特殊関数 グラフィックスライブラリー
特殊函数图形库
http://math-functions-1.watson.jp
H
ome
站点地图
特殊関数
问题-
楕円特殊関数
数学软件
参考資料
特殊関数
菜单
ガンマ関数
ガンマ関数
ポリガンマ関数
ガンマ関数の導関数
ベータ関数
二重階乗関数
巴恩斯·G関
ガンマ関
多重三角関数
ガンマ関数の関連関数
ゼータ関数
黎曼
黎曼-西格尔
赫尔维茨
迪里克莱·里昂
拉马努扬
拉马努扬-西格尔
德德金
ゼータ関数に関連する関数
黎曼
ゼータ関数の導関数
斯蒂尔特杰斯
非自明零点の
迪里克莱
素数ゼータ関数
黎曼
斐波纳契
欧拉和
里斯
ポリ対数関数
(
)
罗杰斯
の二重対数関数
ポリ対数関数
克劳森
積分逆正接関数
德拜
勒奇
不完全ガンマ関数
不完全ガンマ関数
正則化不完全ガンマ関数
不完全ベータ関数
正則化不完全ベータ関数
積分指数関数
積分指数関数
積
積分三角関数
積分双曲線関数
その他
(
積分三角関数関連)
誤差関数
誤差関数
菲涅尔
超誤差関数
超
菲涅尔
沃伊格特
欧文·蒂安
马库姆·Q
楕円積分
楕円積分
完全楕円積分
雅各比
希曼
算術幾何平均
楕円関数
高斯
雅各比派
雅各比
楕円幅関
雅各比第二章
雅各比第三章
韦尔斯特拉斯
魏尔斯特拉斯
の楕円ゼータ関数
魏尔斯特拉斯
の楕円シグマ関数
楕円テータ関数
楕円テータ関数
楕円テータ関数の導関数
楕円テータ関数の対数微分
内维尔
拉马努扬
楕円モジュラー関数
克莱因
の楕円モジュラー関数
楕円モジュラー・ラムダ関数
正多面体の楕円モジュラー関数
エータ積の楕円モジュラー関数
一般の楕円モジュラー関数
德德金
楕円モジュラー形式
(不変量等)
艾森斯坦
実解析的
艾森斯坦
保型関数
数論的保型関数
数論的保型形式
施瓦兹
伽罗瓦
一般の保型関数
贝塞尔曲线
贝塞尔曲线
汉克尔
変
贝塞尔曲线
科勒
贝塞尔曲线
艾利
开尔文
一般
艾利
贝塞尔
斯特鲁夫
愤怒-韦伯
惠塔克公司
艾利-哈迪
洛梅尔
積分
贝塞尔曲线
積分
贝塞尔曲线
贝塞尔-菲涅尔
一般積分
贝塞尔曲线
比克利-内勒
積分
艾利
艾利-菲涅尔
勒让德
勒让德
Legendre(费雷斯)
勒让德(霍布森)
球面調和関数
勒让德
円環関数
円錐関数
赫米特
赫米特
赫米特(Hermite)
放物柱関数
拉盖尔
拉盖尔
拉盖尔
拉盖尔
切比雪夫
切比雪夫
切比雪夫(Chebyshev)
楕円有理関数
楕円
切比雪夫
盖根鲍尔
盖根鲍尔
盖根鲍尔(Gegenbauer)
超球面調和関数
雅各比
雅各比
雅各比(Jacobi)
泽尼克
Wigner的D関
库仑公司
库仑公司
汉克尔-库仑公司
库仑
合流型超幾何関数
合流型超幾何関数
惠塔克
超幾何関数
超幾何関数
黎曼·P関
一般超幾何関数
一般超幾何関数
梅杰尔·G関
马修
马修
変
马修
马修
回転楕円体波動関数
扁長回転楕円体波動関数
(完)
扁平回転楕円体波動関数
(完)
扁長回転楕円体波動関数
(動径)
扁平回転楕円体波動関数
(動径)
回転楕円体波動固有値関数
回転楕円体波動関数関連
扁長回転楕円体波動余弦関数
扁平回転楕円体波動余弦関数
拉梅
拉梅
拉梅风格
一般
拉梅
拉梅
香関
合流型
香関
希尔
希尔(
楕円テータ関数周期)
希尔(
合成三角関数周期)
迈斯纳
潘列夫
第
潘列维
第
潘列维
