特殊関数 菜单

その他の特殊関数

西弗特·雷恩

　西弗特·雷恩（Sievert）、
西弗特積
なる特殊関数である。特に、第2贝塞尔の積分関数として
西弗特積分関数の特別な場合
となる場合を含み、さらに積分指数関数を用いて、
  • 西弗特積分関数の級数展開
のように級数展開される。しかし、西弗特積分関数は知られている公式が少なく、特に複素変数での計算が難しい。
　θを複素変数とする 西弗特積分関数は、複素平面上cosθ=0となる点に真性特異点を持つ無限多価関数で、通常はcosθが実軸上で負数となる部分に分枝切断線を置く。
　この関数は、M.Abramowitz&I.A.Stegun《数学函数与公式、图形和数学表手册》第1000页に記述がある。関数名は、放射線物理学者の R.M.西弗特に由来するが、応用的にも、均一な媒質を通る放射線の減衰に関する問題で現れる。例えば、最大放射角度をθとするとき、冒頭の積分表示式は、媒質を深さz（z）まで通過して到達する放射線の総量を与える。

西弗特積分関数の記号

実変数x个の 西弗特·雷恩西弗特積分関数の記号のグラフ。θ＝-π/2～π/2（+π/40）。
  • 西弗特積分関数のグラフ(実変数)

　複素変数の 西弗特·雷恩西弗特積分関数の記号のグラフ。
  • 西弗特積分関数のグラフ（複和変）
  • 西弗特積分関数のグラフ（複和変）
  • 西弗特積分関数のグラフ（複和変）
  • 西弗特積分関数のグラフ（複和変）
  • 西弗特積分関数のグラフ（複和変）

　複素変数の 西弗特·雷恩西弗特積分関数の記号のグラフ。
  • 西弗特積分関数のグラフ（複和変）
  • 西弗特積分関数のグラフ（複和変）
  • 西弗特積分関数のグラフ（複和変）
  • 西弗特積分関数のグラフ（複和変）
  • 西弗特積分関数のグラフ（複和変）

実変数θの 西弗特·雷恩西弗特積関記のグラフ。x个＝－5～5 (+0.2)。
  • 西弗特積分関数のグラフ(実変数)

　複素変数の 西弗特·雷恩西弗特積分関数の記号のグラフ。
  • 西弗特積分関数のグラフ（複和変）
  • 西弗特積分関数のグラフ（複和変）
  • 西弗特積分関数のグラフ（複和変）
  • 西弗特積分関数のグラフ（複和変）
  • 西弗特積分関数のグラフ（複和変）

　複素変数の 西弗特·雷恩西弗特積関記のグラフ。
  • 西弗特積分関数のグラフ（複和変）
  • 西弗特積分関数のグラフ（複和変）
  • 西弗特積分関数のグラフ（複和変）
  • 西弗特積分関数のグラフ（複和変）
  • 西弗特積分関数のグラフ（複和変）

　複素変数の 西弗特·雷恩西弗特積分関数の記号のグラフ。
  • 西弗特積分関数のグラフ（複和変）
  • 西弗特積分関数のグラフ（複和変）
  • 西弗特積分関数のグラフ（複和変）
  • 西弗特積分関数のグラフ（複和変）
  • 西弗特積分関数のグラフ（複和変）

　複素変数の 西弗特·雷恩西弗特積分関数の記号のグラフ。
  • 西弗特積分関数のグラフ（複和変）
  • 西弗特積分関数のグラフ（複和変）
  • 西弗特積分関数のグラフ（複和変）
  • 西弗特積分関数のグラフ（複和変）
  • 西弗特積分関数のグラフ（複和変）

