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高階微分方程式の 潘列夫

第1a恰齐

　P.Painlevé等が2階の代数的な非線形常微分方程式に対して得た成果、すなわち、その方程式の解が動く特異点として極のみを持つ（潘列韦性を持つ)場合を具体的に特定･分類したことを、n个階の代数的な非線形常微分方程式
  • n个階の代数的な非線形常微分方程式
に拡張することは、既に 潘列韦の時代から着手されていたが、現在でも解決されていない。C.É。皮卡德2階以上の一般的な代数的非線形常微分方程式に対する分類を試みていたが、潘列韦ををを
　潘列维性を持つような方程式のいくつかを、1910～1911年にJ.Chazyが例示している※1。特にそのうち、第第3章第12章Chazy方程式の解は自然境界を持ち、複素平面の一部分を存在領域とする保型関数を含み、しかもその自然境界自体が動くことを示した。これは２階以下の場合には見られない現象で、このことが３階以上の分類を難しくしている一因とも考えられている。第9種，第10種Chazy公司方程式の解は、種数阿贝尔と楕円関数を合成した関数で表わされるとの指摘がある。Chazy公司方程式の中では、保型関数との絡みもあって第3種，第12種に関する研究が多いようである。
　Chazy公司の例示した方程式のいくつかは、係数関数として任意の楕円関数，拉梅等を含むものがあり、これらの解の計算は非常に困難と思われる。そこで、ここではこのような例は扱わず、第3種，第9種，第10種，および第12種も前述の理由から扱わない。さらに実際に計算を試みて、その結果が二重周期関数となる第7種も扱わない※2。第第1页種は、簡単な式変形によって解が楕円関数または第潘列维となることが明らかなので、これも扱わない。結局、ここで取り扱うChazy公司对方「恰齐超越関数」は、第1a、1b、1c、1d、1e、8、13a、13b、1b
似是而非，似是而非，似是而非，似是而非，似是而非，似是而非，似是而非，似是而非，似是而非，似是而非，似是而非，似是而非，似是而非，似是而非，似是而非，似是而非U.Muáan&F.Jrad“通过Painlevé测试的非多项式三阶方程”（Zeitschrift Für Naturforschung 59A（2004）第163-180页）超越関数」と称して取り扱う (このような研究はまだ新しく、微分方程式自体に標準的な名称がない)。
　このように、現在まで世界中の数学者によって 潘列韦性を持つ非線形常微分方程式の例が多数発見されているが、３階以上の場合についての分類は完成しておらず、各階の方程式の最小個数は知られていない。
　第1a種Chazy计划
  • 第１ａ種Ｃｈａｚｙ方程式
の解を、ここでは具体的に第１ａ種Ｃｈａｚｙ超越関数の記号と表記し、第1a種查齐超越関数と呼ぶ。ここに、
  • 第１ａ種Ｃｈａｚｙ関関関関関関関関関関
である。なお、統一的な関数記号はまだ存在していないため、この頁での記号はすべて独自に設定したものである。
　また、この頁の関数は主に、W.FairとY.L.Lukeによる連分数近似法を拡張した方法によって計算した。

【註記】
※1 J.Chazyの原論文の他、比較的新しい下記論文で Chazy公司方程式の種類を確認することができる。
　三阶常微分方程的Y.Y.Bagderina等价性《应用数学研究》2008年第120号第293-332页。

※2※数学関連｣に掲載しているコード「Chazy.m」、第3话、第7话、第9话、第10话、第12话種についても搭載しています。(ただし、第3種，第12種の自然境界近傍は不正確です。)

第１ａ種Ｃｈａｚｙ超越関数の記号

　実変数の第1a恰齐第１ａ種Ｃｈａｚｙ超越関数の記号のグラフ。
  • 第1a種查齐超越関数のグラフ(実変数)

　複素変数の第1a恰齐第１ａ種Ｃｈａｚｙ超越関数の記号のグラフ。
  • 第1a種查齐超越関数のグラフ（複和変）
  • 第1a種查齐超越関数のグラフ（複和変）
  • 第1a種查齐超越関数のグラフ（複和変）
  • 第1a種查齐超越関数のグラフ（複和変）
  • 第1a種查齐超越関数のグラフ（複和変）

　実変数の第1a恰齐第１ａ種Ｃｈａｚｙ超越関数の記号のグラフ。
  • 第1a種查齐超越関数のグラフ(実変数)

　複素変数の第1a恰齐第１ａ種Ｃｈａｚｙ超越関数の記号のグラフ。
  • 第1a種查齐超越関数のグラフ（複和変）
  • 第1a種查齐超越関数のグラフ（複和変）
  • 第1a種查齐超越関数のグラフ（複和変）
  • 第1a種查齐超越関数のグラフ（複和変）
  • 第1a種查齐超越関数のグラフ（複和変）

