非線形微分方程式の解：特殊関数グラフィックスライブラリー特殊功能

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非線形微分方程式の解となる関数

范德波尔の微分方程式の解)

日：范德波尔投资风格，ファン・デル・ポール方程式
英：范德波尔方程，仏：范德波尔微分方程，编号：范德波尔-微分集

　２階の非線形常微分方程式

を、范德波尔の微分方程式といい、解

を、范德波尔関数という。ここに、

は初期値である。
　B.范德波尔は、この微分方程式および後述の強制振動型范德波尔の微分方程式を理論的に研究するとともに、アナログ真空管回路を用いたシミュレーションによっても詳しく研究した。強制振動型范德波尔の微分方程式は、范德波尔の微分方程式において強制振動項

が追加された微分方程式である。
　范德波尔の微分方程式は、楽器などの弦の振動モデルとして瑞利（J.W.Strutt）が導いた、非線形減衰関数

を持つ微分方程式

の特別な場合である。つまり、范德波尔の微分方程式は、３極管に由来する非線形特性として関数

が３次多項式であるとしたものである。
この場合のように、

と同じ向きに働くよう関数

を選ぶと、｢減衰振動｣とは言うものの、実際には絶えず振動にエネルギーが供給される状態、すなわち自励系振動となる。これは極限時間経過後において安定的な周期振動に漸近する。
　一般に、非線形常微分方程式

の解の大域的な振る舞いは、関数

そぞ

を媒介変数とする、

次元位相空間上の軌道

として見たほうが都合がよい。
　例えば、解の唯一性から、初期値の異なる軌道は互いに交わらないことが判明する。特に、軌道が極限時間経過後に安定運動に到達する場合、この吸引集合(アトラクターと呼ばれる)の形状が一目瞭然となる。このような解の軌道に着目する方法は、H.Poincaréによって始められた※1。
　アトラクターはその形状に応じていくつかの種類がある。２次元位相空間であれば、不動点となる「ポイントアトラクター」、閉曲線となる「リミットサイクル」、非整数次元の形状やフラクタル形状となる「ストレンジアトラクター」があり、前２你好你好你好你好你好你好你好你好(微分方程式の非線形性の原因が超越関数による場合は、無限個出現することもある)。
　范德波尔の微分方程式のアトラクターは、原点を中心とする１個のリミットサイクルとなり、すべての軌道は初期値に応じてリミットサイクルの内部または外部に巻き付くように漸近する。

[註記]
※１：しかしながら、以後この頁では、庞加莱の方法からは逸れた

単体の振る舞いも考える。
　そもそも、この頁で扱う微分方程式の解は、（布拉修斯関数を除いて) いずれも複素関数として考察すること自体が希であり、したがって関数記号も（莱恩-埃姆登関数以外は) やむを得ず独自に導入したものである。
　庞加莱が上記の方法を導入した動機は、天体力学における多体問題にあった。任意の時刻を変数とする関数としてこの解を求めることは極めて困難なので、代わりに、解が常に有界な範囲に留まるかどうか(＝天体が周回し続けるか、または途中で離脱するか？)に問題の視点を移したのである。

実変范德波尔関数のグラフ。①：

。②：

。③：

。

　位相平面上での范德波尔関数。様々な初期値からの軌道を重ね描きした図。背景色はスカラー場の強度に基づく。
　①：

。②：

。

　複素変数の范德波尔

のグラフ。

　複素変数の范德波尔

のグラフ。

　複素変数の范德波尔

のグラフ。

　複素変数の范德波尔

のグラフ。

达芬（Duffingの微分方程式の解)

日：达芬投资风格，ダフィン方程式
英：达芬方程，仏：Duffing微分方程，编号：Duffing-Differentialgleichung（达芬-差分）

　２階の非線形常微分方程式

を、达芬の微分方程式といい、解

を、达芬関

你好，你好，你好达芬の微分方程式はその表示から、２井戸形ポテンシャル中にある質点が周期的外力を受け続けるときの運動を表わすものとされ、1918年にG.达芬によって詳しい研究が始まった。
強制振動項

を有することも一因であるが、一般に达芬の微分方程式の解は複雑な様相を呈し、特定パターンの不規則な繰り返しからなる非周期振動となる。また、同じ微分方程式系であっても、初期値のわずかな差が時間とともに指数関数的に増大するため、有限時間経過後の振動は互いに無相関になるという「バタフライ効果」が顕著な例として、达芬の微分方程式は古くから知られていたものである。
　さらに、达芬の微分方程式は係数