第
3潘列夫
第
4潘列夫
第
5潘列夫
第
6潘列夫
第
2疼痛疗法
第
4疼痛疗法
高階
潘列夫
第
1a恰齐
第
1b種查兹
第
1c恰齐
第
查兹(Chazy)
第
1e恰齐
第
8查齐
第
13a查齐
第
13b恰齐
第
穆安·Jrad
第
2穆安·Jrad
第
3穆安·Jrad
高階
疼痛疗法
非線形微分方程式の解の関数
范德波尔
达芬
非強制振動型
达芬
強
范德波尔
洛特卡-沃尔特拉
洛伦茨
布拉修斯
艾姆登巷
米塔格-莱夫勒
米塔格-莱夫勒
米塔格-莱夫勒三世
赖特
阿贝尔
阿贝尔
黎曼(Riemann)
缩放-黎曼
超レムニスケート関数
收缩测量法
カタストロフィー理論の関数
皮尔西(Pearcey)
燕尾点正準積分関数
楕円的臍点正準積分関数
双曲的臍点正準積分関数
德国科隆
4
我的故事
开尔文船型
種々の逆関数
乗積対数関数
开普勒
逆積分指数関数
逆積分対数関数
逆誤差関数
逆
菲涅尔
その他の特殊関数
西弗特·雷恩
阿布拉莫维茨
Glasser公司
超指数関数
対関
博彻
超幾何関数
超幾何関数
日:
超幾何関数
英:
超几何函数
,仏:
功能hypergéométrique
,编号:
超几何函数
二階線形常微分方程式
は、
3
個の確定特異点
を持つ。これを、
(高斯
の)超幾何微分方程式といい、この解を超幾何関数という。
そのうち、原点で有限となる基本解
を、第
1
種超幾何関数という。特に、この級数は超幾何級数と呼ばれその収束半径は
1
であるため、実際には、これに線形接続公式
等による解析接続を施して定義域を拡張したものが、本来の第
1
種
(
等比級数)を含む形で一般化した級数という意味を持つ
(超几何级数)
は、
Pochhammer記
が分子に
2個、分母に1
個あることを示している。第
1
種幾関
または
が負の整数
のとき、
項項
(
雅各比风格
)となる。
第
1
種超幾何関数に対して、ガンマ関数因子に由来する不定性を取り除いた 「正規化された超幾何関数」
は、数値計算等で好都合なため多用される。
一方、原点で無限大となる、
とは線形独立な基本解
を、第
2
種超幾何関数と呼ぶ。ただし、
の値によって発散する場合は極限をとる。この極限によって生じる無限級数は対数項を含む。第
2
種超幾何関数の標準的な定義の形、および関数記号は存在していない
(雅各比、雅各比)
関数から類推される独自定義の関数。超幾何関数系の第
2
種関数の定義方法に対する当サイトでの方針は、別頁
「
问题
」を参照)。
一般に超幾何関数は、複素平面上
に特異点を持つ無限多価関数であって、通常は
及び
に分枝切断線を置く。前述の二つの基本解は、これらの特異点のうち原点を近似の中心とした場合である。残り二つの特異点を近似の中心にした場合もそれぞれ考えることができるので、根本的には
6種類の基本解(2基本解
3
(日本)
6
種類の基本解それぞれに対する代数関数因子が
4
種類あるので、合計
24
種類の基本解を定め得る。これらの解の具体的な関数形は、
1836年に
E.E.Kummer公司
によって求められた。
超幾何微分方程式の一般解は、このような基本解の
2
個線
(関数)は
の指数関数および
ガンマ関数
我很高兴见到你
(確定特異点が4
個以上など) の線形微分方程式になると、一般解の係数の具体的表示は現在でも知られていないか、または極めて複雑な関数となる。
