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雅各比

雅各比

日：雅各比，ヤコビ関数
英：雅可比函数，仏：雅各比教堂，独：雅可比恐惧

　2階の線形常微分方程式
  • 雅各比投资风格
は超幾何微分方程式の別表現であって、z=±1，∞を確定特異点とする。これを 雅各比の微分方程式といい、その解の基本系w=a*P[ν，（α，β）]（z）＋b*Q[ν（a，b∈C）を成す二つの関数を超幾何関数で表わせば、
  • 第1、第2章雅各比
となる。これを順に、第1雅各比※第2種でα∈Zの場合は、上記の式に l’Hópital酒店の定理を適用する等、別の定義式が必要になる。
　このうち第1種は、常に
z=1雅各比
となる特別な解であって、z=－1，∞を一般に対数分岐点とし、実軸上の区間(－∞, －1]に分枝切断線が置かれる。次数がν∈Z＜0のときはP[γ，（α，β）]（z）=0となる。
第2種はz=±1，∞を一般に対数分岐点とし、実軸上の区間(－∞, －1]および[1, ∞)に分枝切断線が置かれる。ただしνが半奇数ならば、z=－1物语ν＋α∈Z＜0νν＋β∈Z＞0のときはQ[ν，（α，β）]（z）=∞となる。
　雅各比、νに関して準反転性
  • 次数νに関する準反転性
を持っている。
　雅各比、νに関する線形漸化式および微分漸化式
  • 次数νに関する漸化式
を満たす。ここにa（ν，α，β），b（νは、ν, α, βの三変数について1を周期とする任意の周期関数である。同様に、α, βに関しても漸化式
  • α, βに関する漸化式
を満たし、さらに、ν, α, βに関する簡易な形の漸化式
  • 簡
も満たす。
　雅各比α, βが別Nar組せとき、盖根鲍尔，勒让德,および冪関数
  • 特別なα、 β雅各比
に還元され、それらの式でさらにα = 0（笑声）α = ±1/2とすると、勒让德や切比雪夫一、α, βに対して極限を取ると、拉盖尔（笑声）赫米特
  • 雅各比·α
に近付く。
　第雅各比ν=n∈n≥0ならば、多項式
  • 雅各比风格
に還元される。これは 雅各比风格(希に、超幾何多項式) と呼ばれ、応用で 雅各比関数が使用されるのは、ほとんどこの場合に限られる。雅各比多項式は、母関数表示式および 罗德里格斯公司
  • 母関数表示式および罗德里格斯公司
でも表わすことができ、種々の性質を導くのに便利である。雅各比多項式は古典的直交多項式の系統上で頂点に位置するが、その直交性についての詳細は次節で触れる。なお、雅各比多項式は特別なα, βを除いて一般に偶関数または奇関数にならない。
しばしばP[γ，（α，β）]（z）に代わる第雅各比
  • 第雅各比（G）
※2。ただし、雅各比のそれとは異なる (若干簡単な) 形の微分方程式
  • 第雅各比（G）が満たす微分方程式
を満たす。
　第雅各比関数についても、当サイトと違う様々な定義が存在する。例えば ｢更高的超越函数vol.2頁頁
  • 第2雅各比（费雷尔斯）
が掲載されている。この関数は 雅各比の微分方程式を満たし、実軸上の区間(－∞, －1]および[1, ∞)に分枝切断線が置かれる※三。
　また、同著の170沃尔夫拉姆数学世界第二类雅可比函数雅各比、雅各比霍布森とも言うべく、実軸上の区間(－∞, 1]に分枝切断線が置かれた、
  • 第2雅各比（霍布森）
が掲載されている。この関数も 雅各比の微分方程式を満たす。
　雅各比(多項式) は、主に回転群が関係する剛体力学や量子力学で応用される。例えば、独楽などの回転運動、正の曲率を持つ空間内での 薛定谔方程式の解、各種の拡張された球面調和関数および维格纳に現れる。この他にも、可積分系の特殊解など応用範囲は他の古典的直交多項式と共通する部分もあるが、雅各比項ȃ扱う内よりりα, βが複素数、z（z）が純虚数となる 雅各比（日本）
  • 罗曼诺夫斯基风格
も応用事例があり、これは 罗曼诺夫斯基多項式と呼ばれる※4。粒子ポテンシャルが余接関数となった 薛定谔方程式の解、ランダム行列理論が事例として知られている。
　雅各比风格，1859年，C.G.J.雅各比が導1870年，P.L.切比雪夫が一般の多項式論を展開した際に、併せて 雅各比多項式を論じた。罗曼诺夫斯基（Romanovski）1929年的风格がある種の確率分布を研究した際に導入した。

【註記】
　※1：第二章雅各比Q[ν，（α，β）]（z）は当サイトが独自に定義したものであって、P[γ，（α，β）]（z）が余弦関数に相当すると見たとき、Q[ν，（α，β）]（z）は正弦関数に相当する。(この事は、後にグラフでも確認する。また、第2種関数の定義に対する当サイトの方針は、別頁问题に掲示している。)
　なお、第雅各比関数の定義として広く採用されているのはQh[ν，（α，β）]（z）である。

　※2：G[ν]（p，q，z）のグラフは全て省略する。(実変数も、概形の関心領域が決定しづらいので省略する。)

　※三：Qf[ν，（α，β）]（z）のグラフはQ[ν，（α，β）]（z）と似ているので、z（z）を変数とする場合のみ掲載し、個数も削減する。

　※4：R[ν，（α，β）]（z）のグラフも全て省略する。(同じく、概形の制御が難しいことに因る。)

P[γ，（α，β）]（z）

　x个を実変数とする、第雅各比関数のグラフ。①【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】P[n，（2.7,0.4）]（x）（雅各比风格）②実数次P[ν，（2.7，0.4）]（x）。
  • 第雅各比
  • 第雅各比

　ν、 x个を実2変とする、1雅各比P[ν，（2.7，0.4）]（x）のグラフ。ν = －3.7, －4.7, －5.7, …では関数が定義されない。
　2番目は、ν ≦ －3の範囲を拡大した場合。
  • 第1種Jacobi関グラフ（実2変）
  • 第1種Jacobi関グラフ（実2変）
  • 第1種Jacobi関グラフ（実2変）

　x个を実変数とする、第雅各比関数のグラフ。①【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】P[编号，（－0.4，2.7）]（x）（雅各比风格）②実数次P[ν，（－0.4，2.7）]（x）。
  • 第雅各比
  • 第雅各比

　ν、 x个を実2変とする、1雅各比P[ν，（－0.4，2.7）]（x）のグラフ。¦Α=-0.6，-1.6，-2.6…では関数が定義されない。
　2番目は、－7≤Γ≤0の範囲を拡大した場合。
  • 第1種Jacobi関グラフ（実2変）
  • 第1種Jacobi関グラフ（実2変）
  • 第1種Jacobi関グラフ（実2変）

　x个を実変数とする、第雅各比関数のグラフ。①【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】P[n，（0.4，－2.7）]（x）（雅各比风格）②実数次P[ν，（0.4，－2.7）]（x）。
  • 第雅各比
  • 第雅各比

　ν、 x个を実2変とする、1雅各比P[ν，（0.4，－2.7）]（x）のグラフ。ν = －1.4, －2.4, －3.4, …では関数が定義されない。
　2番目は、－8 ≦ ν ≦－1の範囲を拡大した場合。
  • 第1種Jacobi関グラフ（実2変）
  • 第1種Jacobi関グラフ（実2変）
  • 第1種Jacobi関グラフ（実2変）

　x个を実変数とする、第雅各比関数のグラフ。①【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】P[编号，（-2.7，-0.4）]（x）（雅各比风格）②実数次P[γ，（-2.7，-0.4）]（x）。
  • 第雅各比
  • 第雅各比

　ν、 x个を実2変とする、1雅各比P[γ，（-2.7，-0.4）]（x）のグラフ。ν = 1.7, 0.7, －0.3, －1.3, …では関数が定義されない。
　2番目は、－6 ≦ ν ≦ 2の範囲を拡大した場合。
  • 第1種Jacobi関グラフ（実2変）
  • 第1種Jacobi関グラフ（実2変）
  • 第1種Jacobi関グラフ（実2変）

