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理性友好配对

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有理友好对由两个整数组成一和b条为此除数函数相等，并且表单的

σ（a）=σ（b）=（P（a，b））/（Q（a，b））=R（a，c），
(1)

哪里P（a，b）和问题（a，b）是二元多项式，具有以下性质（Y.Kohmoto）：

1.右分数分子的所有项次都相同。

2.右分数分母的所有项的阶数都相同。

3P（P）比问.

如果a=b和P（a，b）是表单的 马^r，则（◇）减少到特殊情况

西格玛（a）=m/na，
(2)

所以如果m/n号是一个整数，那么一是一个多重完全数.

考虑多项式表单的

R_n（a，b）=（（a+b）^n）/（a^（n-1）+b^（n-1））。
(3)

对于n=1,（◇）减少至

σ（a）=σ（b）=1/2（a+b），
(4)

其中没有已知的例子。对于n=2，（◇）减少至

西格玛（a）=西格玛（b）=（（a+b）^2）/（a+b）=a+b，
(5)

所以（a、b）形成一个相亲数。对于n=3，（◇）变为

σ（a）=σ（b）=（（a+b）^3）/（a^2+b^2）。
（6）

Kohmoto发现了三类此类解决方案。第一个是

2^（m-1）m_m·3·5^2·13·31·139·277·3877[11.19；239]，
(7)

哪里M_米是一个梅森素数具有米=2!=5，给予（26403469440047700，30193441130006700），（7664549986025275200，8764724625167659200), ... （组织环境信息系统A038362号和A038363号). 第二组解决方案是

2^（m-1）·m.m·3·7·11^2·17^2·19^2·23·127·307·359·3739·22433·68209[83·1931；162287]
(8)

哪里米=2!=3!=7,给出解决方案

(78256237020415183195834116556854123, 79239609524574437586507591881740437),....
(9)

第三种是独特的解决方案

2^（11）·3^7·13·17·19^2·23·41·127·227·271·541·2269·124429[29·569；17099]，
(10)
（6635175414464669669910912069594519552，6875635683408968346512737741833627648).
(11)

考虑更一般形式的多项式

R_（k，n）（a，b）=（（a+b）^n）/（k（a^（n-1）+b^（n-1））），
(12)

科莫托发现了（k，n）=（2，4）解决方案

2^（m-1）·m.m·3·5·7·23^2·59·79·137·547·2477·158527·173428537·8671426849·[83·1931；162287]
(13)

对于米梅森素数的指数，除m=2和3。

Kohmoto（pers.comm.，2004年2月）也发现了（6、6）解决方案

2^（m-1）·m.m·3^（10）·5·11·13·17·23^3·41·43·53^2·59·103·107·229·409·823·1031·1801·1831·3851·4271·19751·9322471·[83·1931；162287]
(14)

对于米梅森素数的指数，除m=2.

考虑多项式表单的

R_（R/s）（a，b）=R/s（（a+b）^3）/（a^2+ab+b^2），
(15)

对于转/秒=3/2,科莫托找到了解决方案

2^8·3^2·13·17·41·53·73^2·1801·11971[5·11; 71].
(16)

考虑多项式表单的

R_k（a，b）=（kab）/（a+b），
(17)

或同等标准，

1/（σ（a））=1/（∑（b））=1/1（ka）+1/（kb）。
(18)

Kohmoto发现了下表中列出的解决方案。

k个（a、b）
6(1537536,2269696)
8(22405565952,21500290560)
9(8509664043532288000,5783455883132928000)

另请参见

友好的一对

此条目由贡献靖国神社科莫托

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新泽西州斯隆。答：。序列A038362美元和A038363美元在线百科全书整数序列的。"

参考Wolfram | Alpha

理性友好配对

引用如下：

Kohmoto、Yasutoshi“理性友好的伴侣”。摘自数学世界--Wolfram Web资源，创建人埃里克韦斯特因.https://mathworld.wolfram.com/RationalAmicablePair.html

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