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柯西分布

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Cauchy分布图

柯西分布，也称为洛伦兹分布或洛伦茨分布，是描述共振行为的连续分布。它还描述了水平距离的分布线段随意倾斜角切割x个-轴线.

让θ代表角具有固定旋转点的直线，与垂直轴对齐，如上图所示。然后

坦提塔舞=x/b
(1)
θ=tan（-1）（x/b）
(2)
数据eta=1/（1+（x^2）/（b^2））（dx）/b
(3)
=（bdx）/（b^2+x^2），
(4)

因此角 θ由提供

（数据集）/pi=1/pi（bdx）/（b^2+x^2）。
(5)

这是所有角度的标准化，因为

int_（-pi/2）^（pi/2）（dtheta）/pi=1
(6)

和

int_（-infty）^infty1/pi（bdx）/（b^2+x^2）=1/pi[tan^（-1）（x/b）]_（-infty）^infty
(7)
=1/pi[1/2pi-（-1/2pi）]
(8)
=1
(9)
柯西分布

一般柯西分布及其累积分布可以写成

P（x）=1/pib/（（x-m）^2+b^2）
(10)
D（x）=1/2+1/皮坦^（-1）（（x-m）/b），
(11)

哪里b条是最大值的一半宽度米是统计中值.在关于的插图中，m=0.

Cauchy分布在Wolfram语言作为柯西分布[米,伽马射线/2].

这个特征函数是

φ（t）=1/piint_（-infty）^inftye（itx）（1/2伽马）/（1/2伽玛）^2+（x-m）^2）dx
(12)
=e^（imt-Gamma|t|/2）。
(13)

这个力矩 多个（_n）由于积分，分布的

μ_n=int_（-infty）^inftyGamma/（2pi）（x^n）/（（x-m）^2+（1/2Gamma）^2）dx
(14)

发散n> =1.

如果X（X）和Y（Y）是一个变量正态分布，然后Z=X/Y具有Cauchy分布统计中值 m=0和全宽

伽玛=（2sigma_x）/（sigma_y）。
(15)

以下各项的总和n个Cauchy分布的每个变量都有一个Cauchy-分布从……看

P_n（x）=F_t^（-1）{[φ（t）]^n}（x）
(16)
=（（1/2 nGamma））/（pi[（1/2 ngamma）^2+（x-nm）^2]），
(17)

哪里φ（t）是特征函数和F_t^（-1）[F（t）]（x）是相反的傅里叶转型，带参数a=b=1.

另请参见

正态分布

与Wolfram一起探索| Alpha

工具书类

A.帕普利斯。概率、随机变量和随机过程，第2版。纽约：McGraw-Hill，第104页，1984年。明镜，M.R。理论概率统计问题。纽约：McGraw-Hill，第114-115页，1992

参考Wolfram | Alpha

柯西分布

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“柯西分布。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/CauchyDistribution.html

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