アニメーション（270兆字节）
　x个を実変数とする、第1雅各比P[ν，（α，β）]（x）のグラフ。ただし実数α, βの組は、2我是一个很好的朋友
  • 第雅各比（Jacobi）
  • α、 β之物

　z（z）を複素変数とする、第1雅各比P[2.7，（6.1，9.2）]（z）のグラフ。
  • 第1種雅各比（Jacobi）
  • 第1種雅各比（Jacobi）
  • 第1種雅各比（Jacobi）
  • 第1種雅各比（Jacobi）
  • 第1種雅各比（Jacobi）

　z（z）を複素変数とする、第1雅各比P[-5.9，（4.4，-5.3）]（z）のグラフ。
  • 第1種雅各比（Jacobi）
  • 第1種雅各比（Jacobi）
  • 第1種雅各比（Jacobi）
  • 第1種雅各比（Jacobi）
  • 第1種雅各比（Jacobi）

　z（z）を複素変数とする、第1雅各比P[4.3＋3i，（－3.4＋7i，－3＋6i）]（z）のグラフ。
  • 第1種雅各比（Jacobi）
  • 第1種雅各比（Jacobi）
  • 第1種雅各比（Jacobi）
  • 第1種雅各比（Jacobi）
  • 第1種雅各比（Jacobi）

　z（z）を複素変数とする、第1雅各比P[－4.4＋5i，（6－3i，2.7－4i）]（z）のグラフ。
  • 第1種雅各比（Jacobi）
  • 第1種雅各比（Jacobi）
  • 第1種雅各比（Jacobi）
  • 第1種雅各比（Jacobi）
  • 第1種雅各比（Jacobi）

　z（z）を複素変数とする、第1雅各比P[-7.7i，（-7i，-2.4＋8i）]（z）のグラフ。
  • 第1種雅各比（Jacobi）
  • 第1種雅各比（Jacobi）
  • 第1種雅各比（Jacobi）
  • 第1種雅各比（Jacobi）
  • 第1種雅各比（Jacobi）

アニメーション（17.8MB）
　z（z）を複素変数とする、第1雅各比P[2.7，（α，β）]（z）のグラフ。ただし実数α, βの組は、2我是一个很好的朋友
  • 第1雅各比(複素変数:動画)
  • α、 β之物

P[ν，（α，β）]（z）（ν）

　νを実変数とする、第雅各比関数のグラフ。①P[ν，（1.6，3.3）]（x）。②P[ν，（-5.7，-0.8）]（x）。
  • 第雅各比（Jacobi）
  • 第雅各比（Jacobi）

　νを複素変数とする、第1雅各比P[ν，（1.6，3.3）]（0.5）のグラフ。
  • 第1種雅各比（Jacobi）
  • 第1種雅各比（Jacobi）
  • 第1種雅各比（Jacobi）
  • 第1種雅各比（Jacobi）
  • 第1種雅各比（Jacobi）

　νを複素変数とする、第1雅各比P[ν，（-5.7，-0.8）]（0.1）のグラフ。
  • 第1種雅各比（Jacobi）
  • 第1種雅各比（Jacobi）
  • 第1種雅各比（Jacobi）
  • 第1種雅各比（Jacobi）
  • 第1種雅各比（Jacobi）

　νを複素変数とする、第1雅各比P[ν，（－5－i，－1＋3i）]（－0.5i）のグラフ。
  • 第1種雅各比（Jacobi）
  • 第1種雅各比（Jacobi）
  • 第1種雅各比（Jacobi）
  • 第1種雅各比（Jacobi）
  • 第1種雅各比（Jacobi）

P[ν，（α，β）]（z）（α）

　αを実変数とする、第1雅各比P[6.7，（α，4.6）]（x）のグラフ。
  • 第雅各比（Jacobi）

　α、 xを実2変とする、1雅各比P[6.7，（α，4.6）]（x）のグラフ。α = －7.7, －8.7, －9.7, …では関数が定義されない。
  • 第雅各比（Jacobi）（α，x）
  • 第雅各比（Jacobi）（α，x）

　αを実変数とする、第1雅各比P[－3.2，（α，－3.7）]（x）のグラフ。
  • 第雅各比（Jacobi）

　α、 xを実2変とする、1雅各比P[－3.2，（α，－3.7）]（x）のグラフ。α = 2.2, 1.2, 0.2, －0.8, －1.8, …では関数が定義されない。
  • 第雅各比（Jacobi）（α，x）
  • 第雅各比（Jacobi）（α，x）

　αを複素変数とする、第1雅各比P[6.7，（α，4.6）]（-0.8）のグラフ。
  • 第1種雅各比（Jacobi）
  • 第1種雅各比（Jacobi）
  • 第1種雅各比（Jacobi）
  • 第1種雅各比（Jacobi）
  • 第1種雅各比（Jacobi）

　αを複素変数とする、第1雅各比P[－3＋i，（α，6－3i）]（－i）のグラフ。
  • 第1種雅各比（Jacobi）
  • 第1種雅各比（Jacobi）
  • 第1種雅各比（Jacobi）
  • 第1種雅各比（Jacobi）
  • 第1種雅各比（Jacobi）

P[γ，（α，β）]（z）（変変β）

　βを実変数とする、第1雅各比P[5.3，（3.6，β）]（x）のグラフ。
  • 第1雅各比（Jacobi）

　β、 x个を実2変とする、1雅各比P[5.3，（3.6，β）]（x）のグラフ。
  • 第雅各比（Jacobi）（β，x）
  • 第雅各比（Jacobi）（β，x）

　βを実変数とする、第1雅各比P[－1.2，（－7.7，β）]（x）のグラフ。
  • 第1雅各比（Jacobi）

　β、 x个を実2変とする、1雅各比P[－1.2，（－7.7，β）]（x）のグラフ。
  • 第雅各比（Jacobi）（β，x）
  • 第雅各比（Jacobi）（β，x）

　βを複素変数とする、第1雅各比P[-1.2，（-7.7，β）]（-0.3）のグラフ。
  • 第1種雅各比関グラフ（複変β）
  • 第1種雅各比関グラフ（複変β）
  • 第1種雅各比関グラフ（複変β）
  • 第1種雅各比関グラフ（複変β）
  • 第1種雅各比関グラフ（複変β）

　βを複素変数とする、第1雅各比P[5＋i，（－3＋8i，β）]（－1＋i）のグラフ。
  • 第1種雅各比関グラフ（複変β）
  • 第1種雅各比関グラフ（複変β）
  • 第1種雅各比関グラフ（複変β）
  • 第1種雅各比関グラフ（複変β）
  • 第1種雅各比関グラフ（複変β）

P[ν，（α，β）]（z）（ν，α）

　ν、 αを実2変とする、1雅各比P[ν，（α，2.3）]（0.5）のグラフ。
  • 第雅各比（Jacobi）
  • 第雅各比（Jacobi）

　ν、 αを実2変とする、1雅各比P[ν，（α，2.3）]（-0.3）のグラフ。
  • 第雅各比（Jacobi）
  • 第雅各比（Jacobi）

　ν、 αを実2変とする、1雅各比P[ν，（α，－2.3）]（0.5）のグラフ。
  • 第雅各比（Jacobi）
  • 第雅各比（Jacobi）

　ν、 αを実2変とする、1雅各比P[ν，（α，－2.3）]（－0.3）のグラフ。
  • 第雅各比（Jacobi）
  • 第雅各比（Jacobi）

P[ν，（α，β）]（z）（ν，β）

　ν、 βを実2変とする、1雅各比P[ν，（1.2，β）]（0.5）のグラフ。
  • 第雅各比（Jacobi）
  • 第雅各比（Jacobi）

　ν、 βを実2変とする、1雅各比P[ν，（1.2，β）]（-0.3）のグラフ。
  • 第雅各比（Jacobi）
  • 第雅各比（Jacobi）

　ν、 βを実2変とする、1雅各比P[ν，（-1.2，β）]（0.5）のグラフ。
  • 第雅各比（Jacobi）
  • 第雅各比（Jacobi）

　ν、 βを実2変とする、1雅各比P[ν，（-1.2，β）]（-0.3）のグラフ。
  • 第雅各比（Jacobi）
  • 第雅各比（Jacobi）

Q[ν，（α，β）]（z）

　x个を実変数とする、第雅各比関数のグラフ。①【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】Q[n，（2.7,0.4）]（x）。②実数次Q[ν，（2.7,0.4）]（x）。
  • 第2種雅各比（Jacobi）
  • 第2種雅各比（Jacobi）

