Rogers Ramanujan身份

对于,Rogers-Ramanujan恒等式由（Hardy 1999，第13和90页）给出，

（组织环境信息系统A003114号)、和

（组织环境信息系统A003106号)，其中是一个q个-刺猬符号.

（◇）的多项式推广如下所示

和

（佩特科夫舍克等。1996). 尽管它们看起来是无穷级数，但每边上只有有限多个项是非零的，因为什么时候. (5)和(6)指定多项式序列，索引方式为，作为越来越大，多项式逼近级数（◇）越来越紧密。此外，将极限视为应用雅各比三乘积右侧的标识。最后(5)和(6)实际上彼此等价；(6)是的“对称化”版本(5)使用所谓的保罗对称化。

这些标识也可以更简洁地写成单个标识

对于,1

这些公式有着奇怪的历史，罗杰斯（1894）在一篇完全被忽视的论文中证明了这一点，后来拉马努扬（Ramanujan）又重新发现了（没有证据）1913年之前。这些公式已传达给MacMahon，后者在他的著名的文本，仍然没有证据。然后，在1917年，拉马努扬意外地发现了罗杰的1894年的一篇论文，当时正在翻阅一本杂志。与此同时，舒尔（1917）独立重新发现并公布了身份证明（哈代，1999年，第91页）。加尔西亚Milne（1981ab）给出了Rogers-Ramanujan身份的第一个证明一双射在相关的分区类别之间（安德鲁斯1986年，第59页）。

Bailey（19471949）系统地研究并推广了Rogers关于Rogers-Ramanujan型恒等式的工作。

斯莱特（1952年）发布了一份罗杰斯·拉马努扬类型的130个身份的列表，其中一些已经为人所知，但许多是斯莱特的新身份。下表总结了其中一些。请注意，Slater的表格实际上包含了两次列出的许多恒等式，还有一些恒等式列出了三次，这是由于两个不同的起点有时会导致相同的最终结果，但可能具有稍微不同的代数表示。

Schur证明（◇）具有组合解释，即差异最小等于分成部分的分区数属于表格 或（哈代1999年，第92页）。下表给出了前几个值。

（◇）也有类似的组合解释。

这个Andrews-Gordon身份是泛化Rogers-Ramanujan身份。

下面给出了一系列标识

1.两个Rogers-Ramanujan恒等式（mod 5上的三乘积).

2.三个罗杰斯·塞尔伯格恒等式（mod 7上的三重产品).

3.（种类）四Bailey Mod 9身份（mod 9上的三重产品).

4.Andrews（1975）的五个身份类型（mod 11上的三乘积),但级数表示是双级数，因此不如其他身份。

5.mod 13型的六个双系列扩展类型产品。

这里，“sort of”是指和，有一个“身份”，其中产品侧面包含，因此身份减少到因此未列出。

也有不同的身份序列，由

1.Rogers-Ramanujan恒等式（2恒等式mod).

2Rogers Mod 14身份（3身份模块).

3Dyson Mod 27标识（4身份模块).

序列中的下一个恒等式是5个模量A.Sills制定了一系列扩展身份，但它是如此丑陋以至于他没有发表它（A.Sills，pers.comm。，2005年3月16日）。