欧拉变换

定义

如果两个整数序列${\显示样式\脚本样式\{a{1}，a{2}，\dots\}\，}$和${\显示样式\脚本样式\{b{1}，b{2}，\ldots\}\，}$与…相关

${\显示样式1+\sum_{n=1}^{\infty}b_{n} x^{n} =\prod_{i=1}^{\infty}{\frac{1}{（1-x^{i}）^{a{i}}}\，}{n} x^{n} =\prod_{i=1}^{\infty}{\frac{1}{（1-x^{i}）^{a{i}}}\，}$

或者，就生成函数 ${\显示样式\脚本样式A（x）\，}$和${\显示样式\脚本样式B（x）\，}$,

$1+B（x）=\exp{\bigg[}\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{A（x^{k}）}{k}}{\big]}\，$

然后$｛\displaystyle\scriptstyle\｛b_｛n｝\｝\，｝$据说是欧拉变换属于${\显示样式\脚本样式\{a{n}\}\，}$.

组合解释

如果${\显示样式\{a{1}、a{2}、\dots\}}$是具有欧拉变换的非负整数序列${\显示样式\{b{1}，b{2}，\ldots\}，}$然后${\显示样式b{n}}$是弱递增序列对的数目${\显示样式（（x_{1}，y_{1{），。。。，（x{k}，y{k}）}（x{k}，y{k}）}$这样的话${\显示样式x_{1}++x{k}=n}x{k}=n}$和${\显示样式1<=y{i}<=a（x{i}）}$为所有人${\显示样式i}$.

例如，{1,2,4,8，…}的Euler变换的第三部分是A034691号（3） =7，对应于以下7对序列。

• ${\显示样式（（1,1），（1,1$
• ${\显示样式（（1,1），（2,1））}$
• ${\显示样式（（1,1），（2,2））}$
• ${\显示样式（（3,1））}$
• ${\显示样式（（3,2））}$
• ${\显示样式（（3,3））}$
• ${\显示样式（（3,4））}$

工具书类

• 新泽西州斯隆和南部普劳夫。，整数序列百科全书，加州圣地亚哥，学术出版社，第20-21页，1995年。

外部链接

• Eric W.Weisstein，欧拉变换，来自MathWorld-Wolfram Web资源。。