　ν、 x个を実2変とする、2雅各比Q[ν，（2.7,0.4）]（x）のグラフ。ν = －3.7, －4.7, －5.7, …およびν = －1.4, －2.4, －3.4, …では関数が定義されない。
　2番目は、－8 ≦ ν ≦－1の範囲を拡大した場合。
  • 第2種雅各比（Jacobi）
  • 第2種雅各比（Jacobi）
  • 第2種雅各比（Jacobi）

　x个を実変数とする、第雅各比関数のグラフ。①【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】Q[n，（－0.4，2.7）]（x）。②実数次Q[ν，（－0.4，2.7）]（x）。
  • 第2種雅各比（Jacobi）
  • 第2種雅各比（Jacobi）

　ν、 x个を実2変とする、2雅各比Q[ν，（－0.4，2.7）]（x）のグラフ。¦Α=-0.6，-1.6，-2.6…およびν = －3.7, －4.7, －5.7, …では関数が定義されない。
　2番目は、－7≤Γ≤0の範囲を拡大した場合。
  • 第2種雅各比（Jacobi）
  • 第2種雅各比（Jacobi）
  • 第2種雅各比（Jacobi）

　x个を実変数とする、第雅各比関数のグラフ。①【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】Q[n，（0.4，－2.7）]（x）。②実数次Q[ν，（0.4，－2.7）]（x）。
  • 第2種雅各比（Jacobi）
  • 第2種雅各比（Jacobi）

　ν、 x个を実2変とする、2雅各比Q[ν，（0.4，－2.7）]（x）のグラフ。ν = －1.4, －2.4, －3.4, …およびν = 1.7, 0.7, －0.3, －1.3, …では関数が定義されない。
　2番目は、－5 ≦ ν ≦ 2の範囲を拡大した場合。
  • 第2種雅各比（Jacobi）
  • 第2種雅各比（Jacobi）
  • 第2種雅各比（Jacobi）

　x个を実変数とする、第雅各比関数のグラフ。①【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】Q[n，（-2.7，-0.4）]（x）。②実数次Q[ν，（-2.7，-0.4）]（x）。
  • 第2種雅各比（Jacobi）
  • 第2種雅各比（Jacobi）

　ν、 x个を実2変とする、2雅各比Q[ν，（-2.7，-0.4）]（x）のグラフ。¦Α=-0.6，-1.6，-2.6…およびν = 1.7, 0.7, －0.3, －1.3, …では関数が定義されない。
　2番目は、－5 ≦ ν ≦ 2の範囲を拡大した場合。
  • 第2種雅各比（Jacobi）
  • 第2種雅各比（Jacobi）
  • 第2種雅各比（Jacobi）

　z（z）を複素変数とする、第2雅各比Q[2.7，（6.1，9.2）]（z）のグラフ。
  • 第2種雅各比（Jacobi）
  • 第2種雅各比（Jacobi）
  • 第2種雅各比（Jacobi）
  • 第2種雅各比（Jacobi）
  • 第2種雅各比（Jacobi）

　z（z）を複素変数とする、第2雅各比Q[-5.9，（4.4，-5.3）]（z）のグラフ。
  • 第2種雅各比（Jacobi）
  • 第2種雅各比（Jacobi）
  • 第2種雅各比（Jacobi）
  • 第2種雅各比（Jacobi）
  • 第2種雅各比（Jacobi）

　z（z）を複素変数とする、第2雅各比Q[4.3＋3i，（－3.4＋7i，－3＋6i）]（z）のグラフ。
  • 第2種雅各比（Jacobi）
  • 第2種雅各比（Jacobi）
  • 第2種雅各比（Jacobi）
  • 第2種雅各比（Jacobi）
  • 第2種雅各比（Jacobi）

　z（z）を複素変数とする、第2雅各比Q[－4.4＋5i，（6－3i，2.7－4i）]（z）のグラフ。
  • 第2種雅各比（Jacobi）
  • 第2種雅各比（Jacobi）
  • 第2種雅各比（Jacobi）
  • 第2種雅各比（Jacobi）
  • 第2種雅各比（Jacobi）

　z（z）を複素変数とする、第2雅各比Q[-7.7i，（-7i，-2.4＋8i）]（z）のグラフ。
  • 第2種雅各比（Jacobi）
  • 第2種雅各比（Jacobi）
  • 第2種雅各比（Jacobi）
  • 第2種雅各比（Jacobi）
  • 第2種雅各比（Jacobi）

アニメーション（185MB）
　z（z）を複素変数とする、第2雅各比Q[2.7，（α，β）]（z）のグラフ。ただし実数α, βの組は、2我是一个很好的朋友
  • 第2雅各比(複素変数:動画)
  • α、 β之物

Q[ν，（α，β）]（z）（ν）

　νを実変数とする、第雅各比関数のグラフ。①Q[ν，（1.6，3.3）]（x）。②Q[ν，（-5.7，-0.8）]（x）。
  • 第2雅各比
  • 第2雅各比

　νを複素変数とする、第2雅各比Q[ν，（1.6，3.3）]（0.5）のグラフ。
  • 第雅各比（Jacobi）
  • 第雅各比（Jacobi）
  • 第雅各比（Jacobi）
  • 第雅各比（Jacobi）
  • 第雅各比（Jacobi）

　νを複素変数とする、第2雅各比Q[ν，（-5.7，-0.8）]（0.1）のグラフ。
  • 第雅各比（Jacobi）
  • 第雅各比（Jacobi）
  • 第雅各比（Jacobi）
  • 第雅各比（Jacobi）
  • 第雅各比（Jacobi）

　νを複素変数とする、第2雅各比Q[ν，（－5－i，－1＋3i）]（－0.5i）のグラフ。
  • 第雅各比（Jacobi）
  • 第雅各比（Jacobi）
  • 第雅各比（Jacobi）
  • 第雅各比（Jacobi）
  • 第雅各比（Jacobi）

Q[ν，（α，β）]（z）（α）

　αを実変数とする、第2雅各比Q[6.7，（α，4.6）]（x）のグラフ。
  • 第雅各比（Jacobi）

　α、 xを実2変とする、2雅各比Q[6.7，（α，4.6）]（x）のグラフ。α = －7.7, －8.7, －9.7, …では関数が定義されない。
  • 第雅各比（Jacobi）
  • 第雅各比（Jacobi）

　αを実変数とする、第2雅各比Q[-3.2，（α，-3.7）]（x）のグラフ。
  • 第雅各比（Jacobi）

　α、 xを実2変とする、2雅各比Q[-3.2，（α，-3.7）]（x）のグラフ。α = 2.2, 1.2, 0.2, －0.8, －1.8, …では関数が定義されない。
  • 第雅各比（Jacobi）
  • 第雅各比（Jacobi）

　αを複素変数とする、第2雅各比Q[6.7，（α，4.6）]（-0.8）のグラフ。
  • 第2種雅各比（Jacobi）
  • 第2種雅各比（Jacobi）
  • 第2種雅各比（Jacobi）
  • 第2種雅各比（Jacobi）
  • 第2種雅各比（Jacobi）

　αを複素変数とする、第2雅各比Q[－3＋i，（α，6－3i）]（－i）のグラフ。
  • 第2種雅各比（Jacobi）
  • 第2種雅各比（Jacobi）
  • 第2種雅各比（Jacobi）
  • 第2種雅各比（Jacobi）
  • 第2種雅各比（Jacobi）

Q[ν，（α，β）]（z）（β）

　βを実変数とする、第2雅各比Q[5.3，（3.6，β）]（x）のグラフ。
  • 第2種Jacobi関グラフ（実変β）

　β、 x个を実2変とする、2雅各比Q[5.3，（3.6，β）]（x）のグラフ。β = －6.3, －7.3, －8.3, …では関数が定義されない。
  • 第2種Jacobi関グラフ（実2変β，x）
  • 第2種Jacobi関グラフ（実2変β，x）

