代数分解

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对于正整数

n个> 1

，我们有

一 n个−b条 n个 =  (一−b条)    n个 ∑   我   = 1    一 n个  − 我 b条 我  − 1 =  (一−b条) (一 n个  − 1+一 n个  − 2 b条+一 n个  − 三 b条 2+⋯+一 b条 n个  − 2+b条 n个  − 1).

对于奇数正整数

2 n个+ 1,n个> 1,

我们有

一 2 n个 +1+b条 2 n个 +1 =  (一+b条)   2 n个 +1 ∑   我   = 1    一 2 n个 +1 − 我(−b条) 我  − 1 =  (一+b条) (一 2 n个−一 2 n个  − 1 b条+一 2 n个  − 2 b条 2+⋯−一 b条 2 n个  − 1+b条 2 n个 ).

对于偶数正整数

2 n个

，我们有

一 2 n个+b条 2 n个 =  (一 n个− 2√  2 一 n个 b条 n个 +b条 n个 ) (一 n个+ 2√  2 一 n个 b条 n个 +b条 n个 ).

示例

代数因式分解表

n个	一 n个 − b条 n个, 一 n个+b条 n个.
2	${\显示样式{a^{2} -b个^{2} =（a-b）（a+b）}，\，}{2} -b个^{2} =（a-b）（a+b）}，\，}$ ${\显示样式{a^{2}+b^{2{=（a-{\sqrt{2ab}}+b）（a+{\sqart{2ab{}}+b）}.\，}$
三	${\显示样式{a^{3} -b个^{3} =（a-b）（a^{2}+ab+b^{2{）}，\，}{3} -b个^{3} =（a-b）（a^{2}+ab+b^{2{）}，\，}$ ${\显示样式{a^{3}+b^{3{=（a+b）（a^{2} -ab型+b^{2}）=（a-{\sqrt{3ab}}+b）（a+b）{2} -ab型+b^{2}）=（a-{\sqrt{3ab}}+b）（a+b）$
4	${\显示样式{a^{4} -b个^{4} =（a^{2} -b个^{2} ）（a^{2}+b^{2{）=（a-b）（a ^{3}+a^{2} b条+ab^{2}+b^{3}）=（a-b）（a+b）（甲^{2{+b^}）}，\，}{4} -b个^{4} =（a^{2} -b个^{2} ）（a^{2}+b^{2{）=（a-b）（a ^{3}+a^{2} b条+ab^{2}+b^{3}）=（a-b）（a+b）（甲^{2{+b^}）}，\，}$ ${\显示样式{a^{4}+b^{4{=（a^{2}-{\sqrt{2}}\，ab+b^{2}）{2}-{\sqrt{2}}\，ab+b^{2}）$
5	${\显示样式{a^{5} -b个^{5} =（a-b）（a^{4}+a^{3} b条+一个^{2} b条^{2} +ab^{3}+b^{4}）}，\，}{5} -b个^{5} =（a-b）（a^{4}+a^{3} b条+一个^{2} b条^{2} +ab^{3}+b^{4}）}，\，}$ ${\显示样式{a^{5}+b^{5{=（a+b）（a^{4} -一个^{3} b条+一个^{2} b条^{2} -ab型^{3} +b^{4}）}.\，}{4} -一个^{3} b条+一个^{2} b条^{2} -ab型^{3} +b^{4}）}.\，}$
6	$｛\displaystyle｛a^{6} -b个^{6} =（a）^{3} -b个^{3} ）（a^{3}+b^{3{）=（a^{2} -b个^{2} ）（a^{4}+a^{2} b条^{2} +b^{4}）=（a-b）（a+b）（a^{2} -ab型+b^{2}）（a^{2{+ab+b^{2]）}，\，}{6} -b个^{6} =（a）^{3} -b个^{3} ）（a^{3}+b^{3{）=（a^{2} -b个^{2} ）（a^{4}+a^{2} b条^{2} +b^{4}）=（a-b）（a+b）（a^{2} -ab型+b^{2}）（a^{2{+ab+b^{2]）}，\，}$ $｛\displaystyle｛a^｛6｝+b^｛6｝=（a^｛2｝+b^｛2｝）（a^{4} -a个^{2} b条^{2} +b^{4}）}.\，}{4} -a个^{2} b条^{2} +b^{4}）}.\，}$
7	${\显示样式{a^{7} -b个^{7} =（a-b）（a^{6}+a^{5} b条+一个^{4} b条^{2} +a个^{3} b条^{3} +a个^{2} b条^{4} +ab^{5}+b^{6}）}，\，}{7} -b个^{7} =（a-b）（a^{6}+a^{5} b条+一个^{4} b条^{2} +a个^{3} b条^{3} +a个^{2} b条^{4} +ab^{5}+b^{6}）}，\，}$ ${\显示样式{a^{7}+b^{7{=（a+b）（a^{6} -a个^{5} b条+一个^{4} b条^{2} -a个^{3} b条^{3} +a个^{2} b条^{4} -ab型^{5} +b^{6}）}.\，}{6} -a个^{5} b条+一个^{4} b条^{2} -a个^{3} b条^{3} +a个^{2} b条^{4} -ab型^{5} +b^{6}）}.\，}$