阿布拉莫维茨

　阿布拉莫维茨、
阿布拉莫维茨積分関数の定義
是的z（z）に関して、３階の線形常微分方程式
阿布拉莫维茨積分関数が満たす微分方程式
を満たす。また、線形な漸化式
  • 阿布拉莫维茨積分関数の関数等式
も満たす。(v（v）を変数とする関数等式とも見なせる。)
　v（v）が整数の場合の 阿布拉莫维茨積分関数は、関数等式と次の冪級数展開
  • 阿布拉莫维茨積分関数の冪級数展開
によって定義される。ここに、γは 欧拉の定数である。
　v（v）が整数でない場合の 阿布拉莫维茨、一般超幾何関数0Ｆ2によって次のように定義される。
  • 阿布拉莫维奇積分関数の関数等式
　複素変数の 阿布拉莫维奇積分関数は、複素平面上z=0，∞に特異点を持つ無限多価関数であって、通常は-∞～0に分枝切断線を置く。
　この関数は、1953年，阿布拉莫维茨が詳細な研究を行い、その結果が Abramowitz&Stegun《数学函数与公式手册》，……第1001页に掲載されている。ただし、具体的な関数名は示していない （W.J.Thompson计算数学函数地图集（John Wiley&Sons，Inc.1997）“Abramowitz函数”と称している)。
　阿布拉莫维茨積分関数は、原子核物理学における熱中性子の吸収、放射電磁波のスペクトルに関する問題等で現れる。
　阿布拉莫维茨積分関数は、変数に指数関数を代入した阿布拉莫维奇積分指数関数」
阿布拉莫维茨積分指数関数の定義
にすると、無限遠点を除く複素平面上に特異点を持たない関数(超越整関数)となり、その素性が良く分かるようになる。

阿布拉莫维茨積分関数の記号

実変数x个の 阿布拉莫维茨阿布拉莫维茨積分関数の記号のグラフ。①：v（v）＝0～9 (+0.2)，②：v（v）＝－9～0 (+0.2)。

　複素変数の 阿布拉莫维茨阿布拉莫维茨積分関数の記号のグラフ。
  • 阿布拉莫维茨積分関数のグラフ（複和変）
  • 阿布拉莫维奇積分関数のグラフ（複和変）
  • 阿布拉莫维奇積分関数のグラフ（複和変）
  • 阿布拉莫维茨積分関数のグラフ（複和変）
  • 阿布拉莫维茨積分関数のグラフ（複和変）

　複素変数の 阿布拉莫维茨阿布拉莫维茨積分関数の記号のグラフ。
  • 阿布拉莫维茨積分関数のグラフ（複和変）
  • 阿布拉莫维茨積分関数のグラフ（複和変）
  • 阿布拉莫维茨積分関数のグラフ（複和変）
  • 阿布拉莫维茨積関グラフ（複和変）
  • 阿布拉莫维茨積分関数のグラフ（複和変）

　複素変数の 阿布拉莫维茨阿布拉莫维茨積分関数の記号のグラフ。
  • 阿布拉莫维茨積分関数のグラフ（複和変）
  • 阿布拉莫维茨積分関数のグラフ（複和変）
  • 阿布拉莫维茨積分関数のグラフ（複和変）
  • 阿布拉莫维茨積分関数のグラフ（複和変）
  • 阿布拉莫维茨積分関数のグラフ（複和変）

　複素変数の 阿布拉莫维茨阿布拉莫维茨積分関数の記号のグラフ。
  • 阿布拉莫维茨積分関数のグラフ（複和変）
  • 阿布拉莫维茨積分関数のグラフ（複和変）
  • 阿布拉莫维奇積分関数のグラフ（複和変）
  • 阿布拉莫维奇積分関数のグラフ（複和変）
  • 阿布拉莫维茨積分関数のグラフ（複和変）

実変数v（v）の 阿布拉莫维茨積分関数のグラフ。①：阿布拉莫维茨積分関数の記号，②：阿布拉莫维茨積分関数の記号，③：阿布拉莫维茨積分関数の記号。いずれもz（z）＝0.2～10（+0.2）

　複素変数の 阿布拉莫维茨阿布拉莫维茨積分関数の記号のグラフ。
  • 阿布拉莫维茨積分関数のグラフ（複和変）
  • 阿布拉莫维茨積分関数のグラフ（複和変）
  • 阿布拉莫维茨積分関数のグラフ（複和変）
  • 阿布拉莫维茨積分関数のグラフ（複和変）
  • 阿布拉莫维茨積分関数のグラフ（複和変）

