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非自明零点の
迪里克莱
素数ゼータ関数
黎曼
斐波纳契
欧拉和
里斯
ポリ対数関数
(
)
罗杰斯
の二重対数関数
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積分逆正接関数
德拜
勒奇
不完全ガンマ関数
不完全ガンマ関数
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正則化不完全ベータ関数
積分指数関数
積分指数関数
積
積分三角関数
積分双曲線関数
その他
(
積分三角関数関連)
誤差関数
誤差関数
菲涅尔
超誤差関数
超
菲涅尔
沃伊格特
欧文·蒂安
马库姆·Q
楕円積分
楕円積分
完全楕円積分
雅各比
希曼
算術幾何平均
楕円関数
高斯
雅各比派
雅各比
楕円幅関
雅各比第二章
雅各比第三章
韦尔斯特拉斯
魏尔斯特拉斯
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魏尔斯特拉斯
の楕円シグマ関数
楕円テータ関数
楕円テータ関数
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楕円テータ関数の対数微分
内维尔
拉马努扬
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正多面体の楕円モジュラー関数
エータ積の楕円モジュラー関数
一般の楕円モジュラー関数
德德金
楕円モジュラー形式
(不変量等)
艾森斯坦
実解析的
艾森斯坦
保型関数
数論的保型関数
数論的保型形式
施瓦兹
伽罗瓦
一般の保型関数
贝塞尔曲线
贝塞尔曲线
汉克尔
変
贝塞尔曲线
科勒
贝塞尔曲线
艾利
开尔文
一般
艾利
贝塞尔
斯特鲁夫
愤怒-韦伯
惠塔克公司
艾利-哈迪
洛梅尔
積分
贝塞尔曲线
積分
贝塞尔曲线
贝塞尔-菲涅尔
一般積分
贝塞尔曲线
比克利-内勒
積分
艾利
艾利-菲涅尔
勒让德
勒让德
Legendre(费雷斯)
勒让德(霍布森)
球面調和関数
勒让德
円環関数
円錐関数
赫米特
赫米特
赫米特(Hermite)
放物柱関数
拉盖尔
拉盖尔
拉盖尔
拉盖尔
切比雪夫
切比雪夫
切比雪夫(Chebyshev)
楕円有理関数
楕円
切比雪夫
盖根鲍尔
盖根鲍尔
盖根鲍尔(Gegenbauer)
超球面調和関数
雅各比
雅各比
雅各比(Jacobi)
泽尼克
Wigner的D関
库仑公司
库仑公司
汉克尔-库仑公司
库仑
合流型超幾何関数
合流型超幾何関数
惠塔克
超幾何関数
超幾何関数
黎曼·P関
一般超幾何関数
一般超幾何関数
梅杰尔·G関
马修
马修
変
马修
马修
回転楕円体波動関数
扁長回転楕円体波動関数
(完)
扁平回転楕円体波動関数
(完)
扁長回転楕円体波動関数
(動径)
扁平回転楕円体波動関数
(動径)
回転楕円体波動固有値関数
回転楕円体波動関数関連
扁長回転楕円体波動余弦関数
扁平回転楕円体波動余弦関数
拉梅
拉梅
拉梅风格
一般
拉梅
拉梅
香関
合流型
香関
希尔
希尔(
楕円テータ関数周期)
希尔(
合成三角関数周期)
迈斯纳
潘列夫
第
潘列维
第
潘列维
第
3潘列夫
第
4潘列夫
第
5潘列夫
第
6潘列夫
第
2疼痛疗法
第
4疼痛疗法
高階
潘列夫
第
1a恰齐
第
1b種查兹
第
1c恰齐
第
查兹(Chazy)
第
1e恰齐
第
8查齐
第
13a查齐
第
13b恰齐
第
穆安·Jrad
第
2穆安·Jrad
第
3穆安·Jrad
高階
疼痛疗法
非線形微分方程式の解の関数
范德波尔
达芬
非強制振動型
达芬
強
范德波尔
洛特卡-沃尔特拉
洛伦茨
布拉修斯
艾姆登巷
米塔格-莱夫勒
米塔格-莱夫勒
米塔格-莱夫勒三世
赖特
阿贝尔
阿贝尔
黎曼(Riemann)
缩放-黎曼
超レムニスケート関数
收缩测量法
カタストロフィー理論の関数
皮尔西(Pearcey)
燕尾点正準積分関数
楕円的臍点正準積分関数
双曲的臍点正準積分関数
德国科隆
4
我的故事
开尔文船型
種々の逆関数
乗積対数関数
开普勒
逆積分指数関数
逆積分対数関数
逆誤差関数
逆
菲涅尔
その他の特殊関数
西弗特·雷恩
阿布拉莫维茨
Glasser公司
超指数関数
対関
博彻
カタストロフィー理論の特殊関数
皮尔西(Pearcey)
2変数
の関数としての積分
は、