8	${\显示样式{a^{8} -b个^{8} =（a）^{4} -b个^{4} ）（a^{4}+b^{4]）=（a-b）（a+b）{8} -b个^{8} =（a）^{4} -b个^{4} ）（a^{4}+b^{4]）=（a-b）（a+b）$ ${\显示样式{a^{8}+b^{8{=（a^{4}-{\sqrt{2}}\，一个^{2} b条^{2} +b^{4}）（a^{4{+{\sqrt{2}}\，a^{2} b条^{2} +b^{4}）}.\，}{4}-{\sqrt{2}}\，一个^{2} b条^{2} +b^{4}）（a^{4{+{\sqrt{2}}\，a^{2} b条^{2} +b^{4}）}.\，}$
9	${\显示样式{a^{9} -b个^{9} =（a）^{3} -b个^{3} ）（a^{6}+a^{3} b条^{3} +b^{6}）=（a-b）（a^{2}+ab+b^}）（a*6}+a^{3} b条^{3} +b^｛6｝）｝，\，｝{9} -b个^{9} =（a）^{3} -b个^{3} ）（a^{6}+a^{3} b条^{3} +b^{6}）=（a-b）（a^{2}+ab+b^}）（a*6}+a^{3} b条^{3} +b^｛6｝）｝，\，｝$ ${\显示样式{a^{9}+b^{9{=（a^{3}+b${3}）（a^{6} -a个^{3} b条^{3} +b^{6}）=（a+b）（a^{2} -ab型+b^{2}）（a^{6} -a个^{3} b条^{3} +b^{6}）}.\，}{6} -a个^{3} b条^{3} +b^{6}）=（a+b）（a^{2} -ab型+b^{2}）（a^{6} -a个^{3} b条^{3} +b^{6}）}.\，}$
10	${\显示样式{a^{10} -b个^{10} =（a）^{5} -b个^{5} ）（a^{5}+b^{5{）=（a-b）（a+b）（a^{4} -a个^{3} b条+一个^{2} b条^{2} -ab型^{3} +b^{4}）（a^{4{+a^{3} b条+一个^{2} b条^{2} +ab^{3}+b^{4}）}，\，}{10} -b个^{10} =（a）^{5} -b个^{5} ）（a^{5}+b^{5{）=（a-b）（a+b）（a^{4} -a个^{3} b条+一个^{2} b条^{2} -ab型^{3} +b^{4}）（a^{4{+a^{3} b条+一个^{2} b条^{2} +ab^{3}+b^{4}）}，\，}$ ${\显示样式{a^{10}+b^{10{=（a^{2}+b${2}）（a^{8} -a个^{6} b条^{2} +a个^{4} b条^{4} -a个^{2} b条^{6} +b^{8}）}.\，}{8} -a个^{6} b条^{2} +a个^{4} b条^{4} -a个^{2} b条^{6} +b^{8}）}.\，}$
11	${\显示样式{a^{11} -b个^{11} =（a-b）（a^{10}+a^{9} b条+一个^{8} b条^{2} +a个^{7} b条^{3} +a个^{6} b条^{4} +a个^{5} b条^{5} +a个^{4} b条^{6} +一个^{3} b条^{7} +a个^{2} b条^{8} +ab^{9}+b^{10}）}，\，}{11} -b个^{11} =（a-b）（a^{10}+a^{9} b条+一个^{8} b条^{2} +a个^{7} b条^{3} +a个^{6} b条^{4} +a个^{5} b条^{5} +a个^{4} b条^{6} +一个^{3} b条^{7} +a个^{2} b条^{8} +ab^{9}+b^{10}）}，\，}$ ${\显示样式{a^{11}+b^{11{=（a+b）（a^{10} -a个^{9} b条+一个^{8} b条^{2} -a个^{7} b条^{3} +a个^{6} b条^{4} -a个^{5} b条^{5} +a个^{4} b条^{6} -a个^{3} b条^{7} +a个^{2} b条^{8} -ab型^{9} +b^｛10｝）｝。\，｝{10} -a个^{9} b条+一个^{8} b条^{2} -a个^{7} b条^{3} +a个^{6} b条^{4} -a个^{5} b条^{5} +a个^{4} b条^{6} -a个^{3} b条^{7} +a个^{2} b条^{8} -ab型^{9} +b^｛10｝）｝。\，｝$
12	$｛\displaystyle｛\begin｛aligned｝｛a^{12} -b个^{12} }&={（a^{6} -b个^{6} ）（a^{6}+b^{6{）=（a^{3} -b个^{3} ）（a^{3}+b^{3{）（a~6}+b~6}）=（a^{3} -b个^{3} ）（a^{3}+b^{3{）（a|2}+b|2}）（a^{4} -a个^{2} b条^{2} +b^{4}）}\\&={（a-b）（a+b）（a ^{2}+b^}）（a^{2} -ab型+（a^{2}+ab+b^{2{）（a^{4} -a个^{2} b条^{2} +b^{4}）}，\结束{对齐}}{12} -b个^{12} }&={（a^{6} -b个^{6} ）（a^{6}+b^{6{）=（a^{3} -b个^{3} ）（a^{3}+b^{3{）（a~6}+b~6}）=（a^{3} -b个^{3} ）（a^{3}+b^{3{）（a|2}+b|2}）（a^{4} -a个^{2} b条^{2} +b^{4}）}\\&={（a-b）（a+b）（a ^{2}+b^}）（a^{2} -ab型+（a^{2}+ab+b^{2{）（a^{4} -a个^{2} b条^{2} +b^{4}）}，\结束{对齐}}$ ${\显示样式{a^{12}+b^{12{=（a^{4}+b${4}）（a^{8} -a个^{4} b条^{4} +b^{8}）}.\，}{8} -a个^{4} b条^{4} +b^{8}）}.\，}$