　複素変数の 阿布拉莫维茨阿布拉莫维茨積分関数の記号のグラフ。
  • 阿布拉莫维奇積分関数のグラフ（複和変）
  • 阿布拉莫维奇積分関数のグラフ（複和変）
  • 阿布拉莫维茨積分関数のグラフ（複和変）
  • 阿布拉莫维茨積分関数のグラフ（複和変）
  • 阿布拉莫维茨積分関数のグラフ（複和変）

　複素変数の 阿布拉莫维茨阿布拉莫维茨積分関数の記号のグラフ。
  • 阿布拉莫维茨積分関数のグラフ（複和変）
  • 阿布拉莫维茨積分関数のグラフ（複和変）
  • 阿布拉莫维茨積関グラフ（複和変）
  • 阿布拉莫维茨積分関数のグラフ（複和変）
  • 阿布拉莫维茨積分関数のグラフ（複和変）

阿布拉莫维茨積分指数関数の記号

実変数x个の 阿布拉莫维茨阿布拉莫维茨積分指数関数の記号のグラフ。①：v（v）＝0～9 (+0.2)，②：v（v）＝－9～0 (+0.2)。

　複素変数の 阿布拉莫维茨阿布拉莫维茨積分指数関数の記号のグラフ。
　２番目は、１グラフ(以下同様)。
  • 阿布拉莫维奇積分指数関数のグラフ（複和変）
  • 阿布拉莫维茨積分指数関数のグラフ（複和変）
  • 阿布拉莫维茨積分指数関数のグラフ（複和変）
  • 阿布拉莫维茨積分指数関数のグラフ（複和変）
  • 阿布拉莫维茨積分指数関数のグラフ（複和変）
  • 阿布拉莫维茨積分指数関数のグラフ（複和変）

　複素変数の 阿布拉莫维茨阿布拉莫维茨積分指数関数の記号のグラフ。
  • 阿布拉莫维奇積分指数関数のグラフ（複和変）
  • 阿布拉莫维茨積分指数関数のグラフ（複和変）
  • 阿布拉莫维茨積分指数関数のグラフ（複和変）
  • 阿布拉莫维茨積分指数関数のグラフ（複和変）
  • 阿布拉莫维茨積分指数関数のグラフ（複和変）
  • 阿布拉莫维茨積分指数関数のグラフ（複和変）

　複素変数の 阿布拉莫维茨阿布拉莫维茨積分指数関数の記号のグラフ。
  • 阿布拉莫维茨積分指数関数のグラフ（複和変）
  • 阿布拉莫维茨積分指数関数のグラフ（複和変）
  • 阿布拉莫维茨積分指数関数のグラフ（複和変）
  • 阿布拉莫维奇積分指数関数のグラフ（複和変）
  • 阿布拉莫维奇積分指数関数のグラフ（複和変）
  • 阿布拉莫维茨積分指数関数のグラフ（複和変）

　複素変数の 阿布拉莫维茨阿布拉莫维茨積分指数関数の記号のグラフ。
  • 阿布拉莫维茨積分指数関数のグラフ（複和変）
  • 阿布拉莫维茨積分指数関数のグラフ（複和変）
  • 阿布拉莫维茨積分指数関数のグラフ（複和変）
  • 阿布拉莫维茨積分指数関数のグラフ（複和変）
  • 阿布拉莫维奇積分指数関数のグラフ（複和変）
  • 阿布拉莫维茨積分指数関数のグラフ（複和変）