や初期値に応じて、その解が様々な種類のアトラクターを持ちうる。特に、前述の非周期振動の場合はストレンジアトラクターを持つことが重要な性質であり、微分方程式での現象例として初めて、1961年に物理学者の上田睆亮が达芬の微分方程式で発見した。
　なお、アトラクターの形状は、

の周期点における軌道点の集合(これをストロボ点という)を見ることによって、さらに詳しく分析できる。ストレンジアトラクターは全体として有界領域であるが、領域と非領域とが互いに細く周密に入り組んだ墨流し形状となる。これが、先のバタフライ効果が生じる理由でもある。すなわち、初期値のわずかな摂動によって軌道がストレンジアトラクターの領域間を移動する。
　ストレンジアトラクターが生成される過程を説明しようとして S.Smale公司らは、折りたたんで馬蹄形にしたパイ生地全体をさらに折りたたんで馬蹄形にするという無限操作との相似性から、「馬蹄形力学」と呼ばれる変換写像を導入した。

実変达芬関数のグラフ。
　①：

。
　②：ストレンジアトラクターを持つ「上田の解」

。

をより広

と比較する。

　上田の解の位相平面上での軌道

とともに、

ごとのストロボ点を

まで表示した図。

　100万までの

ごとのストロボ点で描画した、上田の解のストレンジアトラクター。同様の図が、J.M.T.汤普森，H。B.斯图尔特非線形力学とカオス－技術者・科学者のための幾何学的手法」にもある。

実変达芬

のグラフ。
　これは、減衰項の係数

、および強制振動項の係数

が比較的小さい場合で、２個のポイントアトラクターを持つ。

　２個のポイントアトラクターを持つ达芬関数が、有限時間後にそのどちらに吸引されるかを表わした初期値関数の図。
　①：吸引が強い場合

。
　②：吸引が弱い場合

。

　複素変数の达芬

のグラフ。

　複素変数の达芬

のグラフ。

　複素変数の达芬

のグラフ。

　複素変数の达芬

のグラフ。

　複素変数の达芬

のグラフ。

　複素変数の达芬

のグラフ。

非強制振動型达芬（Duffing）（中文）

　２階の非線形常微分方程式

は、达芬の微分方程式において、強制振動項

を定数項

に置き換えたものである。これを非強制振動型达芬の微分方程式といい、解

を、非強制振動型达芬関数という。ここに、

は初期値である。微分方程式の形から非強制振動型达芬関数は、さしずめ減衰振動化した楕円関数といった様相になる。事実、

のとき解

は楕円関数となり、そうでない一般の場合も楕円関数の特徴を持つことが複素変数のグラフからも分かる。
　ポテンシャルエネルギーが関数

であるとした場合の、減衰振動系の微分方程式

の解はポイントアトラクターを持ち、

の極小点がその個数を決める。このうち、非強制振動型达芬の微分方程式は、

とした場合なので、１または２個のポイントアトラクターを持つ。特に２個の場合、ポイントアトラクター間を行き交いながら最終的にどちらか一方に吸引されるような解となる。

実変达芬関数のグラフ。
　①：

。
　②：

。

　位相平面上での非強制振動型达芬関数。様々な初期値からの軌道を重ね描きした図。背景色はスカラー場の強度。
　①：

。
　②：

。

　２個のポイントアトラクターを持つ非強制振動型达芬関数が、有限時間後にそのどちらに吸引されるかを表わした初期値関数の図。
　①：

の場合

。②：

の場合

。

　複素変数の非強制振動型达芬

のグラフ。

　複素変数の非強制振動型达芬

のグラフ。

　複素変数の非強制振動型达芬

のグラフ。

　複素変数の非強制振動型达芬

のグラフ。

強范德波尔の微分方程式の解)

　范德波尔の微分方程式において強制振動項を考慮した、２階の非線形常微分方程式

を、強制振動型范德波尔の微分方程式といい、解

を、強制振動型范德波尔関数という。または、瑞利-范德波尔の微分方程式、および瑞利-范德波尔関数ともいう。ここに、

は初期値である。強制振動型范德波尔

のとき三角関数で表わせる。
　范德波尔は1927年にアナログ真空管回路を用いて、この微分方程式の解が定数

に係わらず初期値のみによって異なるリミットサイクルを持つことを発見した。
　強制振動型范德波尔の微分方程式が、ストレンジアトラクターの解を含む方程式かどうかは不明である。