1946年T·皮尔西
によって初めて考察されたので、現在は、
皮尔西(Pearcey)
積分) と呼ばれる。ここに、関数
については後述の「
德国科隆
4
我的故事
」 を参照。
皮尔西(Pearcey)
の冪級数に展開すると
となる。また、
の場合は
のように
贝塞尔曲线
に還元される。
Pearcey公司
に関して、
なる対称性を有する。
皮尔西
積
(Cusp灾难)
と呼ばれる分岐現象に関連する※
1。
これは、後述の 「余次元
の尖点正準積分関数」 において、
となる場合から得られる、パラメータ表示の代数曲線
の形状で説明される。またこの場合は、
を標
を用いて、このカタストロフィーが説明されることもある※
2。
カタストロフィー理論自体は、微分方程式や差分方程式などによって記述される力学系が、パラメーターの連続変化に応じて定性的に異なる複数の解空間へ分岐する現象を説明するために、
R.F.托姆
によって導入された。
托姆
は、このような分岐を生ずる曲面構造をカタストロフィーと呼び、
(「
初等カタストロフィー」 の場合は)
7
種類の分岐点形状 「折り目,尖点,燕尾点,蝶点,楕円的臍点,双曲的臍点,放物的臍点」 に分類できることを示した。
[註記]
※1
取りあえず、この頁で扱う関数を 「カタストロフィー理論の~」 としたが、実際にカタストロフィー理論でどのように用いられるかは、ここでは触れない
(
実のところ、カタストロフィー理論が難解なため詳細は分からない)。
内容は、「
NIST数学函数手册
」
を参考にしているので、正確な意味はそちらを参照願います。また、
皮尔西
積分関数を別にすれば、ここでの各関数の英語名は恐らく通称ではなく
(NIST」
にも、標準的な命名法は無い旨の記述がある)、日本語名もまだ存在しないため、さらにこれを意訳したものである。
※2
この場合視覚的には、構造安定性が 「破綻」 する分岐点が、原点になることが分かる。
実
皮尔西
のグラフ。
実
2変梨
のグラフ。
站点地图
↑
顶部页面
燕尾点正準積分関数
3変数
の関数としての積分
を、燕尾点正準積分関数
(Swallowteil正则积分函数)
については
「
德国科隆
4
我的故事
」を参照。)
この関数は、
の冪級数に展開すると
となる。
燕尾点正準積分関数は
に関して、
なる対称性を有する。
燕尾点正準積分関数は、カタストロフィー理論における燕尾点
(燕鸥灾难)
と呼ばれる分岐現象に関連する。これは、後述の 「余次元
の尖点正準積分関数」 において、
となる場合から得られる、パラメータ表示の代数曲面
の形状で説明される。
実
1
変数の燕尾点正準積分関数のグラフ。順に、①
, ②
,③
。
①
②
③
実
2
変数の燕尾点正準積分関数
のグラフ。
実
2
変数の燕尾点正準積分関数
のグラフ。
実
2
変数の燕尾点正準積分関数
のグラフ。
実
2
変数の燕尾点正準積分関数
のグラフ。
アニメーション
(823 MB)
実
2
変数の燕尾点正準積分関数
のグラフ。
=0~10 (+0.2)。
站点地图
↑
顶部页面
楕円的臍点正準積分関数
3変数
(日本)
を、楕円的臍点正準積分関数
(椭圆脐正则积分函数)
この関数を、
の冪および
の
艾利
項の級数に展開すると、
となる。
楕円的臍点正準積分関数は
平面において、原点中心の
120
回転に関して不変である。また、
なる対称性も有する。
楕円的臍点正準積分関数は、カタストロフィー理論において楕円的臍点
(椭圆脐灾难)
と呼ばれる分岐現象に関連する。その形状を説明する
三
次元代数曲面は、代数方程式
によって得られるパラメータ表示式
で表わされる。
実
1
変数の楕円的臍点正準積分関数のグラフ。順に、①
, ②
。
①
②
実
2
変楕円臍準積関
のグラフ。
実
2
変数の楕円的臍点正準積分関数
のグラフ。
実
2
変数の楕円的臍点正準積分関数
のグラフ。
実
2
変数の楕円的臍点正準積分関数
のグラフ。
実
2
変数の楕円的臍点正準積分関数
のグラフ。
站点地图
↑
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双曲的臍点正準積分関数
3変数
の関数としての積分
を、双曲的臍点正準積分関数
(双曲脐正则积分函数)
この関数を、
の冪級数に展開すると、
となる。
双曲的臍点正準積分関数は
平面において、直線
(
の交換) に関して不変である。また、
なる対称性も有する。また、
