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赫米特

赫米特

日：赫米特，エルミート関数
英：Hermite函数，仏：埃尔米特教堂，独：赫米特斯游记

　二階の線形常微分方程式
  • 赫米特投资风格
は 埃尔米特の微分方程式と呼ばれ、z=∞を2級の不確定特異点とし、その他の特異点を持たない。その解の基本系w=a∙H[ν]（z）＋b∙H[ν】（z）（a，b∈C）を成す二つの関数H[ν]（z），h（ν）（z）を、第1種およد2種隐士関数という。具体的には、合流型超幾何関数で表わされた、
  • 埃尔米特関数の合流型超幾何関数表示式
を採用する※1。両者は常にz（z）の超越整関数で、ν∈N≥0であるH[ν]（z）を除いて必ず複素零点を持つ。ただし、h（ν）（z）はνが負の整数ならば関数自体が存在しない。
　埃尔米特の微分方程式は、二つの線形独立な解としてH[ν]（z）とexp（z^2）*H[-Γ-1]（iz）が選べる。これに従えば、第2爱米特
  • 第2種赫米特関数の別表示式
是的
　第1種赫米特関数は、複素線積分の表示式
  • 第1種赫米特関数の積分表示式
  • 第1種赫米特関数の積分表示式の積分経路

によっても定義できる。ここに、被積分関数は吨平面上の直線区間[0, ∞)に分枝切断線を持ち、積分経路C类の形と進路は上図のとおりとする。
　赫米特νに関する整数差の線形漸化式 (隣接関係式)、および導関数の公式
  • 埃尔米特関数が満たす線形漸化式･導関数の公式
を満たす。ここにa（ν），b（ν）は、ν忘我1を周期とする任意の周期関数である。また、第1種と第2種は関係式
  • 赫米特：第一章第二章
で結ばれる。
　ν=n∈n≥0である第1種赫米特関数は、多項式
  • 埃尔米特多項式の閉形式
に還元される。しかし、これは応用面での出現頻度が高いため重要とされ、埃尔米特多項式と呼ばれる。埃尔米特多項式の上記以外の表現方法としては、母関数表示式および ｢罗德里格斯
埃尔米特多項式の母関数表示･罗德里格斯公司
が有名である。尤も、H[0]（z）=1およびH[1]（z）=2*zを初期関数として漸化式を用いても容易に得られる※2。赫米特风格H[n]（z）は、n个が偶数 (奇数) ならば偶関数 (奇関数) となる。直交多項式としてのH[n]（z）の性質は、次節でまとめて触れる。
　歴史的に、赫米特·拉普拉斯（1810）年) の研究に見出されるが、明確に 埃尔米特関数自体を取り上げて、その詳細な結果を導いた最初の研究は P.L.切比雪夫（1859年) による。少し遅れて独立に C.埃尔米特（1864年年) も同様の研究を行い、後者の方が広く知られたため、以後その名を冠して呼ばれるようになった。
　赫米特（Hermite）多項式) の応用事例として最も有名なものは、恐らく量子力学的調和振動子の波動関数であるが、この他にも確率論および統計学、(正規分布に従う複素乱数の) ランダム行列理論、数値積分計算法 （高斯求積法)、可積分系 (戸田方程式の解※3、潘列韦関関) 等が知られている。それらの多くが、罗德里格斯岛の公式や逐次微分を介した誤差関数との関係式、線形漸化式、直交性に由来する。埃尔米特関数は、後述の放物柱関数我想说的是，我想说的是，我想说的是，我想说的是，我想说的是，我想说的是，我想说的是，我想说的是，我想说的是，我想说的是，我想说的是，我想说的是，我想说的是，我想说的是，我想说的是，我想说的是，我想说的是，我想说的是，我想说的是，我想说的是，我想说的是，我想说的是，我想说的是，我想说的是，我想说的是

【註記】
　※1：第二章赫米特関数の標準的な定義および関数記号は存在しない。上記h（ν）（z）は当サイトが独自に定めたものであるが、νを負三、第94页にもある。ただし、同著が言う 赫米特、
  • Hermite He[ν]（z），He[ν】（z）
である。(超幾何関数系の第2種関数の定義方法に対する当サイトでの方針は、別頁问题を参照。)

