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友好的一对


友好的一对(m,n)由两部分组成整数 m、 n个其中适当的约数(该约数不包括数字本身)一个数等于另一个数。友善的伴侣有时被称为友好的(霍夫曼1998年,第45页),尽管不鼓励使用这个术语因为这些数字通常被称为友好的搭档由一个不同但相关的标准定义。象征性的友好组合满足

秒(米)=n个
(1)
秒(n)=米,
(2)

哪里

 s(n)=σ(n)-n
(3)

限制除数函数相当于一对友好的人(m,n)满足

 σ(m)=σ(n)=s(m)+s(n)=m+n,
(4)

哪里西格玛(n)除数函数.最小的友善对是(220284),它具有因子分解

220=11·5·2^2
(5)
284=71·2^2
(6)

限制除数函数

秒(220)=总和{1,2,4,5,10,11,20,22,44,55110}
(7)
=284
(8)
秒(284)=和{1,2,4,71142}
(9)
=220
(10)

数量

 σ(m)=σ(n)=s(m)+s(n),
(11)

在这种情况下,220+284=504,被称为对和.最初几对友好的搭档是(220,284),(1184,1210),(2620,2924)(5020,5564),(6232,6368),(10744,10856),(12285, 14595), (17296, 18416), (63020, 76084), ... (组织环境信息系统A002025号A002046号). 保持详尽的表格D.Moews著。

1636年,费马发现了这一对(1729618416),1638年,笛卡尔发现了(93635849437056),尽管这些结果实际上是对已知数字的重新发现阿拉伯数学家。到1747年,欧拉发现了30双鞋,后来他又扩展了这个数字至60。1866年,16岁的B.NicolóI.Paganini发现了这对友好的情侣(1184年,1210年)躲避了他更杰出的前任(帕格尼尼)1866-1867; Dickson 2005,第47页)。截至1946年,共有390对已知的友好情侣(埃斯科特1946)。以下共有236对友好搭档10^8(科恩1970年),1427年以下10^(10)(te Riele 1986),3340小于10^(11)(Moews and Moews 1993ab),比2.01×10^(11)(Moews和Moews,1996),5001小于 约3.06×10^(11)(Moews和Moews 1996)。

制作友好配对的规则包括Thâbit ibn-Kurrah规则费马和笛卡尔重新发现并由欧拉扩展到欧拉规则.之前未注意到的进一步扩展由Borho(1972)发现。

Pomerance(1981)证明了

 [友好数字<=n]<ne^(-[ln(n)]^(1/3))
(12)

足够大的n个(盖伊,1994年)。尚未证明非限定下限。

让我们表示友好的一对(m,n),然后采取m<n.(m,n)被称为普通友好型(i,j)如果

 (m,n)=(gM,gN),
(13)

哪里g=GCD(m,n)最大公约数,

 GCD(g,M)=GCD(g,N)=1,
(14)

米N个无平方的,然后是数字属于基本因子属于米N个我j个.不规则的配对称为不规则配对或奇异配对(见里尔1986)。没有规则的类型对(1,j)对于j> =1.如果m=0(修改版6)

 n=σ(m)-m
(15)

即使,那么(m,n)不能成为一对友好的人(李1969)。最小值和的最大值m/n号te Riele(1986)发现

 938304290/1344480478=0.697893577。。。
(16)

 4000783984/4001351168=0.9998582518。。。。
(17)

te Riele(1986)还发现37对友好的情侣也有相同的成对总和第一对是(609928,686072)和(643336,652664),其中这个对和

 σ(m)=σ(n)=m+n=1296000。
(18)

te Riele(1986)发现没有友善n个-具有相同的元组对和对于n> 2个.然而,Moews和Moews在1993年发现了三分之一,而te Riele在年发现了四分之一1995年。1997年11月,发现了五倍和六倍。六角是(1953433861918, 2216492794082), (1968039941816, 2201886714184), (1981957651366, 2187969004634),(1993501042130, 2176425613870), (2046897812505, 2123028843495), (2068113162038, 2101813493962),都有对和4169926656000令人惊讶的是小于任何已知的四倍或五倍,并且可能小于任何五倍。

已知的最早的奇数友好数都可以被3整除。这导致Bratley和McKay(1968年)推测,不存在与6的友好对互质(Guy 1994,第56页)。然而,Battiato和Borho(1988)发现了一个反例,现在已经知道了许多不可被6除尽的友好组合(Pedersen)。这类已知最小的例子是友好对(42262694537514864075544955198125,4240581727118860669766971841875),每个数字都有32位数字。

然后开始寻找30岁以下的友好伴侣。第一个例子是由Y.Kohmoto在1997年发现的,由一对数字组成,每个数字有193位(佩德森)。Kohmoto随后发现了另外两个例子,即te Riele和Pedersen使用Kohmoto的两个例子计算出243个类型-(3,2)通过一种方法将互质与30配对,该方法生成类型-(3,2)类型中的对-(2,1)对。

没有互素的友好对2·3·5·7=210目前已知。

下表总结了近年来发现的最大的已知友好对。其中最大的是通过定义

一=2·5·11
(19)
S公司=37·173·409·461·2136109·2578171801921099·68340174428454377539
(20)
第页=925616938247297545037380170207625962997960453645121
(21)
q个=210958430218054117679018601985059107680988707437025081922673599999
(22)
问题1=(p+q)p^(235)-1
(23)
问题2=(p-S)p^(235)-1,
(24)

然后第页,q个,问题1问题2都是质数和数字

氮1=aSp ^(235)q_1
(25)
氮气=aqp^(235)q_2
(26)

是一对友好的搭档,每个成员都有24073十进制数字(Jobling 2005)。

数字日期参考
48291997年10月4日M.García先生
86842003年6月6日慢跑和Walker 2003
16563五月12, 2004Walker等人,2004年
173262004年5月12日Walker等人,2004年
240732005年3月10日慢跑2005

中的友好搭档高斯整数也存在,例如

秒(8008+3960i)=4232-8280i号
(27)
秒(4232-8280i)=8008+3960i毫米
(28)

s(-1105+1020i)=-2639-1228i页
(29)
s(-2639-1228i)=-1105+1020i
(30)

(T.D.Noe,pers.comm.)。


另请参见

等分序列,友好的四人组,友好的三人组,增强型友好的一对,繁殖者,人群,欧拉法则,友好一对,多人数字,一对总和,准友好对,理性友好的一对,社交数字,超级的单一友好对,他咬了伊本·库拉规则,单一友好对

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引用的关于Wolfram | Alpha

友好的一对

引用如下:

埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“友好搭档”摘自数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/AmicablePair.html

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