　βを実変数とする、第2雅各比Q[－1.2，（－7.7，β）]（x）のグラフ。
  • 第2種Jacobi関グラフ（実変β）

　β、 x个を実2変とする、2雅各比Q[－1.2，（－7.7，β）]（x）のグラフ。β = 0.2, －0.8, －1.8, …では関数が定義されない。
  • 第2種Jacobi関グラフ（実2変β，x）
  • 第2種Jacobi関グラフ（実2変β，x）

　βを複素変数とする、第2雅各比Q[－1.2，（－7.7，β）]（－0.3）のグラフ。
  • 第2雅各比（Jacobi）
  • 第2雅各比（Jacobi）
  • 第2雅各比（Jacobi）
  • 第2雅各比（Jacobi）
  • 第2雅各比（Jacobi）

　βを複素変数とする、第2雅各比Q[5＋i，（－3＋8i，β）]（－1＋i）のグラフ。
  • 第2雅各比（Jacobi）
  • 第2雅各比（Jacobi）
  • 第2雅各比（Jacobi）
  • 第2雅各比（Jacobi）
  • 第2雅各比（Jacobi）

Q[ν，（α，β）]（z）（ν，α）

　ν、 αを実2変とする、2雅各比Q[ν，（α，2.3）]（0.5）のグラフ。
  • 第雅各比（Jacobi）
  • 第雅各比（Jacobi）

　ν、 αを実2変とする、2雅各比Q[γ，（α，2.3）]（-0.3）のグラフ。
  • 第雅各比（Jacobi）
  • 第雅各比（Jacobi）

　ν、 αを実2変とする、2雅各比Q[ν，（α，－2.3）]（0.5）のグラフ。
  • 第雅各比（Jacobi）
  • 第雅各比（Jacobi）

　ν、 αを実2変とする、2雅各比Q[ν，（α，－2.3）]（－0.3）のグラフ。
  • 第雅各比（Jacobi）
  • 第雅各比（Jacobi）

Q[ν，（α，β）]（z）（ν，β）

　ν、 βを実2変とする、2雅各比Q[ν，（1.2，β）]（0.5）のグラフ。
  • 第雅各比（Jacobi）
  • 第雅各比（Jacobi）

　ν、 βを実2変とする、2雅各比Q[ν，（1.2，β）]（-0.3）のグラフ。
  • 第雅各比（Jacobi）
  • 第雅各比（Jacobi）

　ν、 βを実2変とする、2雅各比Q[ν，（-1.2，β）]（0.5）のグラフ。
  • 第雅各比（Jacobi）
  • 第雅各比（Jacobi）

　ν、 βを実2変とする、2雅各比Q[ν，（-1.2，β）]（-0.3）のグラフ。
  • 第雅各比（Jacobi）
  • 第雅各比（Jacobi）

P[ν，（α，β）]（z）とQ[ν

弦･弦関P[ν，（α，β）]（x）とQ[ν，（α，β）]（x）の関係。このとき、両者の包絡線は±平方[P[ν，（α，β）]（x）^2＋Q[νとなる。
  • 第雅各比
  • 第雅各比
  • 第雅各比
  • 第雅各比
  • 第雅各比（Jacobi）
  • 第雅各比（Jacobi）
  • 第雅各比（Jacobi）
  • 第雅各比（Jacobi）
  • 第雅各比（Jacobi）
  • 第雅各比（Jacobi）
  • 第雅各比（Jacobi）
  • 第雅各比（Jacobi）
  • 第雅各比（Jacobi）

Qf[ν，（α，β）]（z）

　x个を実変数とする、第雅各比関数のグラフ。①【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】Qf[n，（2.7,0.4）]（x）。②実数次Qf[η，（2.7，0.4）]（x）。
  • 第2種雅各比（Jacobi）
  • 第2種雅各比（Jacobi）

　x个を実変数とする、第雅各比関数のグラフ。①【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】Qf[n，（－0.4，2.7）]（x）。②実数次Qf[ν，（-0.4,2.7）]（x）。
  • 第2種雅各比（Jacobi）
  • 第2種雅各比（Jacobi）

　x个を実変数とする、第雅各比関数のグラフ。①【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】Qf[n，（0.4，－2.7）]（x）。②実数次Qf[ν，（0.4，－2.7）]（x）。
  • 第2種雅各比（Jacobi）
  • 第2種雅各比（Jacobi）

　x个を実変数とする、第雅各比関数のグラフ。①【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】Qf[n，（-2.7，-0.4）]（x）。②実数次Qf[ν，（-2.7，-0.4）]（x）。
  • 第2種雅各比（Jacobi）
  • 第2種雅各比（Jacobi）

　z（z）を複素変数とする、第2雅各比Qf[2.7，（6.1，9.2）]（z）のグラフ。
  • 第2種雅各比（Jacobi）
  • 第2種雅各比（Jacobi）
  • 第2種雅各比（Jacobi）
  • 第2種雅各比（Jacobi）
  • 第2種雅各比（Jacobi）

　z（z）を複素変数とする、第2雅各比Qf[－4.4＋5i，（6－3i，2.7－4i）]（z）のグラフ。
  • 第2種雅各比（Jacobi）
  • 第2種雅各比（Jacobi）
  • 第2種雅各比（Jacobi）
  • 第2種雅各比（Jacobi）
  • 第2種雅各比（Jacobi）

Qh[ν，（α，β）]（z）

　x个を実変数とする、第雅各比関数のグラフ。いずれも実数次であって、①Qh[ν，（2.7,0.4）]（x）。②Qh[ν，（-0.4,2.7）]（x）。③Qh[ν，（0.4，－2.7）]（x）。④Qh[ν，（-0.4，-2.7）]（x）。
  • 第2種雅各比（Jacobi）
  • 第2種雅各比（Jacobi）
  • 第2種雅各比（Jacobi）
  • 第2種雅各比（Jacobi）

　z（z）を複素変数とする、第2雅各比Qh[2.7，（6.1，9.2）]（z）のグラフ。
  • 第2種雅各比（Jacobi）
  • 第2種雅各比（Jacobi）
  • 第2種雅各比（Jacobi）
  • 第2種雅各比（Jacobi）
  • 第2種雅各比（Jacobi）

　z（z）を複素変数とする、第2雅各比Qh[-5.9，（4.4，-5.3）]（z）のグラフ。
  • 第2種雅各比（Jacobi）
  • 第2種雅各比（Jacobi）
  • 第2種雅各比（Jacobi）
  • 第2種雅各比（Jacobi）
  • 第2種雅各比（Jacobi）

　z（z）を複素変数とする、第2雅各比Qh[－4.4＋5i，（6－3i，2.7－4i）]（z）のグラフ。
  • 第2種雅各比（Jacobi）
  • 第2種雅各比（Jacobi）
  • 第2種雅各比（Jacobi）
  • 第2種雅各比（Jacobi）
  • 第2種雅各比（Jacobi）

アニメーション（204MB）
　z（z）を複素変数とする、第2雅各比Qh[2.7，（α，β）]（z）のグラフ。ただし実数α, βの組は、2我是一个很好的朋友
  • 第2雅各比(複素変数:動画)
  • α、 β之物

Qh[ν，（α，β）]（z）（ν）

　νを複素変数とする、第2雅各比Qh[ν，（-5.7，-0.8）]（0.1）のグラフ。
  • 第雅各比（Jacobi）
  • 第雅各比（Jacobi）
  • 第雅各比（Jacobi）
  • 第雅各比（Jacobi）
  • 第雅各比（Jacobi）

　νを複素変数とする、第2雅各比Qh[ν，（－5－i，－1＋3i）]（－0.5i）のグラフ。
  • 第雅各比（Jacobi）
  • 第雅各比（Jacobi）
  • 第雅各比（Jacobi）
  • 第雅各比（Jacobi）
  • 第雅各比（Jacobi）

Qh[ν，（α，β）]（z）（α）

　αを複素変数とする、第2雅各比Qh[6.7，（α，4.6）]（-0.8）のグラフ。
  • 第2種雅各比（Jacobi）
  • 第2種雅各比（Jacobi）
  • 第2種雅各比（Jacobi）
  • 第2種雅各比（Jacobi）
  • 第2種雅各比（Jacobi）