　実変数の第1a恰齐第１ａ種Ｃｈａｚｙ超越関数の記号のグラフ。
  • 第1a種查齐超越関数のグラフ(実変数)

　複素変数の第1a恰齐第１ａ種Ｃｈａｚｙ超越関数の記号のグラフ。
  • 第1a種查齐超越関数のグラフ（複和変）
  • 第1a種查齐超越関数のグラフ（複和変）
  • 第1a種查齐超越関数のグラフ（複和変）
  • 第1a種查齐超越関数のグラフ（複和変）
  • 第1a種查齐超越関数のグラフ（複和変）

第1b恰齐

　第1b種Chazy建筑风格
  • 第１ｂ種Ｃｈａｚｙ方程式
の解を、ここでは具体的に第１ｂ種Ｃｈａｚｙ超越関数の記号と表記し、第1b種查齐超越関数と呼ぶ。ここに、
  • 第１ｂ種Ｃｈａｚｙ関関関関関関関関関関
である。

第１ｂ種Ｃｈａｚｙ超越関数の記号

　実変数の第1b恰齐第１ｂ種Ｃｈａｚｙ超越関数の記号のグラフ。
  • 第1b種查齐超越関数のグラフ(実変数)

　複素変数の第1b恰齐第１ｂ種Ｃｈａｚｙ超越関数の記号のグラフ。
  • 第1b種查齐超越関数のグラフ（複和変）
  • 第1b種查齐超越関数のグラフ（複和変）
  • 第1b種查齐超越関数のグラフ（複和変）
  • 第1b種查齐超越関数のグラフ（複和変）
  • 第1b種查齐超越関数のグラフ（複和変）

　実変数の第1b恰齐第１ｂ種Ｃｈａｚｙ超越関数の記号のグラフ。
  • 第1b種查齐超越関数のグラフ(実変数)

　複素変数の第1b恰齐第１ｂ種Ｃｈａｚｙ超越関数の記号のグラフ。
  • 第1b種查齐超越関数のグラフ（複和変）
  • 第1b種查齐超越関数のグラフ（複和変）
  • 第1b種查齐超越関数のグラフ（複和変）
  • 第1b種查齐超越関数のグラフ（複和変）
  • 第1b種查齐超越関数のグラフ（複和変）

　実変数の第1b恰齐第１ｂ種Ｃｈａｚｙ超越関数の記号のグラフ。
  • 第1b種查齐超越関数のグラフ(実変数)

　複素変数の第1b恰齐第１ｂ種Ｃｈａｚｙ超越関数の記号のグラフ。
  • 第1b種查齐超越関数のグラフ（複和変）
  • 第1b種查齐超越関数のグラフ（複和変）
  • 第1b種查齐超越関数のグラフ（複和変）
  • 第1b種查齐超越関数のグラフ（複和変）
  • 第1b種查齐超越関数のグラフ（複和変）

第1c恰齐

　第查兹（Chazy）
  • 第１ｃ種Ｃｈａｚｙ方程式
の解を、ここでは具体的に第１ｃ種Ｃｈａｚｙ超越関数の記号と表記し、第1c種Chazy公司超越関数と呼ぶ。ここに、
第１ｃ種Ｃｈａｚｙ関関関関関関関関関関
である。

第１ｃ種Ｃｈａｚｙ超越関数の記号

　実変数の第1c恰齐第１ｃ種Ｃｈａｚｙ超越関数の記号のグラフ。
  • 第1c種Chazy公司超越関数のグラフ(実変数)

　複素変数の第1c恰齐第１ｃ種Ｃｈａｚｙ超越関数の記号のグラフ。
  • 第1c種Chazy公司超越関数のグラフ（複和変）
  • 第1c種Chazy公司超越関数のグラフ（複和変）
  • 第1c種Chazy公司超越関数のグラフ（複和変）
  • 第1c種Chazy公司超越関数のグラフ（複和変）
  • 第1c種Chazy公司超越関数のグラフ（複和変）

　実変数の第1c恰齐第１ｃ種Ｃｈａｚｙ超越関数の記号のグラフ。
  • 第1c種Chazy公司超越関数のグラフ(実変数)

　複素変数の第1c恰齐第１ｃ種Ｃｈａｚｙ超越関数の記号のグラフ。
  • 第1c種Chazy公司超越関数のグラフ（複和変）
  • 第1c種Chazy公司超越関数のグラフ（複和変）
  • 第1c種Chazy公司超越関数のグラフ（複和変）
  • 第1c種Chazy公司超越関数のグラフ（複和変）
  • 第1c種Chazy公司超越関数のグラフ（複和変）