　※2：重要性と簡潔な形に鑑みて、埃尔米特多項式も具体的な表示をここに羅列する。
  • 埃尔米特多項式の具体的な表示式

　※3:NIST18.38（ii）によれば、
  • 戸田方程式の隐士
  • 戸田方程式の赫米特风格（1）
  • 戸田方程式の赫米特风格（2）

の例がある。(この式自体は、n个を複素数に変えても成立する。)

H[ν]（z）

　x个を実変数とする、第1種赫米特関数のグラフ。①整数次 （赫米特风格）H[n]（x），②実数次H[ν]（x）。
  • 第1埃尔米特
  • 第1埃尔米特

　ν、 x个を実2変とする、1種隐士関H[ν]（x）のグラフ。
  • 第赫米特（Hermite）

　x个を実変数とする、第1種赫米特関数のグラフ。①整数次 （隐士）他[n]（x），②実数次他[ν]（x）。H[n]（x）等よりも関数値の増加が緩やかである。
  • 第1埃尔米特
  • 第1埃尔米特

　ν、 x个を実2変とする、1爱米特他[ν]（x）のグラフ。
  • 第赫米特（Hermite）

　z（z）を複素変数とする、第1爱米特高[2.7]（z）のグラフ。
  • 第埃尔米特
  • 第埃尔米特
  • 第埃尔米特
  • 第埃尔米特
  • 第埃尔米特

　z（z）を複素変数とする、第1種隐士関高[-2.7]（z）のグラフ。
  • 第埃尔米特
  • 第埃尔米特
  • 第埃尔米特
  • 第埃尔米特
  • 第埃尔米特

　z（z）を複素変数とする、第1爱米特H[3-2i]（z）のグラフ。
  • 第埃尔米特
  • 第埃尔米特
  • 第埃尔米特
  • 第埃尔米特
  • 第埃尔米特

　z（z）を複素変数とする、第1爱米特高[2.5i]（z）のグラフ。
  • 第1種隐士
  • 第埃尔米特
  • 第埃尔米特
  • 第埃尔米特
  • 第埃尔米特

アニメーション（1200万）
　z（z）を複素変数とする、第1爱米特H[ν]（z）のグラフ。
  • 第1爱米特(複素変数:動画)

H[ν]（z）（ν）

　νを実変数とする、第1爱米特H[ν]（x）のグラフ。
  • 第1埃尔米特

　νを複素変数とする、第1爱米特H[ν]（1）のグラフ。
  • 第埃尔米特
  • 第埃尔米特
  • 第埃尔米特
  • 第埃尔米特
  • 第埃尔米特

　νを複素変数とする、第1爱米特H[ν]（－2－2i）のグラフ。
  • 第1種隐士
  • 第埃尔米特
  • 第埃尔米特
  • 第埃尔米特
  • 第埃尔米特

h（ν）（z）

　x个を実変数とする、第2種赫米特関数のグラフ。①【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】小时[n]（x），②実数次h[ν]（x）。
  • 第2埃尔米特
  • 第2埃尔米特

　ν、 x个を実2変とする、2爱米特h[ν]（x）のグラフ。ν=－1, －2, －3, －4,…では関数が定義されない。
　2番目は、ν≦－1の範囲を拡大した場合。
  • 第赫米特（Hermite）
  • 第2種隐士（実2変）

　x个を実変数とする、第2種赫米特関数のグラフ。①【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】他[n]（x），②実数次他[ν]（x）。小时[n]（x）より、関等
  • 第2埃尔米特
  • 第2埃尔米特

　ν、 x个を実2変とする、2爱米特他[ν]（x）のグラフ。ν=－1, －2, －3, －4,…では関数が定義されない。
　2番目は、ν≦－1の範囲を拡大した場合。
  • 第赫米特（Hermite）
  • 第赫米特（Hermite）

　z（z）を複素変数とする、第2爱米特高度[2.7]（z）のグラフ。
  • 第2埃尔米特
  • 第2埃尔米特
  • 第2埃尔米特
  • 第2埃尔米特
  • 第2埃尔米特

　z（z）を複素変数とする、第2爱米特h[-2.7]（z）のグラフ。
  • 第2埃尔米特
  • 第2埃尔米特
  • 第2埃尔米特
  • 第2埃尔米特
  • 第2埃尔米特

　z（z）を複素変数とする、第2爱米特小时[3-2i]（z）のグラフ。
  • 第2埃尔米特
  • 第2埃尔米特
  • 第2埃尔米特
  • 第2埃尔米特
  • 第2埃尔米特

　z（z）を複素変数とする、第2爱米特高[2.5i]（z）のグラフ。
  • 第2埃尔米特
  • 第2種隐士
  • 第2埃尔米特
  • 第2埃尔米特
  • 第2埃尔米特