Glasser公司

　ここでの 格拉泽積分関数とは、一群の積分
  • 格拉泽積分関数の定義
のことであるが、本来の 格拉泽積分関数は、このうちの格拉泽積分関数の記号のみをいう(その他の積分が考察されることもあるが、通常は複素関数として扱われることは希で、標準的な関数記号も存在していない。以下同様)。
　また、これらの関数の派生として
  • 格拉泽積分関数の定義
　さらに 格拉泽積
  • 格拉泽積
も定義する。格拉泽積分関数の記号は 高斯超幾何関数の無限級数、または二変数関数である 法国坎佩の超幾何関数を用いても表わせる。
　明らかに、周期性と擬周期性
  • 格拉泽積分関数の周期性と擬周期性
を持っている。ここに贝塞尔は、０次の贝塞尔曲线および変贝塞尔曲线である。
1977年格拉泽積分関数は超越整関数のため、無限遠点のほかには特異点を持たない。
　なお、いくつかの 格拉泽積分関数の組として、
  • 平面曲線に関する自然方程式
の形になっているものを選べる。これは「平面曲線に関する自然方程式」の一例であって、この媒介変数表示で表わされる曲線は、z（z）を原点からその曲線上の点（xz，yz）までの曲線距離とするとき、（xz，yz）における曲率がf（z）の導関数となるような曲線になっている(クロソイド曲線は、これの簡単な例である。→菲涅尔)。

格拉泽積分関数の記号

　実変数の Glasser公司玻璃器皿積分関数の記号玻璃器皿積分関数の記号のグラフ。
  • 格拉泽積分関数のグラフ(実変数)

　実変数の 格拉泽積分関数による媒介変数表示のグラフ(自然方程式による曲線の例)。
　①：格拉泽積分関数の記号、および格拉泽積分関数の記号。　
　②：玻璃器皿積分関数の記号、および格拉泽積分関数の記号。

　虚変数において、菲涅尔関数のような曲線となる格拉泽積分関数の記号のグラフ。
  • 格拉泽積分関数のグラフ(虚変数)

　前の虚変数関数の組からなる媒介変数表示格拉泽積分関数の記号格拉泽積関記の曲線は、クロソイド曲線に似た形状となる。これも自然方程式による曲線の例である。
  • 玻璃器皿積分関数のグラフ(媒介変数)

　複素変数の Glasser公司格拉泽積分関数の記号のグラフ。
  • 格拉泽積分関数のグラフ（複和変）
  • 格拉泽積分関数のグラフ（複和変）
  • 格拉泽積分関数のグラフ（複和変）
  • 格拉泽積分関数のグラフ（複和変）
  • 格拉泽積分関数のグラフ（複和変）

　複素変数の Glasser公司玻璃器皿積分関数の記号のグラフ。
  • 格拉泽積分関数のグラフ（複和変）
  • 格拉泽積分関数のグラフ（複和変）
  • 格拉泽積分関数のグラフ（複和変）
  • 格拉泽積分関数のグラフ（複和変）
  • 格拉泽積分関数のグラフ（複和変）

　複素変数の Glasser公司格拉泽積分関数の記号のグラフ。
  • 格拉泽積分関数のグラフ（複和変）
  • 格拉泽積分関数のグラフ（複和変）
  • 格拉泽積分関数のグラフ（複和変）
  • 格拉泽積関グラフ（複和変）
  • 格拉泽積関グラフ（複和変）

　複素変数の Glasser公司格拉泽積分関数の記号のグラフ。
  • 格拉泽積分関数のグラフ（複和変）
  • 格拉泽積分関数のグラフ（複和変）
  • 格拉泽積分関数のグラフ（複和変）
  • 格拉泽積分関数のグラフ（複和変）
  • 格拉泽積分関数のグラフ（複和変）

格拉泽積分関数の記号

実変Glasser公司格拉泽積分関数の記号のグラフ。②は、①よりも更に広い範囲を描画した場合。

　次は、前のグラフの値が急増するため、逆双曲線正弦関数で縮めた関数格拉泽積分関数の記号格拉泽積分関数の記号を描画した場合。
  • 格拉泽積分関数のグラフ(実変数)

　前の関数の組からなる媒介変数表示格拉泽積分関数の記号格拉泽積分関数の記号我的爱人
  • 格拉泽積関グラフ(媒介変数)

　複素変数の Glasser公司格拉泽積分関数の記号のグラフ。
  • 格拉泽積分関数のグラフ（複和変）
  • 格拉泽積分関数のグラフ（複和変）
  • 格拉泽積分関数のグラフ（複和変）
  • 格拉泽積分関数のグラフ（複和変）
  • 格拉泽積分関数のグラフ（複和変）