　実変数の強制振動型范德波尔関数のグラフ。
　①：

。
　②：

。

　位相平面上の軌道とともに、

ごとのストロボ点を

まで表示した図。
　①：

。
　②：

。

　－1000から100万までの

ごとのストロボ点で描画した、

のアトラクター。

　実変数の強制振動型范德波尔

のグラフ。

が負数の場合は、かなり異なった様相を呈する。

　複素変数の強制振動型范德波尔

のグラフ。

　複素変数の強制振動型范德波尔

のグラフ。

　複素変数の強制振動型范德波尔

のグラフ。

　複素変数の強制振動型范德波尔

のグラフ。

　複素変数の強制振動型范德波尔

のグラフ。

　複素変数の強制振動型范德波尔

のグラフ。

洛特卡-沃尔特拉（中文）

日：Lotka-Volterra反应方式，ロトカ-ヴォルテラ
英：Lotka-Volterra方程，仏：Lotka-Volterra方程，编号：Lotka-Volterra-Gleichungen公司

　連立の１階非線形微分方程式

を、洛特卡-沃尔特拉の微分方程式という。狭義の洛特卡-沃尔特拉の微分方程式とは、このうち

となる場合を言う。このとき解

は競合する２種の生物個体数(

＝被食者数,

＝捕食者数)の変動を表わすものとして知られている。
　連立１階非線形微分方程式を

について整理すると、２階非線形常微分方程式

となる。この解

を、洛特卡-沃尔特拉関数と呼ぶ。ここに、

は初期値である。
　

について整理した場合の微分方程式とその解

は、同じ微分方程式および関数

失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言

る変換ををををををををををを２種個体数の初期値の関係は

をもとに決めることができる。
　狭義の洛特卡-沃尔特拉の微分方程式は、常に周期解となるためポイントアトラクターを持たない。しかし一般の場合において係数が

を満たすときは減衰振動解、すなわちポイントアトラクターを持つ。さらに、係数がもっと一般的な場合には、解が有界でないこともある。なお、一般の Lotka-Volterra公司の微分方程式が潘列韦性を持つのは、係数が

となる場合(楕円関数に還元される場合)のみで、これは狭義の Lotka-Volterra公司の微分方程式に含まれない。
　S.V.Volterra、第1章次世界大戦前後での漁獲量変動の説明としてこの微分方程式を用いたが、すでに A.J.洛特卡によって同形の微分方程式が研究されていることが後年に判明したため、洛特卡-沃尔特拉の微分方程式と呼ばれるようになった。
　一般に、このような連立非線形微分方程式で表わされる系は、生物学や化学など学術の広範囲で現れる (例えば、ブリュセレーター(ブリュッセル学派)方程式など)。また、それらの系では３連あるいは４連以上となることも珍しくない。後述の洛伦茨艺术风格は、３連非線形微分方程式の例として有名である。

実変洛特卡-沃尔特拉関グラフ
　①：周期解

。
　②：減衰振動解

。

　位相平面上の洛特卡-沃尔特拉関数の軌道図。
　①：周期解

。
　②：減衰振動解

。

　複素変数の洛特卡-沃尔特拉

のグラフ。

　複素変数の洛特卡-沃尔特拉

のグラフ。

　複素変数の洛特卡-沃尔特拉

のグラフ。

パラメータが洛特卡-沃尔特拉関数の範囲を超える場合である。
実変洛特卡-沃尔特拉

のグラフ。

　複素変数の洛特卡-沃尔特拉

のグラフ。

洛伦兹（Lorenz）の微分方程式の解)

日：洛伦茨投资风格，ローレンツ方程式
英：洛伦兹方程，仏：洛伦兹方程，编号：洛伦斯·格莱春根

”バタフライ効果－蝶の羽ばたき程度の擾乱は、気象の劇的な変化を起こしうるか？ ”

　前述の洛特卡-沃尔特拉の微分方程式のように、複数個の時間的変動量が相互依存の関係にある系は、自然な方法で連立非線形微分方程式に表わすことができ、その解の組は多次元の位相空間内で軌道を描くことをこれまで見てきたが、専ら２次元の場合であった。ここでは３次元になる例として洛伦兹の微分方程式を扱う。
　1963年に気象学者の E.N.洛伦兹は、大気圏の上層と下層の温度差が空気の対流を生む現象を数学的に論じるため、これを単純化したモデル、例えば、水を張った鍋を底面から加熱した時に生じる流体の運動や熱の移動について定式化した。それでも方程式は非常に複雑になるので、実際には更なる単純化によって、流速関数および温度の線形成分からの相異関数の満たす微分方程式に帰着させ、各関数を傅里叶級数に展開したときの時刻