整数的代数分解

629 = 625 + 4 = 25 2+ 2 2= (25  − 

2√  2  ×  25  ×  2

+ 2) (25 +

2√  2  ×  25  ×  2

+ 2) = 17  ×  37.

117 = 125  −  8 = 5 三 −  2 三= (5  −  2) (5 2 +  5  ×  2 + 2 2 ) = 3  ×  39.

133 = 125  +  8 = 5 三 +  2 三= (5  +  2) (5 2 −  5  ×  2 + 2 2 ) = 7  ×  19.

629 = 625 + 4 = 5 4+ 2 2= 5 4+ (

2√  2

 ) 4= (5 2 − 

2√  2

 ×  5  × 

2√  2

+ (

2√  2

 ) 2 ) (5 2+

2√  2

 ×  5  × 

2√  2

+ (

2√  2

 ) 2 ) = (25  −  10 + 2) (25 + 10 + 2) = 17  ×  37.

390629 = 390625 + 4 = 5 8+ 2 2= 5 8+ ( 

4√  2

 ) 8= (5 4 − 

2√  2

 ×  5 2 ×  ( 

4√  2

 ) 2+ ( 

4√  2

 ) 4 ) (5 4+

2√  2

 ×  5 2 ×  ( 

4√  2

 ) 2+ ( 

4√  2

 ) 4 ) = (625  −  50 + 2) (625 + 50 + 2) = 577  ×  677.

另请参见

• Aurifeuillean因子分解

• 声誉（基础

  b条

  )和重复数字（基础

  b条

  )（当数字是复合数时，我们有代数分解）