　複素変数の Glasser公司格拉泽積関記のグラフ。
  • 格拉泽積分関数のグラフ（複和変）
  • 格拉泽積分関数のグラフ（複和変）
  • 格拉泽積分関数のグラフ（複和変）
  • 格拉泽積分関数のグラフ（複和変）
  • 格拉泽積分関数のグラフ（複和変）

格拉泽積分関数の記号

　実変数の Glasser公司格拉泽積分関数の記号格拉泽積分関数の記号のグラフ。
  • 格拉泽積分関数のグラフ(実変数)

　虚変数の Glasser公司玻璃器皿積分関数の記号のグラフ。
  • 玻璃器皿積分関数のグラフ(実変数)

　前の虚変数関数の組からなる媒介変数表示格拉泽積分関数の記号格拉泽積分関数の記号の曲線。
  • 格拉泽積分関数のグラフ(媒介変数)

　複素変数の Glasser公司格拉泽積分関数の記号のグラフ。
  • 格拉泽積分関数のグラフ（複和変）
  • 玻璃器皿積分関数のグラフ（複和変）
  • 格拉泽積分関数のグラフ（複和変）
  • 格拉泽積分関数のグラフ（複和変）
  • 格拉泽積分関数のグラフ（複和変）

　複素変数の Glasser公司格拉泽積分関数の記号のグラフ。
  • 格拉泽積分関数のグラフ（複和変）
  • 格拉泽積分関数のグラフ（複和変）
  • 格拉泽積分関数のグラフ（複和変）
  • 格拉泽積分関数のグラフ（複和変）
  • 格拉泽積分関数のグラフ（複和変）

　複素変数の Glasser公司格拉泽積関記のグラフ。
  • 格拉泽積関グラフ（複和変）
  • 格拉泽積分関数のグラフ（複和変）
  • 格拉泽積分関数のグラフ（複和変）
  • 格拉泽積分関数のグラフ（複和変）
  • 格拉泽積分関数のグラフ（複和変）

　複素変数の Glasser公司格拉泽積分関数の記号のグラフ。
  • 格拉泽積分関数のグラフ（複和変）
  • 格拉泽積分関数のグラフ（複和変）
  • 玻璃器皿積分関数のグラフ（複和変）
  • 格拉泽積分関数のグラフ（複和変）
  • 格拉泽積分関数のグラフ（複和変）

格拉泽積分関数の記号

　実変数の Glasser公司格拉泽積分関数の記号のグラフ。
  • 格拉泽積分関数のグラフ(実変数)

　複素変数の Glasser公司格拉泽積分関数の記号のグラフ。
  • 格拉泽積分関数のグラフ（複和変）
  • 格拉泽積分関数のグラフ（複和変）
  • 格拉泽積分関数のグラフ（複和変）
  • 玻璃器皿積分関数のグラフ（複和変）
  • 玻璃器皿積分関数のグラフ（複和変）

　複素変数の Glasser公司格拉泽積分関数の記号のグラフ。
  • 格拉泽積分関数のグラフ（複和変）
  • 格拉泽積分関数のグラフ（複和変）
  • 格拉泽積分関数のグラフ（複和変）
  • 格拉泽積分関数のグラフ（複和変）
  • 格拉泽積分関数のグラフ（複和変）

超指数関数

日：超指数関数，スーパー指数関数
英：超指数函数，仏：功能超指数
日：テトレーション，英：迭代幂次，仏：培训，编号：波滕图姆

　「第1の演算」である「和」を繰り返した演算として「第2の演算」である「積」、積を繰り返した演算として「第3の演算」である「累乗」が生じる。累乗を繰り返して入れ子構造にしたものは、「第4の演算」という意味で「テトレーション」と呼ばれる。例えば
テトレーション
である。この場合の３をとうが、单数z（z）に拡張できる※1特に、α=e(自然対数の底)となった
超指数関数の定義
を、超指数関数またはスーパー指数関数という。特に、この定義から関数等式
超指数関数の関数等式
を持つことが分かる。特に、この公式によって
超指数関数の特殊値
が分かる。
　超指数関数は、複素平面上の区間[-2～-∞)に分枝切断線を有する無限多価関数である。実変数においてはz> -2个で定義され、正の方向でその値は急激に増大する。
　z=±∞iにおいて、超指数関数は一定の値
  • 虚数方向の超指数関数の極限値
に近づく。この値は超越方程式w=对数（w）の解(複号のうちの＋)である。