我傅里叶係３係数

の間で満たされる３連非線形微分方程式

の数値解を代わりに調べて、洛伦兹は前述の現象を論じた。ここに、

は流体の粘性／熱伝導係数で決まる正定数、

は流体の深さと横幅から求められる正定数、

は流体の上下境界間の温度差に比例する正定数である。このような理由から、上記の連立非線形微分方程式は、洛伦茨建筑风格系) と呼ばれる。
　洛伦兹の微分方程式は、解の位相空間を

とするとき、一般に原点

並びに

(ここに、

) の３点を不動点とするが、その現れ方は正定数

の値によって異なる※1。

：安定不動点

のみ。(

はポイントアトラクター。)

：不安定不動点

および安定不動点

。(

（笑声）

はポイントアトラクター。)

：不安定不動点

。
ここに、

なる定数とする。

特に

の場合、解の軌道点は

または

へ接近したのち有限回周回しながら徐々に離脱し、反対側の

または

に再接近するという運動を繰り返すが、接近のときに突入する軌道間隙の位置、周回の回数はランダムである。この反復運動によって、軌道の吸引集合は何度も折りたたみと引き延ばしを受け、康托集合的な断面を持つ無限多層構造となる。現在、この吸引集合は｢洛伦兹アトラクター｣と呼ばれており、ストレンジアトラクターの例を与えるものとして(上田睆亮による达芬方程式でのそれと同時期に) 発見された。洛伦兹がそれを見出した具体的なパラメータ例

は、最もよく知られている。
　先の物理的な意味では、

が蜂の巣状のセルを持つ対流、および乱流までの移行期に相当し、

が無秩序な乱流に相当する (対流や乱流の運動そのものを記述する訳ではない)。
　物理的意味からは逸れるが、

の範囲には解が漸近的に周期軌道となる (３次元のリミットサイクルを持つ) ｢窓｣のような区間が存在する。先の

なるパラメータ例では、

がそのような区間になることが知られている。
（美国）洛伦兹の微分方程式の解についても複素関数的な扱いを試みる。このとき、直接数値的に求めた解を｢洛伦兹関数｣と称し、初期条件を明示した関数記号

で表記することにする (独自の記号である)。

[註記]
※1：時刻

を明示的に含まない形 (自律系) の連立微分方程式

における｢不動点｣とは、

となるような位相空間内の点

のことである。その名称は、不動点を初期値とする解が時刻

に係わらず恒等的に一定値となることに因む。
　不動点の｢安定｣･｢不安定｣とは、

としたときに不動点近傍の軌道がどのように挙動するかを区別する名称で、すべての軌道が吸引される場合を安定、一部の例外を除いて反発する場合を不安定という。そのとき軌道は、不動点を結節点や渦状点、鞍状点とするように振る舞う。

のように安定･不安定の境界線上になる場合、不動点は退化し (退化不動点となり)、異なる定常状態の解への分岐点となる。
　不動点の安定性のみではなく、不動点周りの軌道の振る舞いまで含めて考えれば、

の場合分けは上記よりも細かくなる。それを、軌道の反復運動を生じるセパレータの変形や洛伦兹アトラクターが発生するメカニズム等と比較しながら論じた詳しい説明が、J.M.T.汤普森和H.B.斯图尔特著｢非線形力学とカオス｣の第11©Lorenz系统

