友好的一对由两部分组成整数 其中适当的约数(该约数不包括数字本身)一个数等于另一个数。友善的伴侣有时被称为友好的对(霍夫曼1998年,第45页),尽管不鼓励使用这个术语因为这些数字通常被称为友好的搭档由一个不同但相关的标准定义。象征性的友好组合满足
哪里
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(3)
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是限制除数函数相当于一对友好的人满足
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哪里是除数函数.最小的友善对是(220284),它具有因子分解
给限制除数函数
数量
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在这种情况下,,被称为对和.最初几对友好的搭档是(220,284),(1184,1210),(2620,2924)(5020,5564),(6232,6368),(10744,10856),(12285, 14595), (17296, 18416), (63020, 76084), ... (组织环境信息系统A002025号和A002046号). 保持详尽的表格D.Moews著。
1636年,费马发现了这一对(1729618416),1638年,笛卡尔发现了(93635849437056),尽管这些结果实际上是对已知数字的重新发现阿拉伯数学家。到1747年,欧拉发现了30双鞋,后来他又扩展了这个数字至60。1866年,16岁的B.NicolóI.Paganini发现了这对友好的情侣(1184年,1210年)躲避了他更杰出的前任(帕格尼尼)1866-1867; Dickson 2005,第47页)。截至1946年,共有390对已知的友好情侣(埃斯科特1946)。以下共有236对友好搭档(科恩1970年),1427年以下(te Riele 1986),3340小于(Moews and Moews 1993ab),比(Moews和Moews,1996),5001小于(Moews和Moews 1996)。
制作友好配对的规则包括Thâbit ibn-Kurrah规则费马和笛卡尔重新发现并由欧拉扩展到欧拉规则.之前未注意到的进一步扩展由Borho(1972)发现。
Pomerance(1981)证明了
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足够大的(盖伊,1994年)。尚未证明非限定下限。
让我们表示友好的一对,然后采取.被称为普通友好型如果
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哪里是最大公约数,
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和是无平方的,然后是数字属于基本因子属于和是和.不规则的配对称为不规则配对或奇异配对(见里尔1986)。没有规则的类型对对于.如果和
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是即使,那么不能成为一对友好的人(李1969)。最小值和的最大值te Riele(1986)发现
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和
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te Riele(1986)还发现37对友好的情侣也有相同的成对总和第一对是(609928,686072)和(643336,652664),其中这个对和
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(18)
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te Riele(1986)发现没有友善-具有相同的元组对和对于.然而,Moews和Moews在1993年发现了三分之一,而te Riele在年发现了四分之一1995年。1997年11月,发现了五倍和六倍。六角是(1953433861918, 2216492794082), (1968039941816, 2201886714184), (1981957651366, 2187969004634),(1993501042130, 2176425613870), (2046897812505, 2123028843495), (2068113162038, 2101813493962),都有对和4169926656000令人惊讶的是小于任何已知的四倍或五倍,并且可能小于任何五倍。
