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q-Gamma函数

一个q个-模拟的伽马射线功能由定义

伽马_q（x）=（（q；q）_infty）/（（q^x；q）_nfty）（1-q）^（1-x），
（1）

哪里（x，q）_infty是一个q个-Pochhammer符号（Koepf 1998年，第26页；Koekoek和Swarttouw，1998年）。这个q个-伽马函数满足

lim_（q->1^-）伽马_q（x）=伽马（x），
（2）

哪里伽马（z）是伽马函数（安德鲁斯，1986年）。

这个q个-伽马射线函数在沃尔夫拉姆语言作为Q伽马[z（z），q个].

这个q个-伽马射线函数满足函数方程

伽马_q（z+1）=（1-q^z）/（1-q）伽马_q（z）
(3)

具有伽马_q（1）=1（Koekoek和Swarttouw 1998，第10页），它简化为

伽马（z+1）=zGamma（z）
(4)

作为q->1^-.函数方程的一个奇异恒等式

f（a-b）f（a-c）f=q^bf（a）f（a-b-c）f（a-b-d）f（b-e），
(5)

哪里

b+c+d+e=2a
(6)

由提供

f（α）={sin（kalpha），对于q=1；1/（γ_q（α）γ_q，
(7)

对于任何k个.

另请参阅

Gamma函数，q个-Beta函数，q个-阶乘，q个-刺猬符号

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工具书类

安德鲁斯，G.E。“W.Gosper的证明lim_（q->1^-）伽玛_q（x）=伽玛（x）."中的附录Aq系列：它们在分析、数论、组合数学、物理学、，和计算机代数。普罗维登斯，RI:Amer。数学。《社会学杂志》，第11页和第109页，1986Gasper，G.和Rahman，M。基本超几何级数。英国剑桥：剑桥大学出版社，1990年。Koekoek、，R.和Swarttouw，R.F。“q个-伽马函数和q个-二项式系数。“§0.3英寸超几何正交的Askey-Scheme多项式及其q类比。荷兰代尔夫特理工大学，技术数学和信息学学院报告98-17，第10-11页，1998年。科普夫，西。超几何的求和：求和与特殊函数恒等式的算法。德国布伦瑞克：Vieweg，1998年。文昌，C.问题10226及其解决方案。“Aq个-三角恒等式。"阿默尔。数学。每月 103，175-177, 1996.

参考Wolfram | Alpha

q-Gamma函数

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“q-Gamma函数。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/q-GammaFunction.html

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