実変洛伦茨

のグラフ。

位相空間内の

の軌道図。これは洛伦兹アトラクターを持つ例である。

　複素変数の洛伦茨

のグラフ。

　複素変数の洛伦茨

のグラフ。

　複素変数の洛伦茨

のグラフ。

実変洛伦茨

のグラフ。

位相空間内の

の軌道図。これは２個のポイントアトラクターのうち一方に吸引され、その周囲で渦状の軌道を描く。

　複素変数の洛伦茨

のグラフ。

　複素変数の洛伦茨

のグラフ。

　複素変数の洛伦茨

のグラフ。

実変洛伦茨

のグラフ。

位相空間内の

の軌道図。これは原点に１個のポイントアトラクターを持つが、強く吸引されるため周囲でほとんど渦状にならない。

　複素変数の洛伦茨

のグラフ。

　複素変数の洛伦茨

のグラフ。

　複素変数の洛伦茨

のグラフ。

実変洛伦茨

のグラフ。

位相空間内の

の軌道図。これはリミットサイクルを持つ例である (初期値はリミットサイクルにかなり近い値)。

　複素変数の洛伦茨

のグラフ。

　複素変数の洛伦茨

のグラフ。

　複素変数の洛伦茨

のグラフ。

　アニメーション①（3.54 MB）
　洛伦兹方程式の解の軌道が変形する様子。

＝10,

＝8/3,

＝0.5～30 (+0.5)。初期値は、描画範囲を表わす立方体の６面上に格子状に並ぶ点列とする。

　アニメーション②（1.48MB）
　洛伦兹方程式の解が漸近的に周期軌道となる｢窓｣区間の周辺。

＝10,

＝8/3,

＝98.9～101 (+0.025)。初期値は、

＝3.854,

＝9.988,

＝55.73。

布拉修斯

日：布拉修斯，ブラジウス関
英：Blasius函数，仏：Blasius基金会，编号：Blasius-funktion公司

　３階の非線形常微分方程式である、布莱修斯投资风格

の解

のうち、特に初期条件が

となるものを、布拉修斯※1
　布拉修斯の微分方程式、および布拉修斯関数は、流体力学における布拉修斯边界层：一方向かつ一定速度の粘性流体に対して平行に保持された半無限板上に形成される、理想化された安定的な二次元境界層。板によって剪断された流体は、板の表面に近いほど粘性に由来する減速が生じ、一定速度である領域と区別される層を形成する※2。)内部での粘性流体の速度分布を記述するために、1908年にP.R.H.布拉修斯によって導入された。
　具体的には、流体の元々の一定速度を

、流体の動粘性係数を

、流体の剪断が始まる板の縁を原点とする場合の水平距離を

、垂直距離を

としたとき、

における境界層の厚み

が無理関数

で表わされると仮定する。また、

が境界層の厚みと一致したときに１となるような変数

を

故事的故事わり

おける減

は、

となる。すなわち、布拉修斯関数の導関数は

に対する減速割合を表わす係数になる。
　布拉修斯関数は、冪級数によって

と表わされる。冪級数展開式から、原点中心の３数性

を満たすことが分かる。
　布拉修斯関数の複素平面上における特異点は、閉じた式で表わされない複雑な位置に存在するが、特異点の一つを

とすると、先の３数性から

は必ず特異点となる。さらにこれらが、原点を通り偏角が

となる３本の直線を中心に、対称となる点もすべて特異点となる。絶対値が最も小さい

の値は、

である※三。

[註記]
※1：標準的な関数記号は存在しない。文献等では、単に

と表記することが多いようである。

※2：これは理想化された条件下での現象であるため、自然界では限られた場合にしか見られない。大抵は些細な原因で擾乱が生じるため、整った層流にはならない。すなわち「乱流」が起きる。

※3：複素領域における Blasius公司関数については、例えば次の論文が詳しい。
J.P.Boyd《复平面中的Blasius函数——实验数学》，第8卷，第4期（1999年）

実変布拉修斯

布莱修斯

布拉修斯

のグラフ。

　布拉修斯導関数を用いて、布拉修斯境界層を視覚化する（

）。
なお、

に対してどの速度範囲までを境界層の厚さとするかは、ある程度任意性がある。通常は、

の定数倍

を便宜的な境界層の厚さとするが、

の決定方法はいくつかあり値も各々異なる。

方向に押し出された流体量の換算に基づく「排除厚さ」を採用した場合は、

となる。次のグラフでは、排除厚さで見積られる境界層の厚さを、併せて破線で表示している。

　複素変数の布拉修斯

のグラフ。

　複素変数の布拉修斯

のグラフ。

　複素変数の布莱修斯2

のグラフ。

艾姆登巷

日：莱恩·埃姆登，レーン-エムデン関数
英：Lane-Emden功能，仏：埃姆登车道功能，编号：车道Emden-funktion

　進化の様々な段階における恒星の内部で、温度や圧力，気体の密度が中心からの距離に応じてどのように分布しているかについては、1870年にJ.H.Laneが初めて考察した。また、1907年，J.R.Emdenは、それまでに他の科学者によって得られていた結果も踏まえて、自身の研究成果をまとめた。このような歴史的経緯に基づき、この問題で考察されるようになった非線形常微分方程式

は現在、莱恩-埃姆登の微分方程式と呼ばれる。このとき、

は中心からの距離に相当する変数で、解

は密度に相当する量である (両者の物理量は無次元量で定義される) 。そのうち、特に初期条件が

となる偶関数を莱恩-埃姆登関数という。この初期条件は、恒星の中心から外層に向かう積分を意味するので、莱恩-埃姆登関(逆に、外層から中心に向かう｢外層解｣もあるが、ここでは扱わない) 。また、正の実軸上において最も絶対値が小さい位置にある车道-埃姆登関数の零点から原点までの長さは、恒星の中心から表面までの距離に相当する。
　莱恩-埃姆登の微分方程式は導出の際、圧力