勒贝格常数——来自Wolfram MathWorld

勒贝格常数

有两组常数，通常称为勒贝格常数。第一个是通过傅里叶系列，另一个出现在计算拉格朗日插值多项式.

假设一个函数在区间上是可积的和是的第个部分和傅里叶系列属于,以便

			(1)
			(2)

和

$S_n（f，x）=1/2a_0+{sum_（k=1）^n[a_kcos（kx）+b_ksin（kx。$

(3)

如果

(4)

为所有人,然后

(5)

和是对于所有连续的，它都成立的可能的最小常数。的前几个值是

			(6)
			(7)
			(8)
			(9)
			(10)
			(11)
			(12)
			(13)

一些金额公式对于包括

			(14)
			(15)

（Zygmund 1959）和积分公式包括

			(16)
		$4/（pi^2）int_0^infty（sinh[（2n+1）x]）/（sinhx）ln{coth[1/2（2n+1）x]}dx$	(17)

（哈代1942）。对于大型,

(18)

这个结果可以推广到-满足可微函数

(19)

为所有人.在这种情况下，

(20)

哪里

$L_（n，r）={1/piint_（-pi）^pi|sum_（k=n+1）^（infty）（sin（kx））/$

(21)

（科尔莫戈洛夫1935年，齐格蒙德1959年）。

Watson（1930）表明

(22)

哪里

			(23)
			(24)
			(25)

（组织环境信息系统A086052美元)，其中是伽马函数,是Dirichlet lambda函数、和是Euler-Mascheroni常数.

定义第个勒贝格常数拉格朗日插值多项式通过

(26)

那么这是真的

(27)

拉格朗日插值的效率与增加。Erdős（1961）证明了一积极的常数，以便

(28)

为所有人.Erdős（1961）进一步表明

(29)

因此（◇）无法改进。

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更多需要尝试的事情：

工具书类

芬奇，S.R。《勒贝格常数》§4.2数学常量。英国剑桥：剑桥大学出版社，第250-255页，2003Erdős，P.“插值理论的问题和结果，二、。"数学学报。阿卡德。科学。匈牙利 12, 235-244, 1961.哈代，G.H.公司。“关于傅里叶级数理论中勒贝格常数的注释。”伦敦数学杂志。Soc公司。 17, 4-13, 1942.科尔莫戈罗夫，A.N。“Zur Grössenordung des Restgliedes Fourierscher reihen differenzierbarrer”富克提翁。"安。数学。 36, 521-526, 1935.斯隆，新泽西州。答：。顺序A086052号在“整数序列在线百科全书。"G.N.沃森。“兰道和勒贝格的常数。"夸脱。数学杂志。牛津 1, 310-318,1930齐格蒙德，A.G。三角函数系列，第2版，Vols。 1-2.英国剑桥：剑桥大学出版社，1959年。

参考Wolfram | Alpha

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引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“勒贝格常数。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/LebesgueConstants.html

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