近似本原根mod p

Question

Artin推测，如果$a$是一个不是平方的整数，而不是$1$，那么$a$就是无穷多素数的本原根。这个猜想还没有得到解决，但部分结果是已知的：希思·布朗表明，这个猜想最多有两个质数$a$失败。

我想知道另一种部分结果是否已知。设$I（p）$表示由2生成的$（\mathbf{Z}/p\mathbf{Z}）^{times}$的子组的索引。因此，$I（p）=1$当且仅当2是基元根mod$p$。可以证明存在一个无限素数序列，其中$I$保持有界吗？

Answer 1

Erdos和Murty的结果表明，如果$\epsilon（p）$是趋于零的任何递减函数，那么几乎所有素数$p$的$I（p）\leqp^{1/2-\epsilen（p。

Kurlberg和Pomerance（参见下文提到的引理20）表明，对于素数$p$的正比例，一个人有更强的边界$I（p）\leqp^{0.323}$。这源于贝克和哈曼关于大素因子移位素数的结果。

鄂尔多斯——墨迹纸排名第77位

网址：http://www.mast.queensu.ca/~murty/index2.html

还有库尔伯格-波梅兰斯的论文

http://www.math.dartmouth.edu/~carlp/PDF/par13.PDF

另请参见本文的定理23（该定理以GRH为条件）。

Answer 2

这里有些东西许多的比你的要求更弱。这个证明是基本的（但并非完全微不足道）。对于每个$\epsilon>0$$$\sum_p\frac｛I（p）^\epsilon｝｛p^｛1+\epsilon｝｝$$聚合。例如，这意味着对于每$N>0$，素数集$p$令人满意的$$I（p）>\压裂{p}{（\log\log p）^N}$$（分析）密度为零。