}}u{\texttt{）}}}$	1	1	0	0	1	1	0	0
${\显示样式f_{7}}$	${\显示样式0111}$	${\显示样式{\texttt{（}}u~v{\texttt{）}}}$	1	0	0	0	1	1	1	0
${\显示样式f{11}}$	${\显示样式1011}$	${\displaystyle{\texttt{（}}u~{\texttt（}}v{\texttt{））}}}$	0	1	0	0	1	1	0	1
${\显示样式f{13}}$	$｛\displaystyle 1101｝$	${\显示样式{\texttt{（（}}u{\texttt{）}}~v{\textt{）{}}$	0	0	1	0	1	0	1	1
${\显示样式f{14}}$	${\显示样式1110}$	${\显示样式{\texttt{（（}}u{\texttt{）（}}v{\textt{））}}}$	0	0	0	1	0	1	1	1
${\显示样式f{15}}$	${\显示样式1111}$	${\显示样式{\texttt{（（}}~{\texttt{））}}}$	0	0	0	0	1	1	1	1

表21提供了本节中讨论的关系的缩略图。

${\显示样式{\text{表21。量词与高阶命题}}}的关系$
${\显示样式{\text{记忆}}}$	$｛\displaystyle｛\text｛Category｝｝｝｝$	${\显示样式{\text{经典形式}}}$	$｛\displaystyle｛\text｛Alternate Form｝｝｝｝$	${\显示样式{\text{对称形式}}}$	${\显示样式{\text{Operator}}}$
${\displaystyle{\begin{matrix}{\text{E}}\\{text{Exclusive}}\end{matrix2}}}}$	${\displaystyle{\begin{matrix}{\text{Universal}}\\{text{Negative}}\end{matrix2}}}$	${\显示样式{\text{All}}~u~{text{is}}~{\textt{（}}v{\texttt{）}}}$		${\显示样式{\text{No}}~u~{\text{is}}~v}$	$显示样式{\texttt{（}}\ell_{11}{\textt{）}}}$
$显示样式{\begin{matrix}{\text{A}}\\{text{Absolute}}\end{matrix2}}}}$	${\显示样式{\开始{矩阵}{\text{通用}}\\{\text}肯定}}\end{矩阵{}}}$	${\显示样式{\text{All}}~u~{\text{is}}~v}$		${\displaystyle{\text{No}}~u~{text{is}}~{\textt{（}}v{\texttt{）}}$	$显示样式{\texttt{（}}\ell_{10}{\textt{）}}}$
		${\显示样式{\text{All}}~v~{\text{is}}~u}$	${\displaystyle{\text{No}}~v~{text{is}}~{\textt{（}}u{texttt{）}}}$	$｛\displaystyle｛\text｛No｝｝～｛\texttt｛（｝）｝u｛\texttt｛）｝～｛\text｛is｝～v｝$	$显示样式{\texttt{（}}\ell_{01}{\textt{）}}}$
		${\displaystyle{\text{All}}~{\texttt{（}}v{\textt{）}~{text{is}~u}$	$｛\displaystyle｛\text｛No｝｝～｛\texttt｛（｝）｝v｛\texttt｛）｝～｛\text｛is｝｝～｛\texttt｛（｝）｝u｛\texttt｛）｝｝$	${\displaystyle{\text{No}}~{\texttt{（}}u{\textt{）}}~}\text{is}~{texttt{$	$显示样式{\texttt{（}}\ell_{00}{\textt{）}}}$
		${\displaystyle{\text{Some}}~{\textt{（}}u{\texttt{）}}~}\text{is}~{texttt{（{}v{\textth{）{}}$		${\displaystyle{\text{Some}}~{\textt{（}}u{\texttt{）}}~}\text{is}~{texttt{（{}v{\textth{）{}}$	${\显示样式\ell_{00}}$
		${\displaystyle{\text{Some}}~{\textt{（}}u{\texttt{）}}~}{\text}is}~v}$		${\displaystyle{\text{Some}}~{\textt{（}}u{\texttt{）}}~}{\text}is}~v}$	${\显示样式\ell_{01}}$
${\displaystyle{\begin{matrix}{\text{O}}\\{text{Obtrusive}}\end{matrix2}}}$	${\displaystyle{\begin{matrix}{\text{Special}}\\{text{Negative}}\end{matrix2}}}$	${\displaystyle{\text{Some}}~u~{text{is}}~{\textt{（}}v{\texttt{）}}$		${\displaystyle{\text{Some}}~u~{text{is}}~{\textt{（}}v{\texttt{）}}$	${\显示样式\ell_{10}}$
${\displaystyle{\begin{matrix}{\text{I}}\\{text{Indefined}}\end{matrix2}}}$	$｛\displaystyle｛\begin｛matrix｝｛\text｛Special｝｝｝\｛\text｛Affirmative｝｝\ end｛matrix｝｝｝｝$	${\显示样式{\text{Some}}~u~{\text}is}}~v}$		${\显示样式{\text{Some}}~u~{\text}is}}~v}$	$｛\displaystyle\ell_｛11｝｝$