　実変数の第1c恰齐第１ｃ種Ｃｈａｚｙ超越関数の記号のグラフ。
  • 第1c種Chazy公司超越関数のグラフ(実変数)

　複素変数の第1c恰齐第１ｃ種Ｃｈａｚｙ超越関数の記号のグラフ。
  • 第1c種Chazy公司超越関数のグラフ（複和変）
  • 第1c種Chazy公司超越関数のグラフ（複和変）
  • 第1c種Chazy公司超越関数のグラフ（複和変）
  • 第1c種Chazy公司超越関数のグラフ（複和変）
  • 第1c種Chazy公司超越関数のグラフ（複和変）

第查兹（Chazy）

　第1d種Chazy建筑风格
第１ｄ種Ｃｈａｚｙ方程式
の解を、ここでは具体的に第1d種查兹超越関数の記号と表記し、第1d種查兹超越関数と呼ぶ。ここに、
第1d種查兹関関関関関関関関関関
である。
　また、第1d種查兹方程式において両辺を微分したのち、変換w'→vによって得られる
第1d種查兹導関
の解は、第1d種查兹超越関数の導関数第1d種查兹超越導関数の記号になる。微分係数の関係は、
  • 第1d種查兹超越導関数の初期値
となる。

第1d種查兹超越関数の記号

　実変数の第查兹（Chazy）第1d種查兹超越関数の記号のグラフ。
  • 第1d種查齐超越関数のグラフ(実変数)

　複素変数の第查兹（Chazy）第1d種查兹超越関数の記号のグラフ。
  • 第1d種查齐超越関数のグラフ（複和変）
  • 第1d種查齐超越関数のグラフ（複和変）
  • 第1d種查齐超越関数のグラフ（複和変）
  • 第1d種查齐超越関数のグラフ（複和変）
  • 第1d種查齐超越関数のグラフ（複和変）

　実変数の第查兹（Chazy）第1d種查兹超越関数の記号のグラフ。
  • 第1d種查齐超越関数のグラフ(実変数)

　複素変数の第查兹（Chazy）第1d種查兹超越関数の記号のグラフ。
  • 第1d種查齐超越関数のグラフ（複和変）
  • 第1d種查齐超越関数のグラフ（複和変）
  • 第1d種查齐超越関数のグラフ（複和変）
  • 第1d種查齐超越関数のグラフ（複和変）
  • 第1d種查齐超越関数のグラフ（複和変）

　実変数の第查兹（Chazy）第1d種查兹超越関数の記号のグラフ。
  • 第1d種查齐超越関数のグラフ(実変数)

　複素変数の第查兹（Chazy）第1d種查兹超越関数の記号のグラフ。
  • 第1d種查齐超越関数のグラフ（複和変）
  • 第1d種查齐超越関数のグラフ（複和変）
  • 第1d種查齐超越関数のグラフ（複和変）
  • 第1d種查齐超越関数のグラフ（複和変）
  • 第1d種查齐超越関数のグラフ（複和変）

第1d種查兹超越導関数の記号

　実変数の第1d種查兹超越関数の導関数第1d種查兹超越導関数の記号のグラフ。
  • 第1d種查齐超越導関数のグラフ(実変数)

　複素変数の第1d種查兹超越関数の導関数第1d種查兹超越導関数の記号のグラフ。
  • 第1d種查齐超越導関数のグラフ（複和変）
  • 第1d種查齐超越導関数のグラフ（複和変）
  • 第1d種查齐超越導関数のグラフ（複和変）
  • 第1d種查齐超越導関数のグラフ（複和変）
  • 第1d種查齐超越導関数のグラフ（複和変）

　実変数の第1d種查兹超越関数の導関数第1d種查兹超越導関数の記号のグラフ。
  • 第1d種查齐超越導関数のグラフ(実変数)

　複素変数の第1d種查兹超越関数の導関数第1d種查兹超越導関数の記号のグラフ。
  • 第1d種查齐超越導関数のグラフ（複和変）
  • 第1d種查齐超越導関数のグラフ（複和変）
  • 第1d種查齐超越導関数のグラフ（複和変）
  • 第1d種查齐超越導関数のグラフ（複和変）
  • 第1d種查齐超越導関数のグラフ（複和変）

第1e恰齐

　第1e種Chazy工程方式
第１ｅ種Ｃｈａｚｙ方程式
の解を、ここでは具体的に第１ｅ種Ｃｈａｚｙ超越関数の記号と表記し、第1e種Chazy公司超越関数と呼ぶ。ここに、
第１ｅ種Ｃｈａｚｙ関関関関関関関関関関
である。これは、第潘列维第1潘列夫を積分し、負符号を乗じた関数 (これは、韦尔斯特拉斯と楕円ゼータ関数との関係に類似する) である。すなわち
  • 第１ｅ種Ｃｈａｚｙ超越関数の関係式
の関係にある。