が
1
だけ互いに異なる
3
個の超幾何関数は、種々の線形漸化式によって結ばれる。これを
「
隣接関係式」という。よく知られた特殊関数の多くで、異なる次数の関数間に漸化式が存在するのは、これらが超幾何関数の特別な場合になっているからである。隣接関係式は、元々の超幾何関数から異なる
の超幾何関数が次々と得られるため、非常に便利である。例えば、
のような、特殊値の一群を求めることができる。
超幾何関数の特別な場合として表わされる関数は非常に多く、
雅各比
、
盖根鲍尔
、
勒让德
、
完全楕円積分
などがある。また、
(
が特定条件での)二つの線形独立な超幾何関数の比を逆関数にすると、
保型関数
が生じる。
超幾何微分方程式の確定特異点のうち
1を
と合流させ、
1
級の不確定特異点にした微分方程式の解は、
合流型超幾何関数
と呼ばれ、これの特殊形として表わされる関数も非常に多い。
なお、超幾何関数と直接関係は無いが、超幾何微分方程式の極限として表わされる微分方程式から生じる関数として、
拉梅
、
马修
、
回転楕円体波動関数
などがある。これらは超幾何関数よりも高いクラスの関数であるが、比較的整った諸性質
(
隣接関係式など)を持っていない。言いかえれば、超幾何関数はそれら
「
美しい」性質を持つ関数としては、最も高度なものの例である。
超幾何関数は、
1748年にL.Euler
我很高兴见到你
で表わされ、逆にこれをもって超幾何関数の定義とする場合もある。この積分は
を変数と見た場合、明らかに
ベータ関数
の拡張にもなっている。超幾何関数は、この他にも様々な積分表示式で表わせることが知られている。
超幾何関数は、単独で物理学等に用いられることは少なく、むしろ応用上重要な種々の特殊関数どうしの関係、特殊関数の一般論的な側面が問題となる場合に用いられることが多い。
歴史的には、
18欧拉
がめ⏵幾微とそ
19
世紀初頭になると、
J.C.F.GaussやN.H.Abel
等
高斯
の収束判定法」 は超幾何級数のために開発された。
19
世紀中葉では複素解析学が整備され、
G.F.B.黎曼
などの著名な数学者によって、複素領域で定義された線形常微分方程式の解となる関数の大域的理論や多価関数としての構造が深く研究された。ここでも超幾何微分方程式および超幾何関数が理論の具体的な雛形であり、発展の原動力となっている。その後、
超幾何関数自体も一般化や多変数化など様々な拡張が考えられ、今なお盛んに研究されている特殊関数の一つになっている。
実変数の第
1
種超幾何関数のグラフ。 順に、①
。②
。③
。④
。⑤
。⑥
,いずれも、
=-6~6 (+0.2)。
①
②
③
④
⑤
⑥
複素変数の第
1種幾関
のグラフ。
複素変数の第
1種超幾何関数
のグラフ。
複素変数の第
1種超幾何関数
のグラフ。
複素変数の第
1種超幾何関数
のグラフ。
複素変数の第
1種超幾何関数
のグラフ。
複素変数の第
1種超幾何関数
のグラフ。
実変
2
種超幾何関数のグラフ。 順に、①
。②
。③
。④
。⑤
。⑥
,いずれも、
=-6~6 (+0.2)。
①
②
③
④
⑤
⑥
複素変数の第
2種超幾何関数
のグラフ。
複素変数の第
2種超幾何関数
のグラフ。
複素変数の第
2種超幾何関数
のグラフ。
複素変数の第