　αを複素変数とする、第2雅各比Qh[－3＋i，（α，6－3i）]（－i）のグラフ。
  • 第2種雅各比（Jacobi）
  • 第2種雅各比（Jacobi）
  • 第2種雅各比（Jacobi）
  • 第2種雅各比（Jacobi）
  • 第2種雅各比（Jacobi）

Qh[ν，（α，β）]（z）（β）

　βを複素変数とする、第2雅各比Qh[－1.2，（－7.7，β）]（－0.3）のグラフ。
  • 第2雅各比（Jacobi）
  • 第2雅各比（Jacobi）
  • 第2雅各比（Jacobi）
  • 第2雅各比（Jacobi）
  • 第2雅各比（Jacobi）

　βを複素変数とする、第2雅各比Qh[－2－3i，（－8＋2i，β）]（－0.7＋0.1i）のグラフ。
  • 第2雅各比（Jacobi）
  • 第2雅各比（Jacobi）
  • 第2雅各比（Jacobi）
  • 第2雅各比（Jacobi）
  • 第2雅各比（Jacobi）

雅各比（Jacobi）

　雅各比风格P[n，（α，β）]（x）は、直交区間を[－1, 1]とする直交多項式であり、重み関数を伴う直交性
  • 雅各比多項式の直交性
を持っている。拡張された球面調和関数などの応用事例では、上記にx=cos（θ）の置換積分を施した
  • 雅各比多項式の直交性（弦関換）
がしばしば必要になる。
もし、前節で触れたG[n]（p，q，x）を 雅各比多項式とするならば、その直交区間は[0, 1]となり、
  • 雅各比风格（G）
なる直交性を持つ直交多項式となる。
　雅各比\38917年(次数n个以外のパラメーター) が２個ある唯一のものである。
　当サイトでは 雅各比関数に対しても、独自に
  • （印度）雅各比
を導入し、正規化 雅各比※1よって、{Pn[n，（α，β）]（x）}（n∈n≥0）は正規直交関数系を成すとともに、重み関数が現れない直交性
  • （印度）雅各比多項式の直交性
を満たす。

【註記】
　※1：関数記号は正規化 （规范化）に基づく。また、当サイトではν, α, βおよびz（z）を複素数まで許容する。他の直交多項式と同様に、A（ν，α，β）を対ガンマ関ν, α, βを複素変数とする場合に解析接続が考慮されるようにするためである。

Pn[ν，（α，β）]（z）

　x个を実変とする、雅各比関数のグラフ。①【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】Pn【n，（2.7，0.4）】（x）。②実数次Pn[ν，（2.7,0.4）]（x）。
  • （印度）雅各比
  • （印度）雅各比

　ν、 x个を実2変雅各比Pn[ν，（2.7,0.4）]（x）のグラフ。ν ＜ －1我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说
  • （印度）雅各比
  • （印度）雅各比

　x个を実変とする、雅各比関数のグラフ。①【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】Pn[n，（－0.4，2.7）]（x）。②実数次Pn[ν，（-0.4,2.7）]（x）。
  • （印度）雅各比
  • （印度）雅各比

　ν、 x个を実2変雅各比Pn[ν，（-0.4,2.7）]（x）のグラフ。¦Α≤－0.6我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说
  • （印度）雅各比
  • （印度）雅各比

　x个を実変とする、雅各比関数のグラフ。①【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】Pn[n，（0.4，－2.7）]（x）。②実数次Pn[ν，（0.4，－2.7）]（x）。
  • （印度）雅各比
  • （印度）雅各比

　ν、 x个を実2変雅各比Pn[ν，（0.4，－2.7）]（x）のグラフ。ν ＜ 1.7我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说
  • （印度）雅各比
  • （印度）雅各比

　x个を実変とする、雅各比関数のグラフ。①【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】Pn[n，（-2.7，-0.4）]（x）。②実数次Pn[ν，（-2.7，-0.4）]（x）。
  • （印度）雅各比
  • （印度）雅各比

　ν、 x个を実2変雅各比Pn[ν，（-2.7，-0.4）]（x）のグラフ。ν ≦ 2.1我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说
  • （印度）雅各比
  • （印度）雅各比

　z（z）を複素変数とする、正規化 雅各比Pn[2.7，（6.1，9.2）]（z）のグラフ。
  • （印度）雅各比
  • （印度）雅各比
  • （印度）雅各比
  • （印度）雅各比
  • （印度）雅各比

　z（z）を複素変数とする、正規化 雅各比Pn[-5.9，（4.4，-5.3）]（z）のグラフ。
  • （印度）雅各比
  • （印度）雅各比
  • （印度）雅各比
  • （印度）雅各比
  • （印度）雅各比

　z（z）を複素変数とする、正規化 雅各比Pn[4.3＋3i，（－3.4＋7i，－3＋6i）]（z）のグラフ。
  • （印度）雅各比
  • （印度）雅各比
  • （印度）雅各比
  • （印度）雅各比
  • （印度）雅各比

　z（z）を複素変数とする、正規化 雅各比Pn[-7.7i，（-7i，-2.4＋8i）]（z）のグラフ。
  • （印度）雅各比
  • （印度）雅各比
  • （印度）雅各比
  • （印度）雅各比
  • （印度）雅各比

Pn[ν，（α，β）]（z）（ν）

　νを実変とする、雅各比関数のグラフ。①Pn[ν，（1.6，3.3）]（x）。②Pn[ν，（-5.7，-0.8）]（x）。
  • （印度）雅各比（Jacobi）
  • （印度）雅各比（Jacobi）

　νを複素変数とする、正規化 雅各比Pn[ν，（1.6，3.3）]（0.5）のグラフ。
  • （印度）雅各比（Jacobi）
  • （印度）雅各比（Jacobi）
  • （印度）雅各比（Jacobi）
  • （印度）雅各比（Jacobi）
  • （印度）雅各比（Jacobi）

　νを複素変数とする、正規化 雅各比Pn[ν，（-5.7，-0.8）]（0.1）のグラフ。
  • （印度）雅各比（Jacobi）
  • （印度）雅各比（Jacobi）
  • （印度）雅各比（Jacobi）
  • （印度）雅各比（Jacobi）
  • （印度）雅各比（Jacobi）

　νを複素変数とする、正規化 雅各比Pn[ν，（－5－i，－1＋3i）]（－0.5i）のグラフ。
  • （印度）雅各比（Jacobi）
  • （印度）雅各比（Jacobi）
  • （印度）雅各比（Jacobi）
  • （印度）雅各比（Jacobi）
  • （印度）雅各比（Jacobi）

Pn[ν，（α，β）]（z）（α）

　αを実変とする、雅各比Pn[6.7，（α，4.6）]（x）のグラフ。
  • （印度）雅各比（Jacobi）

　α、 xを実2変雅各比Pn[6.7，（α，4.6）]（x）のグラフ。α ≦ －7.7我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说
  • （印度）雅各比（Jacobi）
  • （印度）雅各比（Jacobi）

　αを実変とする、雅各比Pn[-3.2，（α，-3.7）]（x）のグラフ。α＞9.1では関数が実数値を取らない。
  • （印度）雅各比（Jacobi）

　α、 xを実2変雅各比Pn[-3.2，（α，-3.7）]（x）のグラフ。α ≦ 5.9我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说
  • （印度）雅各比（Jacobi）
  • （印度）雅各比（Jacobi）

　αを複素変数とする、正規化 雅各比Pn[6.7，（α，4.6）]（-0.8）のグラフ。
  • （印度）雅各比（Jacobi）
  • （印度）雅各比（Jacobi）
  • （印度）雅各比（Jacobi）
  • （印度）雅各比（Jacobi）
  • （印度）雅各比（Jacobi）

　αを複素変数とする、正規化 雅各比Pn[－3＋i，（α，6－3i）]（－i）のグラフ。
  • （印度）雅各比（Jacobi）
  • （印度）雅各比（Jacobi）
  • （印度）雅各比（Jacobi）
  • （印度）雅各比（Jacobi）
  • （印度）雅各比（Jacobi）

Pn[γ，（α，β）]（z）（β）

　βを実変とする、雅各比Pn[5.3，（3.6，β）]（x）のグラフ。
  • （印度）雅各比（Jacobi）

　β、 x个を実2変雅各比Pn[5.3，（3.6，β）]（x）のグラフ。β ＜ －6.3我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说
  • （印度）雅各比（Jacobi）
  • （印度）雅各比（Jacobi）