[註記]
※1：その方法はいくつか知られており、今後の研究によって新しい計算法が追加される可能性もある。当サイトの Mathematica公司コードでは、単に 牛顿法を用いて後述の超対数関数の逆関数を直接求め、さらに、漸近近似式や上記の関数等式を用いて定義域を拡張している。

超指数関数の記号

　実変数の超指数関数のグラフ。
  • 超指数関数のグラフ(実変数)

　複素変数の超指数関数のグラフ。ただしz（z）が 3.5より大きい実数の付近では関数値が急激に増大するため、グラフが正確に描画できていない。
  • 超指数関数のグラフ（複和変）
  • 超指数関数のグラフ（複和変）
  • 超指数関数のグラフ（複和変）
  • 関物语グラフ（複和変）
  • 超指数関数のグラフ（複和変）

対関

日：対関，スーパー対関
英：超级对数，仏：超级对数

　超指数関数の逆関数
超対数関数の定義
を、超対数関数またはスーパー対数関数という。特に定義から、
超対数関数の関数等式
なる関数等式を持つ。特にこの公式と逆関数関係によって
  • 超対数関数の特殊値
が分かる。このほか、z=-∞における値は－2 になる。
　超対数関数は通常、複素平面上の２点
  • 中国
を特異点とし、±∞i(複号同順)方向に伸びる分枝切断線を有する無限多価関数とされる。しかし特異点はこれがすべてではなく(±∞i方向の分枝切断線では隠れて見えない)
超対数関数の一般的な特異点
の無限個あり、すべての特異点で分枝切断線を+∞方向にとれば、超対数関数は本質的に、2πiを基本周期とする周期関数であることが分かる。
　超対数関数の計算法はいくつか知られているが、現在も研究が進められており、未だ整理されていない感がある。当サイトがプログラミングで採用した一つの方法は安德鲁·罗宾斯によるもので※1、冪級数展開式
  • 超対数関数の冪級数展開式
を用いる。ここに、係数锡は、
  • 超対数関数の冪級数展開式の係数
なる線形代数方程式を解いて得られる。

[註記]
※1:Andrew Robbins《四项运算的解析分段扩展和超对数的求解》（2005）年)。なお、この論文はインターネット上のみで公開されている。論文中にも Mathematica公司のコードがあり、当サイトのコードは複素変数でも計算できるようにこれを書き換えたものである。

対関記

　実変数の超対数関数のグラフ。
  • 対関グラフ(実変数)

　複素変数の超対数関数のグラフ。
  • 超対数関数のグラフ（複和変）
  • 超対数関数のグラフ（複和変）
  • 超対数関数のグラフ（複和変）
  • 超対数関数のグラフ（複和変）
  • 超対数関数のグラフ（複和変）

　複素変数の超対数関数(周期関数型)のグラフ。
  • 超対数関数のグラフ（複和変）
  • 超対数関数のグラフ（複和変）
  • 超対数関数のグラフ（複和変）
  • 超対数関数のグラフ（複和変）
  • 超対数関数のグラフ（複和変）