アニメーション（12.4MB）
　z（z）を複素変数とする、第2種隐士関h（ν）（z）のグラフ。
  • 第2爱米特(複素変数:動画)

h[ν]（z）（ν）

　νを実変数とする、第2爱米特h[ν]（x）のグラフ。
  • 第2埃尔米特

　νを複素変数とする、第2爱米特h（ν）（1）のグラフ。
  • 第2埃尔米特
  • 第2埃尔米特
  • 第2埃尔米特
  • 第2埃尔米特
  • 第2埃尔米特

　νを複素変数とする、第2爱米特h[ν]（－2－2i）のグラフ。
  • 第2埃尔米特
  • 第2種隐士
  • 第2埃尔米特
  • 第2埃尔米特
  • 第2埃尔米特

H[ν]（z）とH[ν][z）関係

　余弦･正弦関数に類似した、H[ν]（x）とh[ν]（x）の関係。このとき、両者の包絡線は±平方（H[ν]（x）^2＋H[ν][x）^2）となる。
  • 第赫米特（Hermite）
  • 第赫米特（Hermite）
  • 第赫米特（Hermite）

赫米特（Hermite）

【関数の直交性とは？】
　{f[n]（x）}（n=0、1、2…）を実変数x个実関w（x）を(n个に依存せず区間（a，b）上で負にならない) ｢重み関数 （重量函数）｣とするとき、関数f[n]（x）とf[m]（x）の内積を
  • 関数の内積
で定義する※1。もし、常に
関数の直交性
となるならば、{f[n]（x）}は ｢直交関数系｣ を成すと言い、f[n]（x）は ｢直交性を持つ｣ または ｢直交関数である｣ と言う。ここに、N（N）个は直交関数f[n]（x）の ｢ノルム｣ と呼ばれる。
　新たに、定数倍されたφ[n]（x）=f[n]（x）/Sqrt（n（n））を導入すれば、
関数の正規直交性
となる。この調整を直交関数の ｢正規化｣ と言い、{φ[n]（x）}は ｢正規直交関数系｣ を成すと言う。
区間（a，b）で積分可能な関数F（x）は、級数
直交関数項の級数展開
に展開される。特に、
  • 直交三角関数系
となった場合が 傅立叶級数であるが、むしろ歴史的には、傅里叶級を雛と简体中文(ベクトルの成分を関数、列全体に渡る和を積分に) 拡張され、ここでも直交関数系の理論が展開された※2。
　さて、(重み関数を除いた)f[n]（x）が、項
  • 多項式：p[n]（x）
になる直交関数系は、傅里叶級数の場合に並んで重要とされ、このときp[n]（x）は ｢直交多項式｣ と呼ばれる。直交多項式の零点は、すべて単根であり直交区間（a，b）内に存在する。また、p[n]（x）とp[n+1]（x）の零点は必ず交互に並び、その位置は重複しない。
　勒让德多項式は重み関数を伴わない (w（x）=1となる) 直交多項式の例であるが、この頁以降で触れる Hermite风格，拉盖尔，切比雪夫风格，Gegenbauer风格,および雅各比风格は、いずれも重み関数を伴う直交多項式である。これらは、超幾何関数や合流型超幾何関数の特別な場合として19世紀末までに出揃ったため ｢古典的直交多項式｣ と総称され、他にも多数ある直交多項式とは区別される。
古典的直交多項式p[n]（x）を特別視する理由は、共通する二三の重要な性質を持つ事にもある。例えば、
  • 古典的直交多項式が満たす線形漸化式
の形に一括された線形漸化式を満たす。また、一般的な表記の 罗德里格斯公司
  • 古典的直交多項式が満たす罗德里格斯公司
で表わせる。さらに、y=p[n]（x）は二階の線形常微分方程式
  • 古典的直交多項式が満たす線形常微分方程式
の解となる※三。一、失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言