已知的最早的奇数友好数都可以被3整除。这导致Bratley和McKay(1968年)推测,不存在与6的友好对互质(Guy 1994,第56页)。然而,Battiato和Borho(1988)发现了一个反例,现在已经知道了许多不可被6除尽的友好组合(Pedersen)。这类已知最小的例子是友好对(42262694537514864075544955198125,4240581727118860669766971841875),每个数字都有32位数字。
然后开始寻找30岁以下的友好伴侣。第一个例子是由Y.Kohmoto在1997年发现的,由一对数字组成,每个数字有193位(佩德森)。Kohmoto随后发现了另外两个例子,即te Riele和Pedersen使用Kohmoto的两个例子计算出243个类型-通过一种方法将互质与30配对,该方法生成类型-类型中的对-对。
没有互素的友好对目前已知。
下表总结了近年来发现的最大的已知友好对。其中最大的是通过定义
然后,,和都是质数和数字
是一对友好的搭档,每个成员都有十进制数字(Jobling 2005)。
数字 | 日期 | 参考 |
4829 | 1997年10月4日 | M.García先生 |
8684 | 2003年6月6日 | 慢跑和Walker 2003 |
16563 | 五月12, 2004 | Walker等人,2004年 |
17326 | 2004年5月12日 | Walker等人,2004年 |
24073 | 2005年3月10日 | 慢跑2005 |
中的友好搭档高斯整数也存在,例如
和
(T.D.Noe,pers.comm.)。
另请参见
等分序列,友好的四人组,友好的三人组,增强型友好的一对,繁殖者,人群,欧拉法则,友好一对,多人数字,一对总和,准友好对,理性友好的一对,社交数字,超级的单一友好对,他咬了伊本·库拉规则,单一友好对
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Alanen,J。;矿石,Ø。;和Stemple,J.《友好数字的系统计算》数学。计算。 21, 242-245,1967Battiato,S.和Borho,W.“是否存在奇怪的友好数字不能被三整除吗?"数学。计算。 50, 633-637, 1988.波霍,关于Thabit ibn Kurrah的友好数字公式数学。计算。 26,571-578, 1972.一些大素数和友好数数学。计算。 36, 303-304, 1981.Borho,W.“贝弗伦德Zahlen:Ein zweitausend Jahre将元素命名为Zahlentheorie数学微型模型1:勒本迪格·扎伦(Lebendige Zahlen):Fünf Exkursionen。瑞士巴塞尔:Birkhäuser,第5-38页,1981年。Borho,W.和Hoffmann,H.“育种富足中的友好数字。"数学。计算。 46, 281-293, 1986.布拉特利,体育。;Lunnon,F。;和McKay,J.,“友好数字及其分布。”数学。计算。 24,431-4321970年。Bratley,P.和McKay,J.“更多友好数字。”数学。计算。 22, 677-678, 1968.科恩,H.“关于友好和社交的数字。”数学。计算。 24,423-429, 1970.Costello,P.“欧拉第一形式的友好对”J.Rec.数学。 10, 183-189, 1977-1978.Costello,P.“友好表单对."数学。计算。 56, 859-865, 1991.迪克森,L.E。历史《数论》第1卷:可除性与素数。纽约:多佛,第38-50页,2005年。Dubner,H.“新友好搭档记录”1997年10月14日。http://listserv.nodak.edu/scripts/wa.exe?A2=ind9710&L=NMBRTHRY&F=&S=&P=695.埃尔德,P.“友好数字”出版物。数学。德布勒森 4, 108-111,1955-1956.Erdős,P.“关于Aliquot序列的渐近性质”数学。计算。 30, 641-645, 1976.埃斯科特,E.B。E.公司。“友好的数字。”脚本数学。 12, 61-72, 1946.加西亚,M.“新的友好伙伴”脚本数学。 23, 167-171, 1957.加德纳,M.“完美、友善、社交”第12章数学魔术表演:更多的谜题、游戏、娱乐、幻觉和其他数学思考来自《科学美国人》。纽约:《复古》,第160-171页,1978年。家伙,R.K.公司。“友好号码。”第B4条未解决数论中的问题,第二版。纽约:Springer-Verlag,第55-59页,1994P.霍夫曼。这个只爱数字的人:保罗·埃尔德的故事与数学探索真相。纽约:Hyperion,1998年。Jobling,P.“大和蔼可亲对。”2004年6月6日。http://listserv.nodak.edu/scripts/wa.exe?A2=ind0306&L=nmbrthry&P=R97&D=0.慢跑,P.“一对新的已知最大的情侣”,2005年3月10日。http://listserv.nodak.edu/cgi-bin/wa.exe?A2=ind0503&L=nmbrthry&F=&S=&P=552.Lee,E.J.