2種超幾何関数
のグラフ。
複素変数の第
2種超幾何関数
のグラフ。
複素変数の第
2種超幾何関数
のグラフ。
站点地图
↑
顶部页面
黎曼·P関
日:
黎曼·P関
,
リーマンの
P関数字
英:
黎曼P函数
,仏:
P de Riemann函数
,编号:
黎曼舍P-恐惧
2
階の線形常微分方程式
を、
黎曼
の微分方程式という。またその基本解
(の代表)
は
黎曼
のP関数と呼ばれ
と表記される。これは、
黎曼
の微分方程式の確定特異点
における特性指数が
であることを明示した形となっている。すなわち、
黎曼
の微分方程式の
2基本解
を、分岐点
の近傍において
のように振る舞う関数に選定することができる。なお、確定特異点が無限遠点になる場合は、
と解釈する。
黎曼
物语p
と表わされる。逆に、超幾何関数は
黎曼
のP関数の特別な場合
である。
黎曼
微合作者微合作者微合作者微合作者微合作者微合作者微合作者微合作者微合作者微合作者
黎曼
のP関数は、パラメータの列を入れ替えても、また
をを、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、
黎曼
のP関数は、変数に一次分数変換を施した
なる関係を満たす。この他にも、
を満たす。より一般的に、
の
3個の関数は、
の多項式を係数とする線形関係式で結ばれており、これは
黎曼
の定理と呼ばれる。
黎曼
のP関数は、超幾何関数の多価性を解明するために、
G.F.B.黎曼※1
3
個の確定特異点、およびこれらのいくつかを合流して得られる不確定特異点を持つ線形常微分方程式の解は、すべて
黎曼
のP関数によって表わすことができる。
なお、
黎曼
のP関数ではないが、確定特異点が
3
個よりも多い場合の解を、
黎曼
のP関数の記法に倣って記述することがある。例えば
4個ならば、
92; narる。場楕円関関連する
(通常は
香関
の一種とされる。ここに
は、アクセサリーパラメーターと呼ばれ、楕円体関数の固有値に相当する。)
以下の描画における
黎曼
のP関数は、分枝切断線が
3個の特異点
を順る一つ円とるを採を採をを
[註記]
※1:P、Riemann
がドイツ人であることからドイツ語読みの
「
ペー」と発するとがる
他方、
黎曼
はPをギリシャ語の
(
ロー)の大文字の意味で用いたという説もある。
複素変数の
黎曼·P関
のグラフ。
複素変数の
黎曼·P関
のグラフ。
複素変数の
黎曼·P関
のグラフ。
複素変数の
黎曼·P関
のグラフ。
特殊関数
菜单
ガンマ関数
ガンマ関数
ポリガンマ関数
ガンマ関数の導関数
ベータ関数
二重階乗関数
巴恩斯·G関
ガンマ関
多重三角関数
ガンマ関数の関連関数
ゼータ関数
黎曼
黎曼-西格尔
赫尔维茨
迪里克莱·里昂
拉马努扬
拉马努扬-西格尔
德德金
ゼータ関数に関連する関数
黎曼
ゼータ関数の導関数
斯蒂尔特杰斯
非自明零点の
迪里克莱
素数ゼータ関数
黎曼
斐波纳契
欧拉和
里斯
ポリ対数関数
(
)
罗杰斯
の二重対数関数
ポリ対数関数
克劳森
積分逆正接関数
德拜
勒奇
不完全ガンマ関数
不完全ガンマ関数
正則化不完全ガンマ関数
不完全ベータ関数
正則化不完全ベータ関数
積分指数関数
積分指数関数
積
積分三角関数
積分双曲線関数
その他
(
積分三角関数関連)
誤差関数
誤差関数
菲涅尔