【爱米特】多項式の直交性と正規化】
　赫米特风格H[n]（x）は、经验（-x^2）を重み関数とし、直交区間を(－∞, ∞)とする直交多項式であり、具体的に
  • 埃尔米特多項式の直交性
なる直交性を持っている。
　そこで、当サイトでは独自に関数
  • （印度）赫米特风格
を導入する※4。よって、{Hn[n]（x）}は正規直交関数系を成すとともに、重み関数が現れない直交性
  • （印度）赫米特·海斯
を満たす。関数Hn[ν]（z）は後述の放物柱関数と、明らかに
  • （印度）埃尔米特関数と放物柱関数の関係
我的爱人
（印度）埃尔米特関数が満たす微分方程式
の (第1種) 解w=Hn[ν]（z）となる。

【註記】
　※1：因みに、{f[n]（x）}が複素数値関数列のときの内積は、一方の関数の複素共役を取った
  • 複素数値関数の直交
で定義される。(この具体的事例が、既に球面調和関数の頁で現れた。)
　なお、当サイトでは積分の種類を 黎曼(通常の積分) として説明したが、本来は 勒贝格積分まで含める必要がある。

　※2：詳(増補版)｣ (1987年 共立出版) を参照。

　※3：公式中のκ[n，n]やX（X）等の具体的な表示は、NIST（国家标准与技术研究所）表18.3.1および表18.5.1にある (ただし、記号は当サイトと異なる)。

　※4：関数記号は正規化 （规范化）に基づく。また、応用上は意味を成さないが、当サイトではHn[ν]（z）のグラフの多くを、νを非整数、z（z）を複素変数として描画する。

Hn[ν]（z）

　x个を実変とする、埃尔米特関数のグラフ。①【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】【参考译文】Hn[n]（x），②実数次Hn[ν]（x）。
  • （印度）赫米特
  • （印度）隐士

　ν、 x个を実2変赫米特Hn[ν]（x）のグラフ。
  • （印度）赫米特
  • （印度）赫米特

　z（z）を複素変数とする、正規化 赫米特Hn[2.7]（z）のグラフ。
  • （印度）赫米特
  • （印度）赫米特
  • （印度）赫米特
  • （印度）赫米特
  • （印度）赫米特

　z（z）を複素変数とする、正規化 赫米特Hn[-2.7]（z）のグラフ。
  • （印度）赫米特
  • （印度）赫米特
  • （印度）赫米特
  • （印度）赫米特
  • （印度）赫米特

　z（z）を複素変数とする、正規化 赫米特Hn[3-2i]（z）のグラフ。
  • （印度）赫米特
  • （印度）赫米特
  • （印度）赫米特
  • （印度）赫米特
  • （印度）隐士

　z（z）を複素変数とする、正規化 赫米特Hn[2.5i]（z）のグラフ。
  • （印度）赫米特
  • （印度）赫米特
  • （印度）赫米特
  • （印度）赫米特
  • （印度）赫米特

Hn[ν]（z）（ν）

　νを実変とする、赫米特Hn[ν]（x）のグラフ。
  • （印度）赫米特

　νを複素変数とする、正規化 赫米特Hn[ν]（1）のグラフ。
  • （印度）赫米特
  • （印度）赫米特
  • （印度）赫米特
  • （印度）赫米特
  • （印度）赫米特

　νを複素変数とする、正規化 赫米特Hn[ν]（－2－2i）のグラフ。
  • （印度）隐士
  • （印度）赫米特
  • （印度）赫米特
  • （印度）赫米特
  • （印度）赫米特