の場合は
の
艾里
関数に還元される。
双曲的臍点正準積分関数は、カタストロフィー理論において双曲的臍点
(双曲脐突变)
と呼ばれる分岐現象に関連する。その形状を説明する
三
次元代数曲面は、代数方程式
によって得られるパラメータ表示式
是的
実
1
変数の双曲的臍点正準積分関数のグラフ。順に、①
, ②
。
①
②
実
2
変数の双曲的臍点正準積分関数
のグラフ。
実
2
変数の双曲的臍点正準積分関数
のグラフ。
実
2
変数の双曲的臍点正準積分関数
のグラフ。
実
2
変数の双曲的臍点正準積分関数
のグラフ。
実
2
変数の双曲的臍点正準積分関数
のグラフ。
站点地图
↑
顶部页面
德国科隆
4
我的故事
余次元
(余维※1)を
とするとき、
個の変数
の関数としての積分
を、余次元
の尖点正準積分関数という。
この関数は、
変数の冪級数に展開すると
となる。
德国科隆
の尖点正準積分関数は、カタストロフィー理論において 「余次元
の尖点」 と呼ばれる分岐現象に関連する。その形状を説明する
次元代数曲面は、代数方程式
によって得られるパラメータ表示式
で表わされる。
特に、
の場合は
珍珠
の場合は燕尾点正準積分関数になる。ここでは
、すなわち
である場合
(蝴蝶灾难
と呼ばれる) を扱う。このとき、先のパラメータ表示式は具体的に
①
②
③
(①
,②
,③
と置いて
三
次元内の曲面にした場合。)
となる。
[註記]
※1」NIST数学函数手册
にある用語を使用。 同著の
第36章
与聚合鞍座集成
」 を参照。
実
2変数の余次元4
尖点正準積分関数
のグラフ。
実
2変数の余次元4
準積関
のグラフ。
実
2変数の余次元4
準積関
のグラフ。
実
2変数の余次元4
尖点正準積分関数
のグラフ。
実
2変数の余次元4
尖点正準積分関数
のグラフ。
実
2変変変変変変変変変変変変
尖点正準積分関数
のグラフ。
站点地图
↑
顶部页面
开尔文船型
充分な水深のある水面上を一定速度
で直線航行する船舶は、その後方に歪三角形状の表面波を生ずる。この波の模様は、
开尔文船型
と呼ばれ、その名称は、
19
世紀末に水面の振動現象を研究した
上帝。
开尔文
極座標
において、船舶
(
に相当する擾乱点) の位置を常に原点
に固定し、船舶の航行と逆方向に始動径
があるようにすると、任意の位置における
开尔文的船波模式
は、次式で与えられる。
この積分は変数を実数に限れば、中点法等による数値計算が可能である※
1。
なお、変換
によって直交座標
に移行してもよい。
(
以下のグラフもこれを採用している。)
开尔文船型
の積分は、余次元
の尖点正準積分関数をさらに一般化した
我的名字叫“我的名字”,“我的名字”,“我的名字”,“我的名字”,“我的名字”,“我的名字”,“我的名字”,“我的名字”,“我的名字”,“我的名字”,“我的名字”,“我的名字”,“我的名字”,“我的名字”,“我的名字”
开尔文船型
は船舶と水面との相互作用以外にも、例えば、対流圏において山頂等が擾乱点となる場合に形成される雲の模様にも現れることで知られている。
(
そのような事例は、
谷歌
等で画像検索すると見ることができる。)
[註記]
※1 :
この積分は、被積分関数が積分端点に近付くほど激しく振動する
(
真性特異点を持つ) ので、若干計算が難しい。ここでの計算は、改良された中点法に基づいて
凯·赫伯特(Kay Herbert)(
http://demonstructions.wolfram.com/KelvinShipWavePattern(http://demonstructions.wolfram.com/KelvinShipWavePattern)/
) を用いた。
开尔文的船波模式。2《国家标准与技术研究所手册》第791页
にあるグラフとほとんど同等である。
开尔文船型
を用いて、夕刻
(
または夜明?) の海上の風景を構成する。
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斯蒂尔特杰斯
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迪里克莱
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黎曼
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)
