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精算多项式

多项式a_n^（（β））（x）由Sheffer序列具有

克（吨）=（1-t）^（-β）
(1)
f（t）=ln（1-t），
(2)

给生成函数

sum_（k=0）^infty（a_n^（（β）））/（k！）t^k=e^（x（1-e^t）+β）。
(3)

Sheffer的身份是

a_n^（（β））（x+y）=总和（k=0）^n（n；k）a_k^（β）（y）phi_（n-k）（-x），
(4)

哪里phin（x）是一个贝尔多项式.精算多项式根据贝尔多项式 phin（x）通过

a_n^（（β））（x）=（1-t）^β_n（-x）
(5)
=sum_（k=0）^（n）（beta；k）phi_n^（（k））（-x）。
(6)

它们与第二类斯特林数 S（n，m）通过

a_n^（（β））（x）=总和（k=0）^n（β；k）总和（j=k）^nS（n，j）（j）_k（-x）^（j-k），
(7)

哪里（n；k）是一个二项式系数和（x） _n（n）是一个下降阶乘.精算多项式也满足恒等式

a_n^（（beta））（-x）=e^（-x）总和_（k=0）^系数（（k+beta）^n）/（k！）x^k
(8)

（Roman 1984，第125页；Whittaker和Watson 1990，第336页）。

前几个多项式是

a_0^（（β））（x）=1
(9)
a_1^（（β））（x）=-x+β
(10)
a_2^（（β））（x）=x^2-x（1+2beta）+beta^2
(11)
a_3^（（β））（x）=-x^3+3x^2（beta+1）-x（3beta^2+3beta+1”）+beta^3。
(12)

另请参见

Sheffer序列

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博厄斯，R.P。和Buck，R.C。解析函数的多项式展开，第2版，更正。纽约：学术出版社，第42页，1964年。埃尔德莱伊，A。；马格纳斯，W。；奥伯赫廷格，F。；和F.G.特里科米。较高的先验函数，第3卷。纽约：Krieger，第254页，1981年。罗马人，S.《精算多项式》§4.3.4这个脑微积分。纽约：学术出版社，第123-1251984页。惠塔克，E.T.公司。和G.N.Watson。A类现代分析课程，第四版。英国剑桥：剑桥大学出版社，1990年。

参考Wolfram | Alpha

精算多项式

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“精算多项式。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/ActuarialPolynomial.html

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