放物柱関数

日：放物柱関数
英：抛物线圆柱函数，仏：函数圆柱抛物线，独：抛物线解列

　やや一般的な形の二階線形常微分方程式
  • 一般的な放物柱微分方程式
は、より簡単な形の微分方程式
  • 放物柱微分方程式
のいずれかに帰着できる。ただし、①は②に変換a⇒－ν－1/2を施すと直ちに得られ、③は②に変換z⇒平方（i）*zおよびa⇒－i*bを施すと得られる。これらの微分方程式は、後述のとおり 亥姆霍兹我的朋友们拉普拉斯艺术风格放物柱座標で変数分離すると現れるため、①～③の解はいずれも ｢放物柱関数｣ と呼ばれている。放物柱関数はすべてz（z）の超越整関数である。
　①に対する放物柱関数は、赫米特
放物柱関数D[ν]（z）爱米特
と定義され、H.F.Weber（1869年年) の研究に因み、｢韦伯関数｣ または ｢韦伯-赫米特関数｣ とも呼ばれる。ただし、D[Γ]（z）の記号は 1902年，E.T.Whittaker①に対して解の基本系を成し、いかなるνであっても互いに線形独立となる二つの関数として、D[ν]（z），D[-ν-1]（i*z）（笑声）D[ν]（－z），D[-ν-1]（-i*z）の組が選べる※1。
一方、②に対して解の基本系を成し、いかなる一であっても互いに線形独立となる二つの関数
  • 放物柱関数U（a，z），V（a，z）
が定義されており、第1種および第2種の放物柱関数と呼ばれる。両者は合流型超幾何関数を用いて、
  • 放物柱関数の合流型超幾何関数表示式
とも表わせる。したがってU（a，z），V（a，z）の性質は、多くが合流型超幾何関数から導かれる。そのうち、積分表示式と線形漸化式は特に重要である。前者は
  • 放物柱関数U（a，z）的研究
を始め、多数の表示式が知られており、特殊関数の漸近展開等に応用される。また、後者は具体的に
  • 放物柱関数の漸化式･導関数
となり、導関数も得られる。これらを援用すれば、放物柱関数は一が半奇数のときに2次変数の指数関数, 誤差関数, 埃尔米特多項式, およびそれらの組合せに還元できる事が分かる。同様に
  • 放物柱関数：第2贝塞尔関数に還元される場合
となるので、放物柱関数は一が整数のときに第2贝塞尔の組合せに還元できる事も分かる。
ところで、③に対して解の基本系を成し、いかなるb条你好，你好，你好，你好
  • 放物柱関数W（b，z）
も定義されている (ただしk（b）は解析接続が必要)。この放物柱関数はz（z）が実変数ならば常に実数値をとり、しかも漸近的に
  • W1（b，z），W2（b，z）
のごとく振る舞う点で著しい。当サイトでは、さらに (常に偶関数･奇関数となり) 余弦･正弦関数に相当する、互いに線形独立な二つの放物柱関数 (第1種, 第2種)
  • Wc（b，z），Ws（b，z）
並びに、純虚指数関数に相当する、互いに線形独立な二つの放物柱関数 (第3種, 第4種)
  • 我们[+]（b，z），我们[-]（b、z）
を独自に導入する。次のとおり、これらの関数は 亥姆霍兹方程式等の解を記述する際に大変都合が良い。
放物柱座標{x，y，z}={c▪（ξ^2－η^2）/2，c*ξ*η，z}を用いて、亥姆霍兹+^2ψ＋k^2*ψ=0の解をψ=∑[m]∑[ν]{Ξ（ξ）η（η）Ζ（z）}の形に変数分離すれば、各座標方向は
  • 放物柱座標における亥姆霍兹工程方法
  • 放物柱座標における亥姆霍兹方法（1）
  • 放物柱座標における亥姆霍兹方法（2）
　図：放物柱座標における 亥姆霍兹工程方法→Mathematica代码 Mathematica代码

となり※2、放物柱関数が現れる。拉普拉斯算子∇^2ψ=0の場合は、単に 亥姆霍兹工程方法k=0とすれば得られるが、解を求める段階では、σ=平方（2c）*（-m^2）^（1/4）=平方（2 c*i*m）なる変形および変換i*m⇒mを経て、
  • 放物柱座標における拉普拉斯艺术风格
  • 放物柱座標における拉普拉斯工程方法（1）
  • 放物柱座標における拉普拉斯工程方法（2）
図：拉普拉斯工程方法→Mathematica代码 Mathematica代码