超誤差関数
超
菲涅尔
沃伊格特
欧文·蒂安
马库姆·Q
楕円積分
楕円積分
完全楕円積分
雅各比
希曼
算術幾何平均
楕円関数
高斯
雅各比派
雅各比
楕円幅関
雅各比第二章
雅各比第三章
韦尔斯特拉斯
魏尔斯特拉斯
の楕円ゼータ関数
魏尔斯特拉斯
の楕円シグマ関数
楕円テータ関数
楕円テータ関数
楕円テータ関数の導関数
楕円テータ関数の対数微分
内维尔
拉马努扬
楕円モジュラー関数
克莱因
の楕円モジュラー関数
楕円モジュラー・ラムダ関数
正多面体の楕円モジュラー関数
エータ積の楕円モジュラー関数
一般の楕円モジュラー関数
德德金
楕円モジュラー形式
(不変量等)
艾森斯坦
実解析的
艾森斯坦
保型関数
数論的保型関数
数論的保型形式
施瓦兹
伽罗瓦
一般の保型関数
贝塞尔曲线
贝塞尔曲线
汉克尔
変
贝塞尔曲线
科勒
贝塞尔曲线
艾利
开尔文
一般
艾利
贝塞尔
斯特鲁夫
愤怒-韦伯
惠塔克公司
艾利-哈迪
洛梅尔
積分
贝塞尔曲线
積分
贝塞尔曲线
贝塞尔-菲涅尔
一般積分
贝塞尔曲线
比克利-内勒
積分
艾利
艾利-菲涅尔
勒让德
勒让德
Legendre(费雷斯)
勒让德(霍布森)
球面調和関数
勒让德
円環関数
円錐関数
赫米特
赫米特
赫米特(Hermite)
放物柱関数
拉盖尔
拉盖尔
拉盖尔
拉盖尔
切比雪夫
切比雪夫
切比雪夫(Chebyshev)
楕円有理関数
楕円
切比雪夫
盖根鲍尔
盖根鲍尔
盖根鲍尔(Gegenbauer)
超球面調和関数
雅各比
雅各比
雅各比(Jacobi)
泽尼克
Wigner的D関
库仑公司
库仑公司
汉克尔-库仑公司
库仑
合流型超幾何関数
合流型超幾何関数
惠塔克
超幾何関数
超幾何関数
黎曼·P関
一般超幾何関数
一般超幾何関数
梅杰尔·G関
马修
马修
変
马修
马修
回転楕円体波動関数
扁長回転楕円体波動関数
(完)
扁平回転楕円体波動関数
(完)
扁長回転楕円体波動関数
(動径)
扁平回転楕円体波動関数
(動径)
回転楕円体波動固有値関数
回転楕円体波動関数関連
扁長回転楕円体波動余弦関数
扁平回転楕円体波動余弦関数
拉梅
拉梅
拉梅风格
一般
拉梅
拉梅
香関
合流型
香関
希尔
希尔(
楕円テータ関数周期)
希尔(
合成三角関数周期)
迈斯纳
潘列夫
第
潘列维
第
潘列维
第
3潘列夫
第
4潘列夫
第
5潘列夫
第
6潘列夫
第
2疼痛疗法
第
4疼痛疗法
高階
潘列夫
第
1a恰齐
第
1b種查兹
第
1c恰齐
第
查兹(Chazy)
第
1e恰齐
第
8查齐
第
13a查齐
第
13b恰齐
第
穆安·Jrad
第
2穆安·Jrad
第
3穆安·Jrad
高階
疼痛疗法
非線形微分方程式の解の関数
范德波尔
达芬
非強制振動型
达芬
強
范德波尔
洛特卡-沃尔特拉
洛伦茨
布拉修斯
艾姆登巷
米塔格-莱夫勒
米塔格-莱夫勒
米塔格-莱夫勒三世
赖特
阿贝尔
阿贝尔
黎曼(Riemann)
缩放-黎曼
超レムニスケート関数
收缩测量法
カタストロフィー理論の関数
皮尔西(Pearcey)
燕尾点正準積分関数
楕円的臍点正準積分関数
双曲的臍点正準積分関数
德国科隆
4
我的故事
开尔文船型
種々の逆関数
乗積対数関数
开普勒
逆積分指数関数
逆積分対数関数
逆誤差関数
逆
菲涅尔
その他の特殊関数
西弗特·雷恩
阿布拉莫维茨
Glasser公司
超指数関数
対関
博彻