　βを実変とする、雅各比Pn[－1.2，（－7.7，β）]（x）のグラフ。β ＞ 9.1では関数が実数値を取らない。
  • （印度）雅各比（Jacobi）

　β、 x个を実2変雅各比Pn[－1.2，（－7.7，β）]（x）のグラフ。β ＜ 7.9我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说，我是说
  • （印度）雅各比（Jacobi）
  • （印度）雅各比（Jacobi）

　βを複素変数とする、正規化 雅各比Pn[－1.2，（－7.7，β）]（－0.3）のグラフ。
  • （印度）雅各比（Jacobi）
  • （印度）雅各比（Jacobi）
  • （印度）雅各比（Jacobi）
  • （印度）雅各比（Jacobi）
  • （印度）雅各比（Jacobi）

　βを複素変数とする、正規化 雅各比Pn[5＋i，（－3＋8i，β）]（－1＋i）のグラフ。
  • （印度）雅各比（Jacobi）
  • （印度）雅各比（Jacobi）
  • （印度）雅各比（Jacobi）
  • （印度）雅各比（Jacobi）
  • （印度）雅各比（Jacobi）

Pn[ν，（α，β）]（z）（ν，α）

　ν、 αを実2変雅各比Pn[ν，（α，2.3）]（0.5）のグラフ。
  • （印度）雅各比（Jacobi）
  • （印度）雅各比（Jacobi）

　ν、 αを実2変雅各比Pn[ν，（α，2.3）]（-0.3）のグラフ。
  • （印度）雅各比（Jacobi）
  • （印度）雅各比（Jacobi）

　ν、 αを実2変雅各比Pn[ν，（α，－2.3）]（0.5）のグラフ。
  • （印度）雅各比（Jacobi）
  • （印度）雅各比（Jacobi）

　ν、 αを実2変雅各比Pn[ν，（α，－2.3）]（－0.3）のグラフ。
  • （印度）雅各比（Jacobi）
  • （印度）雅各比（Jacobi）

Pn[ν，（α，β）]（z）（ν，β）

　ν、 βを実2変雅各比Pn[ν，（1.2，β）]（0.5）のグラフ。
  • （印度）雅各比ν，β
  • （印度）雅各比ν，β

　ν、 βを実2変雅各比Pn[ν，（1.2，β）]（-0.3）のグラフ。
  • （印度）雅各比ν，β
  • （印度）雅各比ν，β

　ν、 βを実2変雅各比Pn[ν，（-1.2，β）]（0.5）のグラフ。
  • （印度）雅各比ν，β
  • （印度）雅各比ν，β

　ν、 βを実2変雅各比Pn[ν，（-1.2，β）]（-0.3）のグラフ。
  • （印度）雅各比ν，β
  • （印度）雅各比ν，β

泽尼克

日：泽尼克，ゼルニ関
英：Zernike函数，仏：泽尼克功能，独：Zernikesche funktion公司

　泽尼克、第1章雅各比関数を用いた表示式
  • 泽尼克
で定義される※1。一般に 泽尼克ρ = ±1, ∞を第雅各比関数に由来する対数分岐点、ρ = 0をρ^μに由来する分岐点とし、実軸上の区間(－∞, 0)および[1, ∞)に分枝切断線が置かれる (特にμ∈Z物语(－∞, －1]および[1, ∞)に分枝切断線が置かれる)。
　泽尼克νに関する線形漸化式および微分漸化式
  • 泽尼克νに関する漸化式
を満たす。また、ν、 μ，ρ∈Rとするとき、積分表示式
  • 泽尼克関数の積分表示式
是的
　後述のとおり、応用ではR[ν，μ]（ρ）を動径方向の関数と考え、方位角φ方向の因子を三角関数とした、
  • 円泽尼克
が定義される。当サイトでは、これを ｢円板上の 泽尼克関数｣ と呼ぶことにする。
　R[ν，μ]（ρ）およびZ[ν，μ]（ρ，φ）のうち、実際に応用面で重要となるのは、専らν=n∈Z，μ=m∈Zで、しかもn－m∈偶数≥Abs（m）となる場合に限られる。このとき、R[n，m]（ρ）は前述の分枝切断線が消失して多項式となるので、泽尼克多項式と呼ばれる。また、Z[n，m]（ρ，φ）を ｢円板上の 泽尼克多項式｣ と呼ぶことにする。
　泽尼克多項式は、母関数表示式および 罗德里格斯（Rodrigues）※2
  • 泽尼克多項式の母関数表示式および罗德里格斯公司
で表わせる他、超幾何関数表示式および明示的な多項式
  • 泽尼克多項式の明示式
によっても表わせる。(実は、冒頭に掲げた定義式に現れる第雅各比関数の部分は、泽尼克多項式のときに第1種勒让德関数の多項式で表わすことができる※3。)
　泽尼克多項式の特に重要な性質は、重み関数ρを伴う直交性
  • 泽尼克多項式の直交性
を持つことである。しかし、各種公式の形が枠組みから外れる等の理由で、泽尼克多項式は古典的直交多項式に含めない慣例となっている。
　泽尼克多項式は光学の分野で重要であり、特に、天文学および眼科領域で使用されるレンズや精密光学機器の性能を向上する (歪みや干渉を抑える) ために応用される。また、画像処理における特徴検出にも 泽尼克多項式が現れ、その技術は医療機器等に応用されている。これらの事例では、円板上の 泽尼克多項式が持つ単位円板内部での直交性
  • 円泽尼克多項式の直交性
が礎とっ⏵る
　1932年に位相差顕微鏡を発明した F.泽尼克は、これに必要となる円形凹面鏡の設計とその回折現象の解明にあたって、新たに 泽尼克多項式を導入した事を1934年の論文で明らかにしたので、後年その名を冠して呼ばれるようになった。

【註記】
　※1：因子cos（（ν－μ）π/2）は Mathematica公司が採用する定義 (2023年1月現在) であって、通常この部分は(－1)^(ν－μ)/2で定義される。ところが前者は、ν, μが整数でない実数のときでも、R[ν，μ]（ρ）(0 ≦ ρ ＜ 1)が実数値を取るという利点を持つ。Mathematica公司が今後この定義を変更する可能性もあるが、当サイトはこれを採用する。よって、泽尼克多項式を超えるν, μおよびρの場合についてもグラフを掲載するが、物理的な意味を全く持たないので、その個数を若干削減する (例えば、ν（笑声）μを複素変数とするグラフは省略する)。

　※2：微分形式d（ρ^2）=2ρ*dρによる表現を用いず、この公式を次のように解釈しても良い。
  • 泽尼克-罗德里格斯

　※3：この事は、P（n，（m，0））が満たす漸化式
  • 泽尼克风格
（笑声）（笑声）（笑声）（笑声）（掌声）（掌声）（掌声）（掌声）（掌声）（掌声）（掌声）（掌声）（掌声）（掌声）（掌声）（掌声）（掌声）（掌声）（掌声）（掌声）（掌声）（掌声）（掌声）（掌声）（掌声）（掌声）（掌声）（掌声）

R[n，m]（ρ）

　ρを実変数とする、泽尼克項グラフ①R[n，0]（ρ）。②R[n，1]（ρ）。③R[n，2]（ρ）。④R[n，3]（ρ）。
  • 泽尼克多項式のグラフ(実変数)
  • 泽尼克多項式のグラフ(実変数)
  • 泽尼克多項式のグラフ(実変数)
  • 泽尼克多項式のグラフ(実変数)

　ρを実変数とする、泽尼克項グラフ①R[20，m]（ρ）。②R[21，m]（ρ）。③R[22，m]（ρ）。④R[23，m]（ρ）。
  • 泽尼克多項式のグラフ(実変数)
  • 泽尼克多項式のグラフ(実変数)
  • 泽尼克多項式のグラフ(実変数)
  • 泽尼克多項式のグラフ(実変数)

Z[n，m]（ρ，φ）

　円板上の Zernike风格Z[n，m]（ρ，φ）のグラフ。n=0、1、2、3、4の場合。
　(通常はこの表示形式のグラフを、｢泽尼克多項式のグラフ｣ として紹介している事が多い。）
  • 円泽尼克多項式のグラフ（実2変ρ，φ）
  • 円泽尼克多項式のグラフ（実2変ρ，φ）