となる※三。これらの方程式の解は、放物線または放物柱を境界とする領域内における、多数の物理問題に応用される。例えば、物体の振動、電磁波の散乱、極低温状態にある素粒子の分布等がある。
　また、埃尔米特関数の応用事例として知られる直交関数系の固有値問題、量子力学における調和振動子等を、若干異なったアプローチで論じる場合にも放物柱関数は使用される。
超幾何関数および惠塔克の助変数、並びに 勒让德関数等の次数が大きい場合の漸近展開式では、それらの関数の大域的振る舞いを決める主要因子として、放物柱関数が現れる※4。

【註記】
　※1：放物柱関数D[ν]（z）のグラフは掲載しない。(放物柱関数U（a，z）または正規化 赫米特Hn[ν]（z）のグラフとほとんど同じ、または非常に似ているので。)

　※2：ξ, η方(各々の微分方程式を常に満たすという要件のもとで) 上記と異なる放物柱関数に変更することが可能である。例えば、古典的な物理問題等ではη方向も実数値を取るよう、
  • 放物柱座標の亥姆霍兹工程方法
  • 放物柱座標における亥姆霍兹方法（3）
  • 放物柱座標における亥姆霍兹方法（4）
　図：放物柱座標 (ξ, η方向) における 亥姆霍兹工程方法(固有関数･実数値) →Mathematica代码 Mathematica代码

に変更した方が、恐らく便利である。(このような任意性は、他の座標系の場合にも当てはまる。）

　※3:拉普拉斯方程式の場合も、上記の変換等を施さない、表現の異なる解が有り得る。

　※4:NIST13.20（iii），13.20（iv），14.15（v），15.12.7を参照。

U（a，z）

　x个を実変数とする、第1種放物柱関数U（a，x）のグラフ。
  • 第1種放物柱関数のグラフ(実変数)

　a、 x个を実2変とする、1種放物柱関数U（a，x）のグラフ。
  • 第1種放物柱関数のグラフ(実2変数)

　z（z）を複素変数とする、第1種放物柱関数U（2.7，z）のグラフ。
  • 第1種放物柱関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種放物柱関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種(複素変数)
  • 第1種放物柱関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種放物柱関数のグラフ(複素変数)

　z（z）を複素変数とする、第1種放物柱関数U（-2.7，z）のグラフ。
  • 第1種放物柱関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種放物柱関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種放物柱関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種放物柱関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種放物柱関数のグラフ(複素変数)

　z（z）を複素変数とする、第1種放物柱関数U（3－2i，z）のグラフ。
  • 第1種放物柱関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種放物柱関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種放物柱関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種放物柱関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種(複素変数)

　z（z）を複素変数とする、第1種放物柱関数U（2.2i，z）のグラフ。
  • 第1種放物柱関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種放物柱関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種(複素変数)
  • 第1種放物柱関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種放物柱関数のグラフ(複素変数)

U（a，z）（a）

　一を実変数とする、第1種放物柱関数U（a，x）のグラフ。
  • 第1種放物柱関数のグラフ(実変数)

　一を複素変数とする、第1種放物柱関数U（a，1）のグラフ。
  • 第1種放物柱関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種放物柱関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種放物柱関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種放物柱関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種放物柱関数のグラフ(複素変数)

　一を複素変数とする、第1種放物柱関数U（a，－2－2i）のグラフ。
  • 第1種放物柱関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種(複素変数)
  • 第1種放物柱関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種放物柱関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種放物柱関数のグラフ(複素変数)

V（a，z）

　x个を実変数とする、第2種放物柱関数V（a，x）のグラフ。
  • 第2種放物柱関数のグラフ(実変数)

　a、 x个を実2変とする、2種放物柱関数V（a，x）のグラフ。
  • 第2種放物柱関数のグラフ(実2変数)

　z（z）を複素変数とする、第2種放物柱関数V（2.7，z）のグラフ。
  • 第2種放物柱関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種放物柱関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種放物柱関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種放物柱関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種放物柱関数のグラフ(複素変数)

　z（z）を複素変数とする、第2種放物柱関数V（-2.7，z）のグラフ。
  • 第2種放物柱関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種放物柱関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種放物柱関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種放物柱関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種放物柱関数のグラフ(複素変数)

　z（z）を複素変数とする、第2種放物柱関数V（3－2i，z）のグラフ。
  • 第2種放物柱関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種放物柱関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種放物柱関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種放物柱関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種放物柱関数のグラフ(複素変数)

　z（z）を複素変数とする、第2種放物柱関数V（2.2i，z）のグラフ。
  • 第2種放物柱関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種放物柱関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種(複素変数)
  • 第2種放物柱関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種放物柱関数のグラフ(複素変数)

