3x-1问题

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这个

三 x −  1

问题是在三 x+ 1问题（或Collatz问题).
这个Collatz问题，以以下名称命名科拉茨谁在1937年首次提出这一建议，他问道迭代的Collatz函数

（f）  (n个)

总是到达1什么时候

n个> 0

，使用Collatz函数定义为

${\显示样式f（n）={\开始{案例}n/2&{mbox{if}}n\equiv0{\pmod{2}}，\\3n+1&{mbax{if}{n\equiv 1{\pmod{2}。\结束{cases}}\，}{案例}n/2&{mbox{if}}n\equiv0{\pmod{2}}，\\3n+1&{mbax{if}{n\equiv 1{\pmod{2}。\结束{cases}}\，}$

这个

三 x −  1

问题使用迭代的功能

${\显示样式f（n）={\开始{案例}n/2&{mbox{if}}n\equiv0{\pmod{2}}，\\3n-1&{mbax{if}{n\equiv 1{\pmod{2}。\结束{cases}}\，}{案例}n/2&{mbox{if}}n\equiv0{\pmod{2}}，\\3n-1&{mbax{if}{n\equiv 1{\pmod{2}。\结束{cases}}\，}$

这个三 x −  1问题轨迹

这个

三 x −  1

问题轨迹可能有三种

• 走向无限的轨迹；
• 最终变得非同寻常的轨迹(1，2，1，2，1，2。。。排除）循环；
• 轨迹最终达到2（因此直接下降到1就像冰雹，然后经历一个微不足道的循环1, 2, 1, 2, 1, 2, ...).

走向无限的轨迹

做

三 x −  1

走向无穷大的问题轨迹是否存在？

最终非平凡循环轨迹

这个

三 x −  1

这个问题最终会有非平凡的循环轨迹！
A003124号中的一个基本循环（长度为18）

x↦ 三 x −  1

( 

x

奇数）或

x / 2

( 

x

偶数）问题。

{17, 50, 25, 74, 37, 110, 55, 164, 82, 41, 122, 61, 182, 91, 272, 136, 68, 34}

&

｛17、50、25、74、37、110、55、164、82、41、122、61、182、91、272、136、68、34｝

& ...

轨迹最终达到2

但就像三 x+ 1问题，的

三 x −  1

问题的轨迹最终会达到2（因此直接下降到1（如冰雹）。除了显而易见的例子外，最容易找到的例子是表格的数字

${\显示样式{\ frac{2^{2n+1}+1}{3}}\cdot2^{k}，\quadn\geq0，\k\geq0\，}$

它总是命中

2 2n个 +1

。

轨迹表

“

三 x −  1

问题”轨迹

n个	A编号	轨迹（直到已知）	注释
1	—	{1, 2, 1, ...}	琐碎的循环{1, ..., 1}长度为2
三	—	{3, 8, 4, 2, 1, ...}	击打2 三
5	A003079号	{5, 14, 7, 20, 10, 5, ...}	循环（Cyclic）{5, ..., 5}长度为5
6	—	{6, 3, ...}	击打2 三
9	—	{9，26，13，38，19，56，28，14，…}	最终循环{14, ..., 14}长度为5
11	—	{11, 32, 16, 8, ...}	击打2 5
12	—	{12, 6, ...}	击打2 三
15	—	{15, 44, 22, 11, ...}	击打2 5
17	A003124号	{17, 50, 25, 74, 37, 110, 55, 164, 82, 41, 122, 61, 182, 91, 272, 136, 68, 34, 17, ...}	循环（Cyclic）{17, ..., 17}长度为18
18	—	{18, 9, ...}	最终循环{14, ..., 14}长度为5
21	—	{21, 62, 31, 92, 46, 23, 68, ...}	最终循环｛68，…，68｝长度为18
24	—	{24, 12, ...}	击打2 三
27	—	{27, 80, 40, 20, ...}	最终循环{20, ..., 20}长度为5
29	—	{29, 86, 43, 128, 64, 32, ...}	击打2 7
30	—	{30, 15, ...}	击打2 5
33	—	{33, 98, 49, 146, 73, 218, 109, 326, 163, 488, 244, 122, ...}	最终循环{122, ..., 122}长度为18
35	—	{35, 104, 52, 26, ...}	最终循环{14, ..., 14}长度为5
36	A008894号	{36, 18, ...}	最终循环{14, ..., 14}长度为5

另请参见

• 三 x+ 1问题