　前述の直交性により、Z[n，m]（ρ，φ）のグラフは単位円内部に限定することが多いが、関数自体は外部にも存在する。
  • 円泽尼克多項式のグラフ（実2変ρ，φ）

　円板上の Zernike风格Z[n，m]（ρ，φ）のグラフ。n=16の場合。
  • 円泽尼克多項式のグラフ（実2変ρ，φ）
  • 円泽尼克多項式のグラフ（実2変ρ，φ）

　円板上の Zernike风格Z[n，m]（ρ，φ）のグラフ。n=17の場合。
  • 円泽尼克多項式のグラフ（実2変ρ，φ）
  • 円泽尼克多項式のグラフ（実2変ρ，φ）

　n≥0を共通とする、円板上の Zernike风格Z[n，m]（ρ，φ）の有限和
  • 円泽尼克多項式の有限和
が成立する。これは、贝塞尔雅各比-愤怒膨胀｣ に似ている。
　Zx[16]（ρ，φ）＋Zy[16]のグラフ。
  • 円泽尼克多項式のグラフ（実2変ρ，φ）

　Zx[17]（ρ，φ）＋Zy[17]のグラフ。
  • 円泽尼克多項式のグラフ（実2変ρ，φ）

R[ν，μ]（ρ）

　ρを実変数とする、泽尼克R[ν，0]（ρ）のグラフ。
  • 泽尼克（Zernike）

　ν, ρを実2変とする、泽尼克関R[ν，0]（ρ）のグラフ。
  • 泽尼克（Zernike）
  • 泽尼克（Zernike）

　ρを実変数とする、泽尼克R[ν，1]（ρ）のグラフ。
  • 泽尼克（Zernike）

　ν, ρを実2変とする、泽尼克関R[ν，1]（ρ）のグラフ。
  • 泽尼克（Zernike）
  • 泽尼克（Zernike）

　ρを実変数とする、泽尼克R[ν，2]（ρ）のグラフ。
  • 泽尼克（Zernike）

　ν, ρを実2変とする、泽尼克関R[ν，2]（ρ）のグラフ。
  • 泽尼克（Zernike）
  • 泽尼克（Zernike）

　ρを実変数とする、泽尼克R[ν，3]（ρ）のグラフ。
  • 泽尼克（Zernike）

　ν, ρを実2変とする、泽尼克関R[ν，3]（ρ）のグラフ。
  • 泽尼克（Zernike）
  • 泽尼克（Zernike）

　ρを実変数とする、泽尼克R[20，μ]（ρ）のグラフ。
  • 泽尼克（Zernike）

　μ, ρを実2変とする、泽尼克関R[20，μ]（ρ）のグラフ。
  • 泽尼克（Zernike）
  • 泽尼克（Zernike）

　ρを実変数とする、泽尼克R[21，μ]（ρ）のグラフ。
  • 泽尼克（Zernike）

　μ, ρを実2変とする、泽尼克関R[21，μ]（ρ）のグラフ。
  • 泽尼克（Zernike）
  • 泽尼克（Zernike）

　ρを実変数とする、泽尼克R[22，μ]（ρ）のグラフ。
  • 泽尼克（Zernike）

　μ, ρを実2変とする、泽尼克関R[22，μ]（ρ）のグラフ。
  • 泽尼克（Zernike）
  • 泽尼克（Zernike）

　ρを実変数とする、泽尼克R[23，μ]（ρ）のグラフ。
  • 泽尼克（Zernike）

　μ, ρを実2変とする、泽尼克関R[23，μ]（ρ）のグラフ。
  • 泽尼克（Zernike）
  • 泽尼克（Zernike）

　ν, μを実2変とする、泽尼克関R[ν，μ]（0.5）のグラフ。
  • 泽尼克（Zernike）
  • 泽尼克（Zernike）

　ρを複素変数とする、泽尼克R[3.7,6.6]（ρ）のグラフ。
  • 泽尼克（Zernike）
  • 泽尼克（Zernike）
  • 泽尼克（Zernike）
  • 泽尼克（Zernike）
  • 泽尼克（Zernike）

　ρを複素変数とする、泽尼克R[3.7，－6.6]（ρ）のグラフ。
  • 泽尼克（Zernike）
  • 泽尼克（Zernike）
  • 泽尼克（Zernike）
  • 泽尼克（Zernike）
  • 泽尼克（Zernike）

　ρを複素変数とする、泽尼克R[－4＋i，6.4－3i]（ρ）のグラフ。
  • 泽尼克（Zernike）
  • 泽尼克（Zernike）
  • 泽尼克（Zernike）
  • 泽尼克（Zernike）
  • 泽尼克（Zernike）

　ρを複素変数とする、泽尼克R[6＋3i，－5.3＋5i]（ρ）のグラフ。
  • 泽尼克（Zernike）
  • 泽尼克（Zernike）
  • 泽尼克（Zernike）
  • 泽尼克（Zernike）
  • 泽尼克（Zernike）

Z[ν，μ]（ρ，φ）

　円板上の 泽尼克Z[ν，μ]（ρ，φ）のグラフ。ν = 8.7； μ = 0.3, 1.3, … , 8.3の場合。
  • 円泽尼克（Zernike）
  • 円泽尼克（Zernike）

维格纳·D関

日：维格纳·D関，ウィグナーD関
英：维格纳D函数，仏：功能D de Wigner，独：Wignersche D-funktion公司

角度0≦ψ,φ＜2π ; 0≦θ≦π(ただし、この制限はしばしば不要になる) は、三次元直交直線座標{x，y，z}における原点中心の回転変換を指定する、(z→y→z回転系の) 欧拉(ψ, θ, φ)であるとする※1。
　このとき 维格纳D[2j＋1]1992年2j+1次のユニタリー行列 (ユニタリー性conj（T（D[2j+1]））・D[2j+1]=I[2j+1]を持つ2j+1次の複素正方行列。ここに、I[2j＋1]は2j+1次の単位行列。)
  • 维格纳
であって、具体的にその要素直径[m，n]が、维格纳·D関
  • Wigner的D関関・D関
によりD[m，n]=D[m、n、j]（ψ，θ，φ）と表わされる行列を言う※2。特にd[m，n，j]（θ）=d[m，n]（0，θ，0）の部分は 维格纳関数と呼ばれ、これの 雅各比関数部分は、超幾何関数による閉形式または有限和で表示されることもある。
　维格纳·D·D·D·D·m、 n个について反転性
  • 维格纳·D·D·D·D·维格耐性
を持つ。また、偏微分演算子を
  • 偏微分演算子日本
と定めるとき、维格纳（WigneríD）関数の共役複素数は
  • Wigner的D関数の共役複素数が満たす偏微分方程式
なる偏微分方程式を満たす※三。すなわちj*（j+1），m，n等は、この偏微分方程式の固有値である。
急性呼吸系统综合征维格纳·D·欧拉(ψ, θ, φ)の全体をわたる直交性
  • Wigner的D関数が満たす直交性
を持っている。
　维格纳·D·迪安球面調和関数およびその拡張と関係がある。例えばn=0のとき、球面調和関数
  • Wigner的D関数から球面調和関数への還元
我是一个很好的朋友，我是一个很好的朋友，我是一个很好的朋友，我是一个很好的朋友，我是一个很好的朋友，我是一个很好的朋友，我是一个很好的朋友，我是一个很好的朋友，我是一个很好的朋友"スピン" を考慮した ｢スピン加重球面調和関数 （自旋加权球谐函数）関数を用いて、
  • スピン加重球面調和関数
と表わされる。
　また重要な事実として、有限和
  • 维格纳
は、球面調和関数Y[j，n]（θ，φ）を(z→y→z回転系の) 欧拉(α, β, γ)で回転変換したものと一致する。
　维格纳（WigneríD）行列は、回転群 (特殊直交群)SO（3）または特殊ユニタリー群SU（2）の既約行列表現 (各群の元全体から行列が成す群への写像) として、E.P.Wignerが1927スピン運動が谎言群による表現論に応用される。