第１ｅ種Ｃｈａｚｙ超越関数の記号

　実変数の第1e恰齐第１ｅ種Ｃｈａｚｙ超越関数の記号のグラフ。
  • 第1e種查兹超越関数のグラフ(実変数)

　複素変数の第1e恰齐第１ｅ種Ｃｈａｚｙ超越関数の記号のグラフ。
  • 第1e種查兹超越関数のグラフ（複和変）
  • 第1e種查兹超越関数のグラフ（複和変）
  • 第1e種查兹超越関数のグラフ（複和変）
  • 第1e種查兹超越関数のグラフ（複和変）
  • 第1e種查兹超越関数のグラフ（複和変）

　実変数の第1e恰齐第１ｅ種Ｃｈａｚｙ超越関数の記号第１ｅ種Ｃｈａｚｙ超越関数の記号のグラフ。
  • 第1e種查兹超越関数のグラフ(実変数)

　複素変数の第1e恰齐第１ｅ種Ｃｈａｚｙ超越関数の記号第１ｅ種Ｃｈａｚｙ超越関数の記号のグラフ。
  • 第1e種查兹超越関数のグラフ（複和変）
  • 第1e種查兹超越関数のグラフ（複和変）
  • 第1e種查兹超越関数のグラフ（複和変）
  • 第1e種查兹超越関数のグラフ（複和変）
  • 第1e種查兹超越関数のグラフ（複和変）

　実変数の第1e恰齐第１ｅ種Ｃｈａｚｙ超越関数の記号のグラフ。
  • 第1e種查兹超越関数のグラフ(実変数)

　複素変数の第1e恰齐第１ｅ種Ｃｈａｚｙ超越関数の記号のグラフ。
  • 第1e種查兹超越関数のグラフ（複和変）
  • 第1e種查兹超越関数のグラフ（複和変）
  • 第1e種查兹超越関数のグラフ（複和変）
  • 第1e種查兹超越関数のグラフ（複和変）
  • 第1e種查兹超越関数のグラフ（複和変）

第8種查兹

　第8種Chazy工程方式
  • 第8種Ｃｈａｚｙ方程式
の解を、ここでは具体的に第8種查兹超越関数の記号と表記し、第8種查兹超越関数と呼ぶ。ここに、
  • 第8種查兹関関関関関関関関関関
である。

第8種查兹超越関数の記号

　実変数の第8種查兹第8種查兹超越関数の記号のグラフ。
  • 第8種查兹超越関数のグラフ(実変数)

　複素変数の第8種查兹第8種查兹超越関数の記号のグラフ。
  • 第8種查兹超越関数のグラフ（複和変）
  • 第8種查兹超越関数のグラフ（複和変）
  • 第8種查兹超越関数のグラフ（複和変）
  • 第8種查兹超越関数のグラフ（複和変）
  • 第8種查兹超越関数のグラフ（複和変）

　実変数の第8種查兹第8種查兹超越関数の記号のグラフ。
  • 第8種查兹超越関数のグラフ(実変数)

　複素変数の第8種查兹第8種查兹超越関数の記号のグラフ。
  • 第8種查兹超越関数のグラフ（複和変）
  • 第8種查兹超越関数のグラフ（複和変）
  • 第8種查兹超越関数のグラフ（複和変）
  • 第8種查兹超越関数のグラフ（複和変）
  • 第8種查兹超越関数のグラフ（複和変）

　実変数の第8種查兹第8種查兹超越関数の記号のグラフ。
  • 第8種查兹超越関数のグラフ(実変数)

　複素変数の第8種查兹第8種查兹超越関数の記号のグラフ。
  • 第8種查兹超越関数のグラフ（複和変）
  • 第8種查兹超越関数のグラフ（複和変）
  • 第8種查兹超越関数のグラフ（複和変）
  • 第8種查兹超越関数のグラフ（複和変）
  • 第8種查兹超越関数のグラフ（複和変）

第13a查齐

　第13a Chazy工程方式
  • 第13a種Chazy派对
の解を、ここでは具体的に第13a種查兹超越関数の記号と表記し、第13a種查齐超越関数と呼ぶ。ここに、
  • 第13a種查兹関関関関関関関関関関
である。

第13a種查兹超越関数の記号

　実変数の第13a查齐第13a種查兹超越関数の記号のグラフ。
  • 第13a種查齐超越関数のグラフ(実変数)