博彻

日：博彻，ベトャー関
英：Böttcher函数，仏：Böttcher基金会，编号：Böttcher-funkation公司

　z、 c（c）を複素数とする反復力学系(漸化式)
  • 朱莉娅集合の複素反復力学系の式
の極限n→∞において、f n（z，c）が∞とならないようなz（z）の集合DoubleStruckCapital:Jc公司は、朱莉娅集合と呼ばれる。この場合の複素数f n（z，c）の点列を軌道といい、これが有限個数おきに同じ値を繰り返す場合、｢軌道は周期を持つ｣ 等という。
　もし、朱莉娅联合国(孤立した部分を持たない集合)である場合、すなわちc（c）が曼德尔布罗特（Mandelbrot）DoubleStruckCapital:M上の点ならば、その 朱莉娅（閉）DoubleStruckCapital:Jc公司の外部を単位閉円板DoubleStruckCapital:Dの外部に等角写像するような関数
  • 朱莉娅·博彻関数による等角写像の式
が存在する。これを、朱莉娅·Böttcher·1905·L.E.Bött cherが得た定理に基づいて、Böttcher公司とばる関を満すす博彻(写像)の存在が保証されるが、朱莉娅·博彻関数は、これの特別な例にあたる。
　先の等角写像から、朱莉娅·Böttcherz（z）が無限遠点に近づくと、１次関数z（z）にほとんど等しくなる。一方、z（z）が 朱莉娅集合の境界に外部から近づくと、関数値の絶対値は１に近づく。したがって、朱莉娅·博彻関数の絶対値は常に１より大きくなる。
　具体的に、朱莉娅·Böttcher
朱莉娅·博特彻（Julia Böttcher）
で定義される。ただし、被極限関数の偏角は主値ではなく多価性も保持して得られる極限値であるため、実際のところ、この極限表示式を用いた数値計算は非常に難しい。しかし、極限表示式を変形して容易に得られる無限級数
  • 朱莉娅·伯彻
は収束が速いので、朱莉娅·塞农诺·博彻関数の数値計算に使用できる。それでも、z（z）が 朱莉娅集合の境界に近い一部の領域では、朱莉娅·Böttcherの級数項
朱莉娅·博彻関数の偏角に対する級数項
の多価性に由来する不自然な分枝切断線が生じることがある。これは、その分枝切断線が常に 朱莉娅集合の内部を通るように解析接続すれば除去できる※1。
　曼德布罗特曼德布洛特Φ（c）は、曼德尔布罗特（Mandelbrot）双线大写：Mの外部を単位閉円板DoubleStruckCapital:Dの外部に等角写像する関数
曼德尔布罗特関数による等角写像
で、それは 朱莉娅·BöttcherΦ（c）=Φc（c）とした場合の関数である。すなわちその公式等は、すべてz（z）をc（c）に置き換えれば得られ、数値計算も前述の無限級数を用いると良い。ただし、同様に分枝切断線の処理が必要になる※1。
　曼德尔布罗特集合は、集合全体の縮小複製(しかし、それらは微妙に形が歪んでいて相似ではない)を境界の周辺に無数に持っており、あたかも「島」があるような非連結集合に見える。しかし実際は、樹状に延びる細い領域を介して「島」はすべて本体と繋がっており、単連結集合の一部分を成す。1982年A.Douady J.H.HubbardΦ（c）を用いて 曼德尔布罗特が単連結
　また、曼德尔布罗特集合の面積は、曼德尔布罗特関数の逆関数を 劳伦特級数展開したときの係数を用いた無限級数で表わすことができる(詳しくは、http://mathworld.wolfram.com/MandelbrotSet.html等を参照。ただし、この級数は収束が非常に遅い)。
　c（c）の絶対値が大きくなると、θc（c）の値は精氨酸（c）に近づく。そこで、逆に任意の偏角R（右）を指定したとき、曲線θc（c）=Rが 曼德尔布罗特集合の境界までどのように延びているかが問題となる。この曲線はエクスターナル･レイ（外部射线：外射線)、または外周角と呼ばれている。
　R（右）の値が有理数の2π倍である場合のエクスターナル･レイは、その先端が 曼德尔布罗特集合の境界まで到達することが証明されているが、その他の場合はごく一部の例を除いて到達するかどうか知られていない(無限に入り組んだ 曼德尔布罗特集合の隙間に進入し漸近するとも予想されている)。朱莉娅·博彻関数についても、同様にエクスターナル･レイを考えることができる。
　Böttcher公司関数は等角写像の特殊な例であり、解析的に定義された関数であるものの、複素反復力学系やフラクタル幾何学を起源とし、前述のように専らこれらの分野で応用されることから、通常は特殊関数の一種として扱うことは少ない。
　朱莉娅、P.J.L.法图、G.M.朱莉娅等による複素数の反復軌道に関する研究が発端となっているが、これをパラメータc（c）の集合と見たときの 曼德尔布罗特（日本）B.B.曼德尔布罗特がコンピューターー発見简体1980年まではほとんど注目されてこなかった。それ以降、極めて複雑かつ美しい形状が多くの人々の関心を引き、数学に留まらず哲学・芸術にまで影響を及ぼしている。自然界にありふれているにも係わらず、従来の自然科学が考察対象から除外していた形状や現象のパターンについても、数的・幾何学的に取り扱える現実的な方法をフラクタル幾何学がもたらした。実際、植物の分枝や海岸線の形状などにフラクタル幾何学的な特徴が見られることが指摘されると、直ちにコンピューターグラフィックスによる再現へ応用された。

