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广义傅里叶级数

广义傅里叶级数是基于函数的特殊性质的级数展开完全正交系函数。此类系列的典型示例是傅里叶系列，它基于函数的双正交性科斯（nx）和正弦（nx）（形成一个完成双正交系统在范围内积分不足[-pi，pi]). 另一个常见的例子是拉普拉斯系列，它是基于正交性的双级数展开球面谐波 Y_l^m（θ，φ）结束θ在[0，pi]中和φin[0,2pi].

给定一个完全正交系一元函数的｛phi_n（x）｝在间隔期间R（右）、功能phin（x）满足形式的正交关系

int_Rphi_m（x）phi_n（x）w（x）dx=c_mdelta_（mn）
(1)

在一定范围内R（右）,哪里w（x）是一个加权函数,厘米是给定的常数和增量（mn）是克罗内克三角洲.现在考虑一个任意函数f（x）.把它写成一个系列

f（x）=sum_（n=0）^inftya_nphi_n（x）
(2)

并将其插入正交关系以获得

整数Rf（x）phi_n（x）w（x）dx=整数求和（n=0）^输入_非整数_非整数_m（x）phi_n（x）w（x）dx=sum_（n=0）^inftya_nintphi_m（x）phi_n（x）w（x）dx=sum_（n=0）^inftya_nc_mdelta_（mn）=a_nc_n。
(3)

注意，在推导上述方程时，积分和求和的顺序颠倒了。由于这些关系，如果f（x）假设形式存在，其系数将满足

a_n=1/（c_n）int_Rf（x）phi_n（x）w（x）dx。
(4)

给定一个完全双正交系统在一元函数中，广义傅里叶级数的作用稍大特别是对于这样的系统f1（n，x）和f2（n，x）满足形式的正交关系

积分_Rf1（m，x）f1（n，x）w（x）dx=c_mdelta（锰）
(5)
积分Rf2（m，x）f2（n，x）w（x）dx=dmdelta（锰）
(6)
积分_Rf_1（m，x）f2（n，x）w（x）dx=0
(7)
积分_Rf_1（m，x）w（x）dx=0
(8)
积分_Rf_2（m，x）w（x）dx=0
(9)

对于m、 不=0在一定范围内R（右）,哪里厘米和dm（数字）是给定的常数和增量（mn）是克罗内克三角洲.现在考虑一个任意函数f（x）把它写成一个系列

f（x）=总和（n=0）^inftya_nf_1（n，x）+总和（n=0.）^infcyb_nf_2（n，x）=f1（0）a_0+总和_（n=1）=[f_1（0）a_0+f_2（0）b_0]+sum_（n=1）^inftya_nf_1=e+sum_（n=1）^inftya_nf_1（n，x）+sum_
(10)

并将其插入正交关系以获得

int_Rf（x）f_1（n，x）w（x）dx=eint_Rf_1=e·0+总和_（m=1）^输入_最小_Rf_1（m，x）f1（n，x）w（x）dx+总和_=总和（m=1）^inftya_mc_mdelta_（mn）+总和（m=1）^inttyb_m·0=a_nc_nint_Rf（x）f2（n，x）w（x）dx=eint_Rf_2（n，x）dx+int_Rsum_（m=1）^inftya_mf_1（m，x）f2=e·0+总和_（m=1）^输入_最小_Rf_1（m，x）f2（n，x）w（x）dx+总和_=总和（m=1）^inftya_m·0+总和（m=1）^infcyb_md_mdelta_（mn）=b_nd_nint_Rf（x）w（x）dx=eint_Rdx+int_Rsum_（m=1）^inftya_mf_1（m，x）w=eint_Rdx+sum_（m=1）^inftya_mt_Rf_1（m，x）w（x）dx+sum_（m=1）^inftyb_nint_Rf_2（m，x）w（x）dx=eint_Rdx+总和_（m=1）^inftya_m·0+总和_=eint_Rdx。
(11)

由于这些关系，如果f（x）假设形式存在，其系数将满足

a_n（名词）=1/（c_n）整数_Rf（x）f1（n，x）w（x）dx
(12)
硼氮=1/（d_n）积分Rf（x）f2（n，x）w（x）dx
(13)
e（电子）=（整数Rf（x）w（x）dx）/（整数Rw（x”dx））。
(14)

通常傅里叶级数通过服用f2（n，x）=cos（nx）和f2（n，x）=sin（nx）形成一个完整的正交系统[-pi，pi]具有加权函数 w（x）=1并注意到，对于这种功能选择，

厘米=int_（-pi）^皮秒^2（mx）dx=π
(15)
dm（数字）=int_（-pi）^pisin^2（mx）dx=pi。
(16)

因此，函数的傅里叶级数f（x）由提供

f（x）=e+sum_（n=1）^inftya_ncos（nx）+sum_，
(17)

其中系数为

a_n（名词）=1/piint_（-pi）^pif（x）cos（nx）dx
(18)
硼氮=1/piint_（-pi）^pif（x）sin（nx）dx
(19)
e（电子）=1/（2pi）整数_（-pi）^pif（x）dx。
(20)

另请参见

贝塞尔函数Neumann级数,贝塞尔不等式,福里尔-贝塞尔系列,Forier-Legendre系列,傅里叶级数,广义傅里叶积分,Kapteyn系列,正交依据,正交多项式,正交法向依据,拉普拉斯系列,Parseval的定理

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引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“广义傅里叶级数。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/GeneralizedFourierSeries.html

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