　複素変数の第13a查齐第13a種查兹超越関数の記号のグラフ。
  • 第13a種查齐超越関数のグラフ（複和変）
  • 第13a種查齐超越関数のグラフ（複和変）
  • 第13a種查齐超越関数のグラフ（複和変）
  • 第13a種查齐超越関数のグラフ（複和変）
  • 第13a種查齐超越関数のグラフ（複和変）

　実変数の第13a查齐第13a種查兹超越関数の記号のグラフ。
  • 第13a種查齐超越関数のグラフ(実変数)

　複素変数の第13a查齐第13a種查兹超越関数の記号のグラフ。
  • 第13a種查齐超越関数のグラフ（複和変）
  • 第13a種查齐超越関数のグラフ（複和変）
  • 第13a種查齐超越関数のグラフ（複和変）
  • 第13a種查齐超越関数のグラフ（複和変）
  • 第13a種查齐超越関数のグラフ（複和変）

　実変数の第13a查齐第13a種查兹超越関数の記号のグラフ。
  • 第13a種查齐超越関数のグラフ(実変数)

　複素変数の第13a查齐第13a種查兹超越関数の記号のグラフ。
  • 第13a種查齐超越関数のグラフ（複和変）
  • 第13a種查齐超越関数のグラフ（複和変）
  • 第13a種查齐超越関数のグラフ（複和変）
  • 第13a種查齐超越関数のグラフ（複和変）
  • 第13a種查齐超越関数のグラフ（複和変）

第13b種查兹

　第13b種Chazy建筑风格
  • 第１３ｂ種Ｃｈａｚｙ方程式
の解を、ここでは具体的に第13b種查兹超越関数の記号と表記し、第13b種查兹超越関数と呼ぶ。ここに、
  • 第13b種查兹関関関関関関関関関関
である。

第13b種查兹超越関数の記号

　実変数の第13b種查兹第13b種查兹超越関数の記号のグラフ。
  • 第13b種查兹超越関数のグラフ(実変数)

　複素変数の第13b種查兹第13b種查兹超越関数の記号のグラフ。
  • 第13b種查兹超越関数のグラフ（複和変）
  • 第13b種查兹超越関数のグラフ（複和変）
  • 第13b種查兹超越関数のグラフ（複和変）
  • 第13b種查兹超越関数のグラフ（複和変）
  • 第13b種查兹超越関数のグラフ（複和変）

　実変数の第13b種查兹第13b種查兹超越関数の記号のグラフ。
  • 第13b種查兹超越関数のグラフ(実変数)

　複素変数の第13b種查兹第13b種查兹超越関数の記号のグラフ。
  • 第13b種查兹超越関数のグラフ（複和変）
  • 第13b種查兹超越関数のグラフ（複和変）
  • 第13b種查兹超越関数のグラフ（複和変）
  • 第13b種查兹超越関数のグラフ（複和変）
  • 第13b種查兹超越関数のグラフ（複和変）

　実変数の第13b種查兹第13b種查兹超越関数の記号のグラフ。
  • 第13b種查兹超越関数のグラフ(実変数)

　複素変数の第13b種查兹第13b種查兹超越関数の記号のグラフ。
  • 第13b種查兹超越関数のグラフ（複和変）
  • 第13b種查兹超越関数のグラフ（複和変）
  • 第13b種查兹超越関数のグラフ（複和変）
  • 第13b種查兹超越関数のグラフ（複和変）
  • 第13b種查兹超越関数のグラフ（複和変）

第穆安·Jrad

　U.Muとan F.Jradによる非線形常微分方程式
  • 第１種Ｍｕｇａｎ-Ｊｒａｄ方程式
の解を、ここでは具体的に第１種Ｍｕｇａｎ-Ｊｒａｄ超越関数の記号と表記し、第小穆安超越関数と呼ぶことにする。ここに、
  • 第１種Ｍｕｇａｎ-Ｊｒａｄ関関関関関関関関関関
である。特別な場合の第小穆安超越関数は、対数微分すると第潘列维になる。すなわち
  • 第１種Ｍｕｇａｎ-Ｊｒａｄ超越関数の関係式
の関係にある。

第１種Ｍｕｇａｎ-Ｊｒａｄ超越関数の記号

　実変数の第穆安·Jrad第１種Ｍｕｇａｎ-Ｊｒａｄ超越関数の記号のグラフ。
  • 第1種小穆甘超越関数のグラフ(実変数)

　複素変数の第穆安·Jrad第１種Ｍｕｇａｎ-Ｊｒａｄ超越関数の記号のグラフ。
  • 第1種小穆甘超越関数のグラフ（複和変）
  • 第1種小穆甘超越関数のグラフ（複和変）
  • 第1種小穆甘超越関数のグラフ（複和変）
  • 第1種小穆甘超越関数のグラフ（複和変）
  • 第1種小穆甘超越関数のグラフ（複和変）