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德拜
勒奇
不完全ガンマ関数
不完全ガンマ関数
正則化不完全ガンマ関数
不完全ベータ関数
正則化不完全ベータ関数
積分指数関数
積分指数関数
積
積分三角関数
積分双曲線関数
その他
(
積分三角関数関連)
誤差関数
誤差関数
菲涅尔
超誤差関数
超
菲涅尔
沃伊格特
欧文·蒂安
马库姆·Q
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楕円積分
完全楕円積分
雅各比
希曼
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高斯
雅各比派
雅各比
楕円幅関
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韦尔斯特拉斯
魏尔斯特拉斯
の楕円ゼータ関数
魏尔斯特拉斯
の楕円シグマ関数
楕円テータ関数
楕円テータ関数
楕円テータ関数の導関数
楕円テータ関数の対数微分
内维尔
拉马努扬
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克莱因
の楕円モジュラー関数
楕円モジュラー・ラムダ関数
正多面体の楕円モジュラー関数
エータ積の楕円モジュラー関数
一般の楕円モジュラー関数
德德金
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(不変量等)
艾森斯坦
実解析的
艾森斯坦
保型関数
数論的保型関数
数論的保型形式
施瓦兹
伽罗瓦
一般の保型関数
贝塞尔曲线
贝塞尔曲线
汉克尔
変
贝塞尔曲线
科勒
贝塞尔曲线
艾利
开尔文
一般
艾利
贝塞尔
斯特鲁夫
愤怒-韦伯
惠塔克公司
艾利-哈迪
洛梅尔
積分
贝塞尔曲线
積分
贝塞尔曲线
贝塞尔-菲涅尔
一般積分
贝塞尔曲线
比克利-内勒
積分
艾利
艾利-菲涅尔
勒让德
勒让德
Legendre(费雷斯)
勒让德(霍布森)
球面調和関数
勒让德
円環関数
円錐関数
赫米特
赫米特
赫米特(Hermite)
放物柱関数
拉盖尔
拉盖尔
拉盖尔
拉盖尔
切比雪夫
切比雪夫
切比雪夫(Chebyshev)
楕円有理関数
楕円
切比雪夫
盖根鲍尔
盖根鲍尔
盖根鲍尔(Gegenbauer)
超球面調和関数
雅各比
雅各比
雅各比(Jacobi)
泽尼克
Wigner的D関
库仑公司
库仑公司
汉克尔-库仑公司
库仑
合流型超幾何関数
合流型超幾何関数
惠塔克
超幾何関数
超幾何関数
黎曼·P関
一般超幾何関数
一般超幾何関数
梅杰尔·G関
马修
马修
変
马修
马修
回転楕円体波動関数
扁長回転楕円体波動関数
(完)
扁平回転楕円体波動関数
(完)
扁長回転楕円体波動関数
(動径)
扁平回転楕円体波動関数
(動径)
回転楕円体波動固有値関数
回転楕円体波動関数関連
扁長回転楕円体波動余弦関数
扁平回転楕円体波動余弦関数
拉梅
拉梅
拉梅风格
一般
拉梅
拉梅
香関
合流型
香関
希尔
希尔(
楕円テータ関数周期)
希尔(
合成三角関数周期)
迈斯纳
潘列夫
第
潘列维
第
潘列维
第
3潘列夫
第
4潘列夫
第
5潘列夫
第
6潘列夫
第
2疼痛疗法
第
4疼痛疗法
高階
潘列夫
第
1a恰齐
第
1b種查兹
第
1c恰齐
第
查兹(Chazy)
第
1e恰齐
第
8查齐
第
13a查齐
第
13b恰齐
第
穆安·Jrad
第
2穆安·Jrad
第
3穆安·Jrad
高階
疼痛疗法
非線形微分方程式の解の関数
范德波尔
达芬
非強制振動型
达芬
強
范德波尔
洛特卡-沃尔特拉
洛伦茨
布拉修斯
艾姆登巷
米塔格-莱夫勒
米塔格-莱夫勒
米塔格-莱夫勒三世
赖特
阿贝尔
阿贝尔
黎曼(Riemann)
缩放-黎曼
超レムニスケート関数
收缩测量法
カタストロフィー理論の関数
皮尔西(Pearcey)
燕尾点正準積分関数
楕円的臍点正準積分関数
双曲的臍点正準積分関数
德国科隆
4
我的故事
开尔文船型
種々の逆関数
乗積対数関数
开普勒
逆積分指数関数
逆積分対数関数
逆誤差関数
逆
菲涅尔
その他の特殊関数
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阿布拉莫维茨
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対関
博彻