广义Umpire算子

为了更好地处理高阶命题的空间，并继续开发量化理论的函数方法，我们需要一些专用工具。首先，我们定义了一个高阶算子 ${\显示样式\Upsilon，}$ 调用了裁判员，它接受1、2或3个命题作为参数，并返回单个真值。具有可选参数数的运算符被调用多级运算符，通常定义为函数类型上的联合。表达 ${\显示样式\Upsilon}$ 以这种形式给出了以下公式。

${\displaystyle\Upsilon:\bigcup_{\ell=1,2,3}（（\mathbb{B}^{k}\to\mathbb{B}）^{\ell}\to\ mathbb}）.}$

在应用上下文中，也就是说，在实际将多级运算符应用于参数的情况下，参数列表中的参数数量会告诉哪些可选类型是“可操作的”。在以下情况下 ${\显示样式\Upsilon，}$ 第一个和最后一个参数显示为索引，中间的一个作为主要参数，而其他两个参数用于修改所讨论操作的意义。因此，我们有以下形式。

${\显示样式{\开始{矩阵}\Upsilon_{p}^{r} q个=\Upsilon（p，q，r）\\[10pt]\Upsilon_{p}^{r}:（\mathbb{B}^{k}\to\mathbb{B}）\to\mathbb{B}\end{matrix}}}$

操作 ${\显示样式\Upsilon_{p}^{r} q个}$ 评估提案 ${\显示样式q}$ 关于命题的每个模型 ${\显示样式p}$ 并根据连接参数指示的方法将结果合并 ${\显示样式r.}$ 原则上，索引 $｛\displaystyle r｝$ 可以指定任意逻辑连接词 ${\显示样式2^{k}}$ 但实际上，我们通常有一种更简单的组合形式，通常是乘积或和。按照惯例，每个附属指数 ${\显示样式p，r}$ 当相应的参数位置留空时，即为常量命题指定一个默认值 $｛\displaystyle1:\mathbb｛B｝^｛k｝\to\mathbb｛B｝｝$ 对于较低指数 ${\显示样式p}$ 以及持续的连接或持续的产品操作 ${\displaystyle\textstyle\prod}$ 对于上指数 $｛\displaystyle r。｝$ 采用较高的默认值可以获得以下读数。

${\displaystyle{\begin{matrix}\Upsilon_{p}（q）=\Upsi隆（p，q）=\ Upsilon（p，q，\textstyle\prod）\\[10pt]\Upsilon_{p}=\Upsi隆（p，{underline{~}}，\textstyle\prod）：（\mathbb{B}^{k}\to\mathbb{B}）\to\mathbb{B}。\结束{矩阵}}$

这意味着 ${\显示样式\Upsilon_{p}（q）=1}$ 当且仅当 ${\显示样式q}$ 适用于所有型号的 ${\显示样式p.}$ 用命题的术语来说，这相当于断言 ${\显示样式p\右箭头q，}$ 或者那样 ${\displaystyle{\texttt{（}}p{\texttt（}}q{\texttt{））}}=1.}$

引入较低的默认值允许使用以下缩写。

${\displaystyle{\begin{matrix}\Upsilon q=\Upsi隆（q）=\Upsilon_{1}（q）=\Upsiron（1，q，\textstyle\prod）\\[10pt]\Upsilon=\Upsilon（1，｛\underline{~}｝，\textstyle\prod））：（\mathbb｛B｝^｛k｝\\ to \mathbb｛B｝）\ to \mathbb｛B｝。\结束{矩阵}}$

这意味着 $｛\displaystyle\Upsilon q=1｝$ 当且仅当 ${\显示样式q}$ 适用于所讨论的整个论述领域，即，如果且仅 ${\显示样式q}$ 始终是正确的命题 ${\显示样式1:\mathbb{B}^{k}\to\mathbb{B}.}$ 只要我们区分定义上下文和应用上下文，并将所有速记符号限制为后者，这种用法的模糊性就不是问题。

参考文献

亚里士多德，“先验分析”，休·特雷登尼克（翻译），in亚里士多德，第1卷，勒布古典图书馆，威廉·海尼曼，英国伦敦，1938年。

W.V.奎因（1969/1981），“关于决策的限制”，阿克滕十四世。国际孔雀哲学第3卷（1969年）。再版，第156-163页，奎因（1981年编辑），理论和事物哈佛大学出版社，马萨诸塞州剑桥。

资源

逻辑教学大纲

文档历史记录

1995年•奥克兰大学•调查与类比

作者：	乔恩·奥布里	1995年11月1日
课程：	工程690，研究生项目	冬季学期，1995年1月
主管：	M.A.Zohdy和F.Mili	奥克兰大学

|版本：草案3.25|创建日期：1995年1月1日|中继：1995年11月1日|修订日期：2001年12月24日|修订日期：2004年3月12日

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2004年•NKS论坛•查询驱动系统简介