　実変数の第穆安·Jrad第１種Ｍｕｇａｎ-Ｊｒａｄ超越関数の記号のグラフ。
  • 第1種小穆甘超越関数のグラフ(実変数)

　複素変数の第穆安·Jrad第１種Ｍｕｇａｎ-Ｊｒａｄ超越関数の記号のグラフ。
  • 第1種小穆甘超越関数のグラフ（複和変）
  • 第1種小穆甘超越関数のグラフ（複和変）
  • 第1種小穆甘超越関数のグラフ（複和変）
  • 第1種小穆甘超越関数のグラフ（複和変）
  • 第1種小穆甘超越関数のグラフ（複和変）

　実変数の第穆安·Jrad第１種Ｍｕｇａｎ-Ｊｒａｄ超越関数の記号第１種Ｍｕｇａｎ-Ｊｒａｄ超越関数の記号のグラフ。(対微すると2種Painlevé超越関数となり、特に、それが 黑斯廷斯-麦克劳德解になる場合。)
  • 第1種小穆甘超越関数のグラフ(実変数)

　複素変数の第穆安·Jrad第１種Ｍｕｇａｎ-Ｊｒａｄ超越関数の記号第１種Ｍｕｇａｎ-Ｊｒａｄ超越関数の記号のグラフ。
  • 第1種小穆甘超越関数のグラフ（複和変）
  • 第1種小穆甘超越関数のグラフ（複和変）
  • 第1種小穆甘超越関数のグラフ（複和変）
  • 第1種小穆甘超越関数のグラフ（複和変）
  • 第1種小穆甘超越関数のグラフ（複和変）

第2穆安·Jrad

　U.Muとan F.Jradによる非線形常微分方程式
  • 第２種Ｍｕｇａｎ-Ｊｒａｄ方程式
の解を、ここでは具体的に第２種Ｍｕｇａｎ-Ｊｒａｄ超越関数の記号と表記し、第2種穆安-Jrad超越関数と呼ぶことにする。ここに、
  • 第２種Ｍｕｇａｎ-Ｊｒａｄ関関関関関関関関関関
である。

第２種Ｍｕｇａｎ-Ｊｒａｄ超越関数の記号

　実変数の第2穆安·Jrad第２種Ｍｕｇａｎ-Ｊｒａｄ超越関数の記号のグラフ。
  • 第2種小穆甘超越関数のグラフ(実変数)

　複素変数の第2穆安·Jrad第２種Ｍｕｇａｎ-Ｊｒａｄ超越関数の記号のグラフ。
  • 第2種小穆甘超越関数のグラフ（複和変）
  • 第2種小穆甘超越関数のグラフ（複和変）
  • 第2種小穆甘超越関数のグラフ（複和変）
  • 第2種小穆甘超越関数のグラフ（複和変）
  • 第2種小穆甘超越関数のグラフ（複和変）

　実変数の第2穆安·Jrad第２種Ｍｕｇａｎ-Ｊｒａｄ超越関数の記号のグラフ。
  • 第2種小穆甘超越関数のグラフ(実変数)

　複素変数の第2穆安·Jrad第２種Ｍｕｇａｎ-Ｊｒａｄ超越関数の記号のグラフ。
  • 第2種小穆甘超越関数のグラフ（複和変）
  • 第2種小穆甘超越関数のグラフ（複和変）
  • 第2種小穆甘超越関数のグラフ（複和変）
  • 第2種小穆甘超越関数のグラフ（複和変）
  • 第2種小穆甘超越関数のグラフ（複和変）

　実変数の第2穆安·Jrad第２種Ｍｕｇａｎ-Ｊｒａｄ超越関数の記号のグラフ。
  • 第2種小穆甘超越関数のグラフ(実変数)

　複素変数の第2穆安·Jrad第２種Ｍｕｇａｎ-Ｊｒａｄ超越関数の記号のグラフ。
  • 第2種小穆甘超越関数のグラフ（複和変）
  • 第2種小穆甘超越関数のグラフ（複和変）
  • 第2種小穆甘超越関数のグラフ（複和変）
  • 第2種小穆甘超越関数のグラフ（複和変）
  • 第2種小穆甘超越関数のグラフ（複和変）

第3種Muğan-Jrad関

　U.Muとan F.Jradによる非線形常微分方程式
  • 第３種Ｍｕｇａｎ-Ｊｒａｄ方程式
の解を、ここでは具体的に第３種Ｍｕｇａｎ-Ｊｒａｄ超越関数の記号と表記し、第3種小穆安超越関数と呼ぶことにする。ここに、
第３種Ｍｕｇａｎ-Ｊｒａｄ関関関関関関関関関関
である。