【註記】
　※1个：(z→y→z回転系の) 欧拉(ψ, θ, φ)は、具体的に次の手順で回転が定まる。
　①　z（z）軸周りにψ度回転
　②前記①で移動後の年軸周りにθ度回転
　③前記②で移動後のz（z）軸周りにφ度回転
これをアニメーション（372 MB）で示すと、次のようになる。
  • z→y→z投资
　同様に、他の回転系を採用することも可能であり、全部で12種類の回転系がある。

　※2：Mathematica公司维格纳D[{j，m，n}，ψ，θ，φ]=数学D[m，n，j]（ψ，θ，φ）は、添字j、 米，牛が整数でもなく半奇数でもない場合にも定義されており、しかもψ, θ, φが複素数の場合でも計算可能である。それは次のコードと全く同じ動作になる (2023年3月現在)。
  • WignerDコード
このとき、数学D[m，n，j]（ψ，θ，φ）と通常の定義D[m，n，j]（ψ，θ，φ）の関係は (添字と変数の拡張も含めて)、
  • 数学软件組込関数との関係
となる。なお、コード高斯超几何。米では、Mathematica公司の組込関数よりも更に解析接続を施した 维格纳（WigneríD）関数も実装した。

　※3：维基百科の記事にあるとおり、偏微分演算子J[k]（k=1,2,3）等を 谎言代数の生成子と考え、更に量子力学で多用されるケット記号|〉を用いて、しばしばこの偏微分方程式は
  • ケット記号を用いて略記した偏微分方程式
の形に略記される。

d[j，m，n]（θ）

　θを実変数とする、维格纳関数のグラフ。
　①d[m，n，2]（θ）(m、 n=－2，－1，…，1，2のうち、重複を除いた関数は12種類。）
　②d[m，n，3]（θ）(m、 n=－3，－2，…，2，3のうち、重複を除いた関数は22種類。）
　③d[m，n，3/2]（θ）(m、 n=－3/2，－1/2，…，1/2，3/2のうち、重複を除いた関数は9種類。）
　④d[m，n，5/2]（θ）(m、 n=－5/2，－3/2，…，3/2，5/2のうち、重複を除いた関数は18種類。）
  • Wigner的d関グラフ（実変θ）
  • Wigner的d関グラフ（実変θ）
  • Wigner的d関グラフ（実変θ）
  • Wigner的d関グラフ（実変θ）

　m、 n个を整2、维格纳d[m，n，40]（π/4）のグラフ。
  • 维格纳（Wigner）
  • 维格纳（Wigner）

　m、 n个を整2、维格纳d[m，n，40]（π/2）のグラフ。
  • 维格纳（Wigner）
  • 维格纳（Wigner）

　m、 n个を整2変数、θを実変数とする、维格纳d[m，n，20]（θ）のグラフ。①描画範囲が0≦θ≦πの場合。②描画範囲が－π/2≦θ≦π/2の場合。
  • 维格纳（Wigner）実変数θ)
  • 维格纳（Wigner）実変数θ)

　0≤j≤40，m，nを整3维格纳関数のグラフ。①d[m，n，j]（π/3）。②d[m，n，j]（π/2）。
  • 维格纳（Wigner）（j，m，n）
  • 维格纳（Wigner）（j，m，n）

D[j，m，n]（ψ，θ，φ）

　ψ、 θを変数とする、维格纳·D関绝对值（D[m，n，3]（ψ，θ，0）），Abs（Re（D[m，n，3]（ψ，θ，0）），绝对值（Im（D[m，n，3]（ψ，θ，0））のグラフ。（ただし、ψを極座標の方位角、θを極座標の天頂角として描画する：以下同様。）
  • Wigner的D関グラフ（変ψ，θ）
  • Wigner的D関グラフ（変ψ，θ）
  • Wigner的D関グラフ（変ψ，θ）

　ψ、 θを変数とする、维格纳·D関绝对值（D[m，n，5/2]（ψ，θ，0）），Abs（Re（D[m，n，5/2]（ψ，θ，0）），绝对值（Im（D[m，n，5/2]（ψ，θ，0））のグラフ。
  • Wigner的D関グラフ（変ψ，θ）
  • Wigner的D関グラフ（変ψ，θ）
  • Wigner的D関グラフ（変ψ，θ）

アニメーション（3.66MB、3.62MB、3.61MB）
　ψ、 θを変数とする、维格纳·D関绝对值（D[4,3,7]（ψ，θ，φ）），Abs（Re（D[4,3,7]（ψ，θ，φ）），绝对值（Im（D[4,3,7]（ψ，θ，φ））のグラフについて、φを動かしたときの動画。
  • 维格纳（WigneríD関グラ৅）（ψ，θ：動画）
  • 维格纳（WigneríD関グラ৅）（ψ，θ：動画）
  • 维格纳（WigneríD関グラ৅）（ψ，θ：動画）

アニメーション（4.18MB、4.35MB、4.28MB）
　ψ、 θを変数とする、维格纳·D関绝对值（D[9/2，－3/2，17/2]（ψ，θ，φ）），Abs（Re（D[9/2，－3/2，17/2]（ψ，θ，φ）），绝对值（Im（D[9/2，－3/2，17/2]（ψ，θ，φ））のグラフについて、φを動かしたときの動画。
  • 维格纳（WigneríD関グラ৅）（ψ，θ：動画）
  • 维格纳（WigneríD関グラ৅）（ψ，θ：動画）
  • 维格纳（WigneríD関グラ৅）（ψ，θ：動画）

　ψ, θ, φを変数とする、维格纳·D関绝对值（D[4,3,7]（ψ，θ，φ）），Abs（Re（D[4,3,7]（ψ，θ，φ）），绝对值（Im（D[4,3,7]（ψ，θ，φ））のグラフを、直交直線座標{ψ, θ, φ}で描画する。
  • 维格纳（WigneríD関グラ৅）（ψ，θ，φ）
  • 维格纳（WigneríD関グラ৅）（ψ，θ，φ）
  • 维格纳（WigneríD関グラ৅）（ψ，θ，φ）

　ψ, θ, φを変数とする、维格纳·D関绝对值（D[9/2，－3/2，17/2]（ψ，θ，φ）），Abs（Re（D[9/2，－3/2，17/2]（ψ，θ，φ）），绝对值（Im（D[9/2，－3/2，17/2]（ψ，θ，φ））のグラフを、直交直線座標{ψ, θ, φ}で描画する。
  • 维格纳（WigneríD関グラ৅）（ψ，θ，φ）
  • 维格纳（WigneríD関グラ৅）（ψ，θ，φ）
  • 维格纳（WigneríD関グラ৅）（ψ，θ，φ）

前述の有限和
  • 维格纳（WigneríD関and）
が、球面調和関数Y[j，n]（θ，φ）を 欧拉(α, β, γ)で回転変換したものと一致することを確認する。
　R（Y[7,7]（θ，φ）；π/6, π/5, －π/4)の場合。グラフとアニメーション（3.38MB）。
  • 维格纳
  • 维格纳（WigneríD関and）

　R（Y[3,1]（θ，φ）；-π/10, π/8, π/7)の場合。グラフとアニメーション（3.58MB）。
  • 维格纳
  • 维格纳（WigneríD関and）

　R（Y[10,4]（θ，φ）；-2π/3, 2π/5, －3π/2)の場合。グラフとアニメーション（364 MB）。
  • 维格纳
  • 维格纳（WigneríD関and）

d[j，m，n]（θ）（m，n∈R）

　前述のとおり、维格纳m、 n个が実数のときにも定義できるが、物理的な意味は持たない。以下そのような事例を掲載する。
　m、 n个を実2、维格纳Re（d[m，n，40]（π/4））のグラフ。
  • 维格纳（Wigner）
  • 维格纳（Wigner）

　m、 n个を実2、维格纳Re（d[m，n，40]（π/2））のグラフ。
  • 维格纳（Wigner）
  • 维格纳（Wigner）

　m、 n个を実2、维格纳Re（d[m，n，3－5i]（－1.2＋0.3i））のグラフ。
  • 维格纳（Wigner）
  • 维格纳（Wigner）

　m、 n个を実2、维格纳Re（d[m，n，10－7i]（0.7＋1.3i））のグラフ。
  • 维格纳（Wigner）
  • 维格纳（Wigner）

特殊関数 菜单