[註記]
※1　これの具体的な方法の例を「数学（Mathematica）」内で説明しています。(ただし、この方法でも一部の不自然な分枝切断線は除去できません。)

朱莉娅·Böttcher

　複素変数の（朱莉娅）贝彻朱莉娅·Böttcherのグラフ。この 朱莉娅樹状枝」と呼ばれている。
  • （朱莉娅）贝彻
  • （朱莉娅）贝彻
  • （朱莉娅）贝彻
  • （朱莉娅）贝彻
  • （朱莉娅）贝彻

　複素変数の（朱莉娅）贝彻朱莉娅·Böttcherのグラフ。この 朱莉娅·杜阿迪のウサギ」と呼ばれている。この集合内の複素数は、３個の部分領域が接合した各点の周囲で周期３の軌道をとる。
  • （朱莉娅）贝彻
  • （朱莉娅）贝彻
  • （朱莉娅）贝彻
  • （朱莉娅）贝彻
  • （朱莉娅）贝彻

　複素変数の（茱莉亚）Böttcher朱莉娅·Böttcher我的爱人（グラフ）朱莉娅集合の軌道は、周期11を持つ。
  • （朱莉娅）贝彻
  • （朱莉娅）贝彻
  • （朱莉娅）贝彻
  • （朱莉娅）贝彻
  • （朱莉娅）贝彻

　複素変数の（朱莉娅）贝彻朱莉娅·Böttcherのグラフ。この 朱莉娅集合は、その内部に「西格尔ディスク」と呼ばれる不変円周軌道を持つ例として知られる。
  • （朱莉娅）贝彻
  • （朱莉娅）贝彻
  • （朱莉娅）贝彻
  • （朱莉娅）贝彻
  • （朱莉娅）贝彻

曼德布罗特

　複素変数の（曼德布洛特）贝彻曼德布洛特Φ（c）のグラフ。２番目のグラフにおける絶対値と偏角の等高線は、断面が 曼德尔布罗特集合形の金属棒が帯電しているときの周辺に生じる等電位線と電気力線と見ることができる。また、後者はエクスターナル･レイでもある。
  • （曼德布洛特）贝彻
  • （曼德布洛特）贝彻
  • （曼德布洛特）贝彻
  • （曼德布洛特）贝彻
  • （曼德布洛特）贝彻

　複素変数の（曼德尔布罗特）Böttcher曼德布洛特Φ（c）グラフ
  • （曼德布洛特）贝彻
  • （曼德布洛特）贝彻
  • （曼德布洛特）贝彻
  • （曼德布洛特）贝彻
  • （曼德布洛特）贝彻

　複素変数の（曼德布洛特）贝彻曼德布洛特Φ（c）のグラフ。負の実軸上にある「島」の周辺部分を拡大する。
  • （曼德布洛特）贝彻
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  • （曼德尔布罗特）Böttcher

曼德尔布罗特関数と保型関数との合成関数の記号

これは参考までに、施瓦兹を単位円の外部に反転し、さらに 伯特·曼德布罗特集合の外部が定義域となるようにした関数である。細部の基本領域も判別しやすくするため、最後のグラフのみ等高線を入れていない。
  • （曼德布洛特）贝彻
  • （曼德布洛特）贝彻
  • （曼德布洛特）贝彻
  • （曼德布洛特）贝彻
  • （曼德布洛特）贝彻

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