第３種Ｍｕｇａｎ-Ｊｒａｄ超越関数の記号

　実変数の第3種Muğan-Jrad関第３種Ｍｕｇａｎ-Ｊｒａｄ超越関数の記号のグラフ。
  • 第3種小穆甘超越関数のグラフ(実変数)

　複素変数の第3種Muğan-Jrad関第３種Ｍｕｇａｎ-Ｊｒａｄ超越関数の記号のグラフ。
  • 第3種小穆甘超越関数のグラフ（複和変）
  • 第3種小穆甘超越関数のグラフ（複和変）
  • 第3種小穆甘超越関数のグラフ（複和変）
  • 第3種小穆甘超越関数のグラフ（複和変）
  • 第3種小穆甘超越関数のグラフ（複和変）

　実変数の第3種Muğan-Jrad関第３種Ｍｕｇａｎ-Ｊｒａｄ超越関数の記号のグラフ。
  • 第3種小穆甘超越関数のグラフ(実変数)

　複素変数の第3種Muğan-Jrad関第３種Ｍｕｇａｎ-Ｊｒａｄ超越関数の記号のグラフ。
  • 第3種小穆甘超越関数のグラフ（複和変）
  • 第3種小穆甘超越関数のグラフ（複和変）
  • 第3種小穆甘超越関数のグラフ（複和変）
  • 第3種小穆甘超越関数のグラフ（複和変）
  • 第3種小穆甘超越関数のグラフ（複和変）

　実変数の第3種Muğan-Jrad関第３種Ｍｕｇａｎ-Ｊｒａｄ超越関数の記号のグラフ。
  • 第3種小穆甘超越関数のグラフ(実変数)

　複素変数の第3種Muğan-Jrad関第３種Ｍｕｇａｎ-Ｊｒａｄ超越関数の記号のグラフ。
  • 第3種小穆甘超越関数のグラフ（複和変）
  • 第3種小穆甘超越関数のグラフ（複和変）
  • 第3種小穆甘超越関数のグラフ（複和変）
  • 第3種小穆甘超越関数のグラフ（複和変）
  • 第3種小穆甘超越関数のグラフ（複和変）

高階 潘列韦関関

　第2種疼痛疗法
  • 第2種疼痛疗法
に相当する、より高階の代数的な非線形常微分方程式で、その解が 潘列韦性を持つものとして、
  • 高階第2種疼痛疗法
がががu=u（z）に対する微分演算子Ln[u]は、
  • 微分演算子Ln[u]定义
で定義される。P2[n]（n≥1）の一般解をw=q2[n]（α，z）と表記すると、αが整数分だけ異なる場合の解は、すべて 巴克隆德
  • 高階第2巴克隆德疼痛疗法
によって求めることができる。特にαが整数のとき、P2【n】は有理関数で表わされる解を含む。それらは、
高階第2種Painlevé方程式の有理関数解（种子）
を初期関数 （种子解) として前述の 巴克隆德変換を繰り返し施したもので尽くされる。有理関数解は、高階 亚布隆斯基-沃罗布耶夫风格
  • 階亚布隆斯基-沃洛夫
の対数微分
  • 階亚布隆斯基-沃罗布埃夫多項式による有理関数解の定義
としても表わすことができる。これらの関数も、亚布隆斯基-沃罗布埃夫多項式の場合と同様に、組合わせ論等での応用が知られている。
　以上の結果はすべて、P2【n】が第2種Painlevé方程式の自然な高階化となっていることを示している。同様に第4種Painlevé方程式等についても、高階化された非線形常微分方程式の系列が知られている。このような構造は「疼痛等级」と呼ばれており、まだ全貌が不明な３階以上の代数的非線形常微分方程式の分類も視野に入れた、種々の 潘列韦階層の探索、より一般的な非線形偏微分方程式に対する階層構造を見つける研究等が進められている。例えば、前述の微分演算子Ln[u]を用いた偏微分方程式
  • Korteweg-de Vries工程方法
の系列は、Korteweg-de Vries工程方法（KdV层次结构）となっている。

潘列维方程式の有理関数解の記号

　潘列维方程式の有理関数解潘列维方程式の有理関数解の記号の実変数グラフ。
  • 潘列维方程式の有理関数解のグラフ(実変数)

　潘列维方程式の有理関数解潘列维方程式の有理関数解の記号の複素変数グラフ。最後のグラフは、暗点が零点，明点が極である (以下同様)。
  • 潘列维方程式の有理関数解のグラフ（複和変）
  • 潘列维方程式の有理関数解のグラフ（複和変）
  • 潘列维方程式の有理関数解のグラフ（複和変）
  • 潘列维方程式の有理関数解のグラフ（複和変）
  • 潘列维方程式の有理関数解のグラフ（複和変）
  • 潘列维方程式の有理関数解のグラフ（複和変）

