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Faulhaber公式

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在1631年一部罕见的作品中阿尔及利亚学院，J.Faulhaber为功率总和第一个的n个 积极的整数对Faulhaber作品的详细分析可以在Knuth（1993）中找到以及Knuth（2001）中的一些修正案。

在Faulhaber提出的结果中（没有说明它们是如何得出的）是奇数幂和

总和（k=1）^（n）k=N个
(1)
sum_（k=1）^（n）k^3=编号^2
(2)
sum_（k=1）^（n）k^5=1/3（4N^3-N^2）
（3）
sum_（k=1）^（n）k^7=1/3（6N^4-4N^3+N^2）
(4)
总和_（k=1）^（n）k^9=1/5（16N^5-20N^4+12N^3-3N^2）
(5)
sum_（k=1）^（n）k^（11）=1/3（16N^6-32N^5+34N^4-20N^3+5N^2）
(6)
sum_（k=1）^（n）k^（13）=1/（105）（960N^7-2800N^6+4592N^5-4720N^4+2764N^3-691N^2）
(7)
sum_（k=1）^（n）k^（15）=1/3（48N^8-192N^7+448N^6-704N^5+718N^4-420N^3+105N^2）
(8)
sum_（k=1）^（n）k^（17）=1/（45）（1280N^9-6720N^8+21120N^7-46880N^6+72912N^5-74220N^4+43404N^3-10851N^2）
（9）

哪里N=（N^2+N）/2.虽然Faulhaber认为类似多项式N个所有权力都将继续存在交替符号第页,雅各比（1834；Knuth 1993）首次发表了严格的证明。

直接用n个为了权力p=1, ..., 10分

总和（k=1）^（n）k=1/2（n^2+n）
(10)
sum_（k=1）^（n）k^2=1/6（2n^3+3n^2+n）
（11）
sum_（k=1）^（n）k^3=1/4（n^4+2n^3+n^2）
(12)
sum_（k=1）^（n）k^4=1/（30）（6n^5+15n^4+10n^3-n）
(13)
sum_（k=1）^（n）k^5=1/（12）（2n^6+6n^5+5n^4-n^2）
(14)
sum_（k=1）^（n）k^6=1/（42）（6n^7+21n^6+21n*5-7n^3+n）
(15)
sum_（k=1）^（n）k^7=1/（24）（3n^8+12n^7+14n^6-7n^4+2n^2）
(16)
sum_（k=1）^（n）k^8=1/（90）（10n^9+45n^8+60n^7-42n^5+20n^3-3n）
(17)
sum_（k=1）^（n）k^9=1/（20）（2n^（10）+10n^9+15n^8-14n^6+10n*4-3n^2）
（18）
sum_（k=1）^（n）k^（10）=1/（66）（6牛顿（11）+33牛顿（10）+55牛顿（9-66牛顿）-7+66牛顿（5-33牛顿（3+5牛顿））。
(19)

虽然Faulhaber没有意识到（也没有发现）伯努利数或谐波数，一个通用公式总计千磅对于k个从1到n个可以通过以下方式以闭合形式给出

sum_（k=1）^（n）k^p=H_（n，-p）
(20)
=1/（p+1）总和_（i=1）^（p+1）（-1）^增量_（ip））（p+1；i）B_（p+1-i）n^i，
(21)

哪里H_（n，r）是广义的谐波数,增量（ip）是克罗内克三角洲,（n；i）是一个二项式系数、和_i（_i）是我第个伯努利数.

在他的作品中，Faulhaber还考虑并（正确地）声称第页-折叠总和1磅,2磅, ...,n ^p（平方英寸）是中的多项式n（n+r）什么时候p=13, 5, .... Knuth（1993，2001).

这些中的任何一个功率总和可以称为“Faulhaber”总和。"

另请参见

谐波数,电源,功率总和,总和

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工具书类

康威，J.H。和盖伊·R·K。《数字之书》。纽约：Springer-Verlag，第106页，1996年。爱德华兹，A.重量。F、。“通往权力总和的快速途径。”阿默尔。数学。每月 93,451-455, 1986.J.Faulhaber。阿尔盖布学院，达林恩科森·威特斯发明奇迹继续und（单位）获利者沃登。奥格斯普林【原文如此】，德国：约翰·乌尔里希·施尼格斯，1631雅各比，C.G。J。“De usu合法公式总和麦克劳里亚科。"J.reine angew。数学。 12, 263-272, 1834.克努特，D.E.博士。“约翰·福尔哈伯和权力总和。”数学。计算。 61,277-294, 1993.科努特，D.E。通道4英寸挑选出来的离散数学论文。英国剑桥：剑桥大学出版社，2001年。施耐德，I。约翰内斯福尔哈伯1580-1635：《乌姆布鲁克斯世界》中的雷琴迈斯特。瑞士巴塞尔：Birkhäuser，1993年。

参考Wolfram | Alpha

Faulhaber公式

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“Faulhaber公式。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/FaulhabersFormula.html

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