V（a，z）

　一を実変数とする、第2種放物柱関数V（a，x）のグラフ。
  • 第2種放物柱関数のグラフ(実変数)

　一を複素変数とする、第2種放物柱関数V（a，1）のグラフ。
  • 第2種放物柱関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種放物柱関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種放物柱関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種放物柱関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種放物柱関数のグラフ(複素変数)

　一を複素変数とする、第2種放物柱関数V（a，－2－2i）のグラフ。
  • 第2種(複素変数)
  • 第2種放物柱関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種放物柱関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種放物柱関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種放物柱関数のグラフ(複素変数)

W（b，z）

　x个を実変数とする、放物柱関数W（b，x）のグラフ。
  • 放物柱関数（W）、（W）

　b、 x个を実2変数とする、放物柱関数W（b，x）のグラフ。
  • 放物柱関数（W）、（W）

　x个を実変数とする、第1種放物柱関数W[1]（b，x）のグラフ。
  • 放物柱関数（W1）

　b、 x个を実2変とする、1種放物柱関数W[1]（b，x）のグラフ。
  • 放物柱関数（W1）、（2）

　x个を実変数とする、第2種放物柱関数W[2]（b，x）のグラフ。
  • 放物柱関数（W2）物语グラフ（実変）

　b、 x个を実2変とする、2種放物柱関数W[2]（b，x）のグラフ。
  • 放物柱関数（W2）和（2）

　W[1]（b，x）とW[2]（b，x）は、x→＋∞の漸近形が揃うような定数倍になっている。(グラフはb=0.2の場合。)
  • 放物柱関数のグラフ（W1）

　z（z）を複素変数とする、放物柱関数W（2.7，z）のグラフ。
  • 放物柱関数（W）、（W）
  • 放物柱関数（W）、（W）
  • 放物柱関数（W）、（W）
  • 放物柱関数（W）、（W）
  • 放物柱関数（W）、（W）

　z（z）を複変W（-2.7，z）のグラフ。
  • 放物柱関数（W）、（W）
  • 放物柱関数（W）、（W）
  • 放物柱関数（W）、（W）
  • 放物柱関数（W）、（W）
  • 放物柱関数（W）、（W）

　z（z）を複素変数とする、放物柱関数W（3－2i，z）のグラフ。
  • 放物柱関数（W）、（W）
  • 放物柱関数（W）、（W）
  • 放物柱関数（W）、（W）
  • 放物柱関数（W）、（W）
  • 放物柱関数（W）、（W）

　z（z）を複素変数とする、放物柱関数W（2.2i，z）のグラフ。
  • 放物柱関数（W）、（W）
  • 放物柱関数（W）“”“”“”“”“”“”“”“”“”“”“”
  • 放物柱関数（W）、（W）
  • 放物柱関数（W）、（W）
  • 放物柱関数（W）、（W）

アニメーション（14.8MB）
　z（z）を複素変数とする、放物柱関数W（b，z）のグラフ。
  • 放物柱関数（W型）(複素変数:動画)

W（b，z）（b）

　b条を実変数とする、放物柱関数W（b，x）のグラフ。
  • 放物柱関数（W）、（W）

　b条を実変数とする、第1種放物柱関数W[1]（b，x）のグラフ。
  • 放物柱関数（W1）

　b条を実変数とする、第2種放物柱関数W[2]（b，x）のグラフ。
  • 放物柱関数（W2）

　b条を複素変数とする、放物柱関数W（b，3）のグラフ。この場合は複素解析的な関数ではない。また、正の実軸上に分枝切断線があるように見えるが、値が急激に変化しているだけで実は分枝切断線ではない。
  • 放物柱関数（W）“”“”“”“”“”“”“”“”“”“”“”
  • 放物柱関数（W）、（W）
  • 放物柱関数（W）、（W）
  • 放物柱関数（W）、（W）
  • 放物柱関数（W）、（W）

　b条を複素変数とする、放物柱関数W（b，－1－3i）のグラフ。この場合も複素解析的な関数ではない。
  • 放物柱関数（W）、（W）
  • 放物柱関数（W）、（W）
  • 放物柱関数（W）、（W）
  • 放物柱関数（W）、（W）
  • 放物柱関数（W）、（W）