公司。“友好数和双线性丢番图方程。”数学。计算。 22, 181-197, 1968.E.J.李。“关于可分性偶数对情侣之和。"数学。计算。 23, 545-548,1969E.J.李。和Madachy,J.S。“历史与发现友好数字,I。”J.Rec.数学。 5, 77-93, 1972.Lee,E.J.公司。和Madachy,J.S。“友好数字的历史和发现,二、。"J.Rec.数学。 5, 153-173, 1972.E.J.李。和Madachy,J.S。“友好数字的历史与发现,III。”J.Rec.数学。 5, 231-249, 1972.E.J.李。和马达奇,J.S.公司。“友好数字的历史和发现,I-III”勘误表J.Rec.数学。 6、53164和2291973。马达奇,J.S。马达西的数学娱乐。纽约:多佛,第145和155-1561979页。Moews先生,D.和Moews,P.C。“搜索等分循环和友好对。”数学。计算。 61,935-9381993a。Moews,D.和Moews,邮政编码:。“下面列出友好伴侣《修订版》1993年1月8日。http://xraysgi.ims.uconn.edu:8080/amicable.txt.莫斯,D.和Moews,P.C。《前5001对友好情侣名单》。1996年1月7日。http://xraysgi.ims.uconn.edu:8080/amiable2.txt.矿石,Ø.编号理论及其历史。纽约:多佛,第96-100页,1988年。帕格尼尼,B.编号。一、。阿提·德拉·R·阿卡德。都灵队 2, 362, 1866-1867.佩德森,J·M·。“已知的情侣。”http://amicable.homepage.dk/knwnc2.htm佩德森,J·M·。“各种友好配对列表和统计数据。”http://amicable.homepage.dk/apstat.htm蓬梅兰斯,C.“关于友好数字的分配”J.reine angew。数学。 293/294,217-222, 1977.Pomerance,C.“关于友好数字的分布,二、。"J.reine angew。数学。 3251981年,182-188年。根,M.Beeler中的S.项目61。;Gosper,R.W。;和Schroeppel,R。哈克姆。剑桥,麻省理工学院人工智能实验室,AIM-239备忘录,第23页,1972年2月。http://www.inwap.com/pdp10/hbaker/hakmem/number.html#item61.斯隆,新泽西州。答:。序列A002025号/M5414型和A002046号/M5435,在线百科全书整数序列的。"M.苏伊西。《Un Texte Manuscrit d'Ibn Al-Bann Na'》Al-Marrakusi sur les Nombres Parfaits、丰富、不足和友善。卡拉奇,巴基斯坦:Hamdard Nat.Found。,1975Speciner,M.Beeler中的第62项,医学硕士。;Gosper,R.W。;和Schroeppel,R。哈克姆。马萨诸塞州剑桥:麻省理工学院人工情报实验室,备忘录AIM-239,第24页,1972年2月。http://www.inwap.com/pdp10/hbaker/hakmem/number.html#item62.时间H.J.里尔。J。“四对大情侣。”数学。计算。 28,309-312, 1974.te Riele,H.J。J。“关于产生新的友好关系来自给定友好配对的配对。"数学。计算。 42, 219-223, 1984.时间H.J.里尔。J。“计算以下所有友好对."数学。计算。 47,361-368和S9-S351986。te Riele,H.J。J。;博尔霍,W。;巴蒂亚托,美国。;霍夫曼,H。;和Lee,E.J。“友好配对表和“信息中心,注释NM-N8603。阿姆斯特丹:Stichting数学。Centrum,1986年。te Riele,H.J。J。“寻找友好配对的新方法”数学《1943-1993年计算:计算数学的半个世纪》(温哥华,BC,1993年8月9日至13日)(高奇编辑)。普罗维登斯,RI:Amer。数学。Soc.,第577-581页,1994年。沃克,A.“新的大情侣”2004年5月12日。http://listserv.nodak.edu/scripts/wa.exe?A2=ind0405&L=nmbrthry&F=&S=&P=1043.引用的关于Wolfram | Alpha
友好的一对
引用如下:
埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“友好搭档”摘自数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/AmicablePair.html
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