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椭圆Alpha函数

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椭圆阿尔法函数将完整的第一类椭圆积分 K（K_r）和第二种类 E（k_r）在椭圆积分奇异值 千卢比根据

α（r）=（E^'（k_r））/（k（k_r））-pi/（4[k（k_ r）]^2）
(1)
=pi/（4[K（K_r）]^2）+平方根（r）-（E（K_r）平方根（r））/（K（K_ r））
(2)
=（pi^（-1）-4sqrt（r）q（dtheta_4（q））/（dq）1/（theta_4，
(3)

哪里θ3（q）是一个雅可比θ函数和

千卢比=λ^*（r）
(4)
q个=e ^（-pisqrt（r）），
(5)

和λ^*（r）是椭圆lambda函数.椭圆alpha函数与椭圆三角洲功能通过

α（r）=1/2[sqrt（r）-δ（r）]。
(6)

它满足了

α（4r）=（1+k（4r，
（7）

并且有极限

lim（r->infty）[alpha（r）-1/pi]约为8（sqrt（r）-1-pi）e^（-pisqrt（r））
(8)

（博尔文等。1989). 一些特定值（Borwein和Borwein1987年，第172页）是

α（1）=1/2
(9)
α（2）=平方米（2）-1
(10)
α（3）=1/2（平方英尺（3）-1）
(11)
α（4）=2（平方码（2）-1）^2
(12)
α（5）=1/2（平方米（5）-平方米（2平方英尺（5）-2））
(13)
α（6）=5平方（6）+6平方（3）-8平方（2）-11
(14)
α（7）=1/2（平方米（7）-2）
(15)
α（8）=2（10+7平方（2））（1平方（8）-2））^2
(16)
α（9）=1/2[3-3^（3/4）平方（2）（平方（3）-1）]
(17)
α（10）=-103+72平方米（2）-46平方米（5）+33平方米（10）
(18)
α（12）=264+154平方米（3）-188平方米（2）-108平方米
(19)
α（13）=1/2（13平方米-258平方米）
(20)
α（15）=1/2（平方米（15）-平方米（5）-1）
(21)
α（16）=（4（平方英尺（8）-1））/（（2^（1/4）+1）^4）
(22)
α（18）=-3057+2163平方米（2）+1764平方米（3）-1248平方米（6）
(23)
α（22）=-12479-8824平方米（2）+3762平方米（11）+2661平方米（22）
(24)
α（25）=5/2[1-25^（1/4）（7-3sqrt（5））]
(25)
α（27）=3[1/2（平方米（3）+1）-2^（1/3）]
(26)
α（30）=1/2{平方（30）-（2+平方（5））^2（3+平方（10））^ 2×（-6-5平方（2）-3sqrt（5）-2sqrt
(27)
α（37）=1/2[平方米（37）-（171-25平方米（27））平方米（37-6）]
(28)
α（46）=1/2[平方（46）+（18+13平方（2）+平方（661+468平方（2
(29)
α（49）=7/2-平方英尺（7[平方英尺（2）7^（3/4）（33011+12477平方英尺（7））-21（9567+3616平方英尺（7））]）
(30)
α（58）=[1/2（平方米（29）+5）]^6（99平方米（29-444）（99平方英尺（2）-70-13平方米（29.））
(31)
=3（-40768961+28828008平方米（2）-7570606平方米（29）+5353227平方米（58））
(32)
阿尔法（64）=（8[2（平方（8）-1）-（2^（1/4）-1）^4]）/（平方（平方（2）+1）+2^（5/8））^4）。
(33)

J.Borwein写了一篇算法它使用格基约简为α（n）.

另请参见

第一类椭圆积分，椭圆积分第二类，椭圆积分奇异值，椭圆Lambda函数

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工具书类

博温，J.M。和Borwein，P.B。Pi和AGM：分析数理论和计算复杂性研究。纽约：Wiley，1987年。Borwein，J.M。；博温，P.B。；和D.H.贝利。“Ramanujan，模方程和Pi的近似，或如何计算十亿位数的圆周率。"阿默尔。数学。每月 96，201-219, 1989.

参考Wolfram | Alpha

椭圆Alpha函数

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“椭圆阿尔法函数。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/EllipticAlphaFunction.html

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