如果p，q，r是不同的素数，是否存在无穷多（p，q和r）使得p^q+q^r+r^p是素数？

Question

问题如标题所述。我想知道如果$\存在$无限多素数三元组美元（p，q，r）$这样的话\开始{方程式}p^q+q^r+r^p\结束{方程式{是质数。

编写了一些代码，发现对于素数$200$,$(3, 5, 11), (3, 5, 107), (3, 11, 131), (3, 13, 61), (3, 17, 107), (3, 17, 113), (3, 23, 167), (5, 11, 43), (5, 29, 127), (5, 41, 67), (5, 53, 109), (5, 67, 71), (5, 79, 149), (11, 23, 127), (11, 53, 109), (11, 67, 79), (11, 103, 109), (11, 137, 163), (13, 41, 43), (13, 41, 59), (13, 107, 109), (13, 131, 179), (17, 19, 41), (17, 37, 199), (17, 53, 79), (19, 23, 83), (19, 47, 61), (19, 67, 113), (19, 103, 191), (23, 31, 37), (23, 43, 73), (23, 43, 109), (23, 97, 101), (23, 131, 181), (29, 31, 131), (29, 61, 137), (31, 47, 157), (31, 59, 113), (37, 97, 173), (41, 67, 113), (43, 47, 71), (43, 89, 193), (43, 179, 181), (47, 79, 163), (47, 167, 181), (61, 67, 113), (61, 71, 127), (61, 101, 131), (79, 83, 103), (83, 127, 151), (89, 137, 151), (97, 131, 197), (103, 107, 139), (107, 151, 167), (113, 151, 173), (113, 151, 179), (163, 167, 197), (181, 191, 197), (191, 193, 199)$满足给定条件。

优点：将这个问题扩展到素数集的长度2亿美元+1$.

Answer 1

有无限多个理想形式素数的猜想可以加强到这一点

猜想：对于每个素数对美元（p，q）$(2美元<p<q$)，至少有一个素数$r>q美元$这样的话$p^q+q^r+r^p$是质数。

增长率和可以避免的小素因子说明了存在性。即使对于无限多对美元（p，q）$（而不是全部），我们可以找到这样一个素数美元$，这仍然会给出无穷多个解。

我们如何排除小因素？

$2$无论如何都是不可能的。所以假设%s美元$是一个奇素数。如果我们选择素数美元$具有$$r等于0\mod s-1$$和$$r等于1\mod s$$我们得到$$p^q+q^r+r^p\等于p^q+2\mods$$除非美元=q$，在这种情况下，我们得到$p^q+1$如果我们选择美元$这样的话$$r等于0\mod s-1$$和$$r\equiv-1\mod秒$$我们得到$$p^q+q^r+r^p\equiv p^q\mod s美元$$除非美元=q$在这种情况下，我们得到$p^q-1美元$.

至少有一个数字不能被%s美元$当然，这种结构需要大的底漆美元$，所以不清楚我们是否会以这种方式获得素数。但可能大多数数字都不能被给定的素因子整除%s美元$无论如何。

也许验证这个更有力的推测是值得的。