布冯常数

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布冯常数是${\displaystyle\scriptstyle{\frac{2}{\pi}}\，}$.其十进制展开式为0.63661977236758…（参见A060294号)它的连分数是

${\显示样式{\cfrac{1}{1+{\cfras{1}}{1++$

（参见A053300型).

像许多其他涉及的数字一样${\显示样式\pi}$，布冯常数可以表示为无穷和或乘积：

${\显示样式{\frac{2}{\pi}}=\prod_{n=2}^{\infty}{\frac{p_{n}+2-（p_{n}\mod 4）}{p_}n}}={\ frac{2}{3}}\ times{\ frac{6}{5}}\ times{\ frac{6}}{7}\ times{\ frac}{10}{11}\ times\ldots}$

（其中${\显示样式p_{n}}$是${\显示样式n}$第个质数);

$｛\displaystyle｛\frac｛2｝｛\pi｝｝＝1+\sum_｛n=1｝^｛infty｝（-1）^｛n｝（4n+1）\left（｛\frac｛\prod_｛i=1｝^{n} 2i-1号机组}{\prod_{j=1}^{n} 第2节}}\右）^{3}=1-5\左（{\frac{1}{2}}\右）^}3}+9\左（}\frac}{8}}\左）^{3}-13\左（{\frac{5}{16}}\right）^{3}+\ldots}{n} 2i-1号机组}{\prod_{j=1}^{n} 第2节}}\右）^{3}=1-5\左（{\frac{1}{2}}\右）^}3}+9\左（}\frac}{8}}\左）^{3}-13\左（{\frac{5}{16}}\right）^{3}+\ldots}$

这也是限制$显示样式$，其中${\显示样式z（n）}$是随机次数多项式的期望实数零点数${\显示样式n}$其中实数系数选自标准高斯分布。

定理。概率${\显示样式\脚本样式P（l，\，d）\，}$那是一根很长的针${\显示样式\脚本样式l\，}$将随机降落在一条线上，给定一个有等距平行线的楼层${\显示样式\脚本样式d\，\geq\，l\，}$另外，假设落针的角度和位置是独立且均匀随机的，则为${\显示样式\脚本样式P（l，\，d）\，=\，{\frac{2}{\pi}}\cdot{\frac{l}{d}}\，}$.

证明。如果指针始终垂直（角度${\displaystyle\scriptstyle\theta\，=\，{\frac{\pi}{2}}\，}$弧度）到平行线$｛\displaystyle\scriptstyleP_｛\perp｝（l，\，d）\，=\，｛\frac｛l｝｛d｝｝\，｝$.所以我们有

${\显示样式P（l，d）\，=\，\left（\int_{0}^{\pi}\sin\theta\cdot{\frac{d\theta}{\pi{}\right）\cdotP_{\perp}（l，d）=\ left（{\frac{-[\cos\theta]_{0{{\pineneneep}{\py}}\rift）\cdot{\frac:l}{d}}={\frac-{2}{\pi}}}\cdot{\frac{l}{d}}\，}$

如定理所规定。□