什么是正确的堆栈？

Question

我见过“得体的Deligne-Mumford堆栈”这个词的用法。现在，我很清楚堆栈的态射f是正确的意味着什么：和往常一样，它应该是可表示的，并且通过基变换从f获得的方案之间的每个态射都应该是正确的。

首先，我想这里的“适当”实际上意味着“完成”。当到一个点的结构态射是适当的时，域上的方案是完整的。但堆栈要求到该点的态射是正确的是没有意义的。事实上，它特别具有代表性，并且由于点是一个方案，这意味着堆栈本身就是一个方案。

另一种可能性是，这句话的意思是“一个有适当地图集的堆栈”，因此人们无法谈论适当的堆栈，而只能谈论适当的Deligne-Mumford堆栈。

所以我想问一下标准术语是什么。

Answer 1

根据要求，对术语作出答复我最喜欢的DM堆栈基础知识参考是爱迪丁的论文我发现它比Laumon&Moret-Bailly（当然是处理Artin堆栈的）更容易阅读。

简短总结。假设$P$是方案范畴中态射$f:X\toY$的一个性质：

• 如果$P$在$X$和$Y$上都是局部的（在适当的拓扑中是“局部的”，例如，DM堆栈的etale），那么对于堆栈的形态来说是有意义的（传递到两个堆栈的兼容表示）。

• 如果$P$仅在$Y$上是局部的，那么通过将基数更改为${mathcal Y}$的表示形式，可以很容易地为可表示的形态$F:{\mathcal X}\定义为{\matchcal Y}$。

• 如果$P$在$Y$上是局部的，但您想让它对所有的形态都有意义，那么您必须做出特殊的定义，因为没有通用的方法可以适用于所有的属性。这就是堆栈的分离/正确态射的定义。

所以堆栈的适当态射不需要是可表示的。

Answer 2

你可以为（不一定是DM）堆栈定义适当性，这在奥尔森的书中，就t3suji而言，答案是“特殊定义”。

定义：（奥尔森“代数空间和堆栈”，第210页）方案图$f:\mathcal{X}\to\mathcal{Y}$是适当的如果它是分离的，那么它是有限类型的，并且是全封闭的。

• $f:\mathcal{X}\to\mathcal{Y}$是分开的如果对角线$\增量：\mathcal{X}\ to \mathcal{X}\times_\mathcale{Y}\mathcali{X}$是适当的（作为美元\ Delta$总是可以表示的，所以您可以定义为t3suji的答案中的第二点：这意味着美元\ Delta$沿着$Z\to\mathcal{X}\times_\mathcal{Y}\mathcali{X}$（用于$Z$方案）是一个适当的地图）。
• 一张地图$f:\mathcal{X}\到Y$一个方案是关闭如果每个闭合子堆栈的图像$\mathcal{Z}\subseteq\mathcal{X}$已关闭。
• 一张地图$f:\mathcal{X}\to\mathcal{Y}$是全封闭的如果它被任何地图拉回$Y\到\mathcal{Y}$（用于Y美元$方案）已关闭。

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例如BG美元$合适吗？对角线地图是$BG\到BG\times_｛\text｛pt｝｝BG=B（G^2）$然后拉回\开始{数组}{ccc}G&\xrightarrow{}&\text{pt}\\\向下箭头&&\向下箭头\\BG和\xrightarrow{}和BG\倍BG\结束{数组}我们看到了BG美元$不合适，除非G美元$是正确的。相反，我认为BG美元$如果G美元$一般来说，这意味着如果$\mathcal{X}$是正确的Artin堆栈，稳定器点组是正确的组。