DM堆栈是什么拓扑中的堆栈

Question

背景/动机

引入（代数）堆栈的主要原因之一是为严格来说不可表示的函子构建“精细模空间”。瑜伽大致如下。

我们注意到，方案类别上的一个可表示函子是fpqc拓扑中的一层。特别是，它是较粗拓扑中的一层，如fppf或étale拓扑。现在，一些自然定义的函子（例如函子$\mathcal{米}_{1,1}$椭圆曲线）不是fpqc拓扑中的带轮

（实际上是$\mathcal{米}_{1,1}$甚至不是一个故事情节），所以没有希望代表它们。

进入了$2$分类的世界，我们引入了纤维分类和堆叠。许多非滑轮的函子是由折叠成叠的纤维类而产生的，所以并不是所有的希望都消失了。但是，由于并非每个fpqc层都是可表示的，我们不应该期望每个fpqc堆栈在某种意义上“由广义空间表示”，因此我们定义了代数堆栈的含义。

让我继续讨论Deligne-Mumford案件。然后，DM堆栈是方案类别之上的光纤类别（在群胚中）

1） 是传说拓扑中的堆栈

2） 有一条“漂亮”的对角线

3） 在某种意义上讲，当地的情况类似于一个计划。

我不需要确切地说出2）和3）的意思。

根据上述原理，我们应该期望DM堆栈以堆栈泛化滑轮的相同方式泛化方案。特别是，我预计DM堆栈将成为更精细拓扑中的堆栈，就像方案不仅在Zarisk拓扑中是滑轮（这很简单），而且在fpqc拓扑中也是滑轮（这是Grothendieck的一个定理）。

问题

DM堆栈实际上是fpqc拓扑中的堆栈，这是真的吗？如果没有，是否有人在堆栈的上下文中提出了“广义空间”的概念，从而使这个结果成立？

Answer 1

经验法则是：如果对角线上施加的条件是目标上的fppf/fpqc局部（“满足下降”），则DM（或Artin）堆栈将是fppf/fpgcc拓扑中的一层。

换句话说，在条件2中，您要求对角线是一个相对方案/相对代数空间，可能具有一些额外的属性。如果存在这种类型的态射的fppf下降（例如，“相对代数空间”、“方案的相对单态性”），则会有一些令人满意的fppf-下降。如果这种类型的态射有fpqc下降（例如，“相对拟仿射方案”），那么您将得到满意的fpqc降。

例如，见LMB（=Laumon，Moret-Bailly.Champs algebriques），第10.7号推论。或者：今年早些时候，我写了一些笔记（PDF链接）其中包括一个附录，在一个地方收集了堆栈的一些标准定义的等价物，包括上述类型的语句。