　潘列维方程式の有理関数解潘列维方程式の有理関数解の記号の実変数グラフ。
  • 潘列维方程式の有理関数解のグラフ(実変数)

　潘列维方程式の有理関数解潘列维方程式の有理関数解の記号の複素変数グラフ。
  • 潘列维方程式の有理関数解のグラフ（複和変）
  • 潘列维方程式の有理関数解のグラフ（複和変）
  • 潘列维方程式の有理関数解のグラフ（複和変）
  • 潘列维方程式の有理関数解のグラフ（複和変）
  • 潘列维方程式の有理関数解のグラフ（複和変）
  • 潘列维方程式の有理関数解のグラフ（複和変）

4階Yablonskii-Vorob'ev項記

　亚布隆斯基-沃罗布耶夫风格4階Yablonskii-Vorob'ev項記の複素変数グラフ。多項式であることを踏まえて絶対値と偏角のグラフに留めるが、絶対値が非常に大きくなるので、三次元のグラフの値域は対数目盛とする。
  • 4階亚布隆斯基-沃罗布夫多項式のグラフ（複和変）
  • 4階亚布隆斯基-沃罗布夫多項式のグラフ（複和変）

　α＝1～25μ4階亚布隆斯基-沃罗布埃夫风格4階Yablonskii-Vorob'ev項記一个
  • 4階亚布隆斯基-沃罗布夫多項式のグラフ(複素変数:零点)

　潘列维方程式の有理関数解潘列维方程式の有理関数解の記号の極が、亚布隆斯基-沃罗布耶夫风格4階Yablonskii-Vorob'ev項記のどちらの零点に由来するかを、前者は橙色, 後者は水色で表示する。
　(前述の対数微分形から、有理関数解の分母は必ず亚布隆斯基-沃罗布埃夫多項式の積になる。以下同様。)
  • 4階亚布隆斯基-沃罗布夫多項式のグラフ(複素変数:零点)

潘列韦方程式の有理関数解の記号

　潘列维方程式の有理関数解潘列韦方程式の有理関数解の記号の実変数グラフ。
  • 潘列韦方程式の有理関数解のグラフ(実変数)

　潘列维方程式の有理関数解潘列韦方程式の有理関数解の記号の複素変数グラフ。
  • 潘列韦方程式の有理関数解のグラフ（複和変）
  • 潘列韦方程式の有理関数解のグラフ（複和変）
  • 潘列韦方程式の有理関数解のグラフ（複和変）
  • 潘列韦方程式の有理関数解のグラフ（複和変）
  • 潘列韦方程式の有理関数解のグラフ（複和変）
  • 潘列韦方程式の有理関数解のグラフ（複和変）

　潘列维方程式の有理関数解潘列韦方程式の有理関数解の記号の実変数グラフ。
  • 潘列韦方程式の有理関数解のグラフ(実変数)

　潘列维方程式の有理関数解潘列韦方程式の有理関数解の記号の複素変数グラフ。
  • 潘列韦方程式の有理関数解のグラフ（複和変）
  • 潘列韦方程式の有理関数解のグラフ（複和変）
  • 潘列韦方程式の有理関数解のグラフ（複和変）
  • 潘列韦方程式の有理関数解のグラフ（複和変）
  • 潘列韦方程式の有理関数解のグラフ（複和変）
  • 潘列韦方程式の有理関数解のグラフ（複和変）

6亚布隆斯基-沃罗布夫风格

　6亚布隆斯基-沃罗布埃夫风格6亚布隆斯基-沃罗布夫风格の複素変数グラフ。同様に絶対値と偏角のグラフに留め、三次元のグラフの値域は対数目盛とする。
  • 6階亚布隆斯基-沃罗布夫多項式のグラフ（複和変）
  • 6階亚布隆斯基-沃罗布夫多項式のグラフ（複和変）

　α＝1～25µ6階亚布隆斯基-沃罗布埃夫风格6亚布隆斯基-沃罗布夫风格一个
  • 6階亚布隆斯基-沃罗布夫多項式のグラフ(複素変数:零点)

　潘列维方程式の有理関数解潘列韦方程式の有理関数解の記号の極が、6亚布隆斯基-沃罗布埃夫风格6亚布隆斯基-沃罗布夫风格のどちらの零点に由来するかを、前者は橙色, 後者は水色で表示する。
  • 6階亚布隆斯基-沃罗布夫多項式のグラフ(複素変数:零点)

特殊関数 菜单