Wc（b，z）

　x个を実変数とする、第1種放物柱関数Wc（b，x）のグラフ。
  • 第1種放物柱関数のグラフ(実変数)

　b、 xを実2変とする、1種放物柱関数Wc（b，x）のグラフ。
  • 第1種放物柱関数のグラフ(実2変数)

　z（z）を複素変数とする、第1種放物柱関数Wc（2.7，z）のグラフ。
  • 第1種放物柱関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種放物柱関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種放物柱関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種放物柱関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種放物柱関数のグラフ(複素変数)

　z（z）を複素変数とする、第1種放物柱関数Wc（-2.7，z）のグラフ。
  • 第1種放物柱関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種放物柱関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種放物柱関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種放物柱関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種放物柱関数のグラフ(複素変数)

　z（z）を複素変数とする、第1種放物柱関数Wc（3－2i，z）のグラフ。
  • 第1種(複素変数)
  • 第1種放物柱関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種放物柱関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種放物柱関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種放物柱関数のグラフ(複素変数)

　z（z）を複素変数とする、第1種放物柱関数Wc（2.2i，z）のグラフは、W（2.2i，z）のそれと似ているので省略する。

Wc（b，z）（b）

　b条を実変数とする、第1種放物柱関数Wc（b，x）のグラフ。
  • 第1種放物柱関数のグラフ(実変数)

　b条を複素変数とする、第1種放物柱関数Wc（b，3）のグラフ。この場合は複素解析的な関数ではない。虚軸上の区間[（4n＋1/2）i，（4n＋7/2）i]（n∈Z）に分枝切断線がある。
  • 第1種放物柱関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種放物柱関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種放物柱関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種放物柱関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種放物柱関数のグラフ(複素変数)

　b条を複素変数とする、第1種放物柱関数Wc（b，－1－3i）のグラフ。この場合も複素解析的な関数ではない。虚軸上の区間[（4n＋1/2）i，（4n＋7/2）i]（n∈Z）に分枝切断線がある。
  • 第1種放物柱関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種放物柱関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種(複素変数)
  • 第1種放物柱関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種放物柱関数のグラフ(複素変数)

アニメーション（9.28MB）
　b条を複素変数とする、第1種放物柱関数Wc（b，z）のグラフ。
  • 第1種放物柱関数のグラフ(複素変数:動画)

Ws（b，z）

　x个を実変数とする、第2種放物柱関数重量（b，x）のグラフ。
  • 第2種放物柱関数のグラフ(実変数)

　b、 x个を実2変とする、2種放物柱関数重量（b，x）のグラフ。
  • 第2種放物柱関数のグラフ(実2変数)

　z（z）を複素変数とする、第2種放物柱関数Ws（2.7，z）のグラフ。
  • 第2種放物柱関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種放物柱関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種放物柱関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種放物柱関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種(複素変数)

　z（z）を複素変数とする、第2種放物柱関数Ws（-2.7，z）のグラフ。
  • 第2種放物柱関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種放物柱関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種放物柱関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種放物柱関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種放物柱関数のグラフ(複素変数)

　z（z）を複素変数とする、第2種放物柱関数Ws（3－2i，z）のグラフは、Wc（3－2i，z）のそれと概形が似ているので省略する。同様に、第2年Ws（2.2i，z）のグラフも、W（2.2i，z）と似ているので省略する。

Ws（b，z）（b）

　b条を実変数とする、第2種放物柱関数重量（b，x）のグラフ。
  • 第2種(実変数)

　b条を複素変数とする、第2種放物柱関数Ws（b，3）のグラフ。この場合は複素解析的な関数ではない。虚軸上の区間[（4n＋1/2）i，（4n＋7/2）i]（n∈Z）に分枝切断線がある。
  • 第2種放物柱関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種放物柱関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種放物柱関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種放物柱関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種放物柱関数のグラフ(複素変数)

　b条を複素変数とする、第2種放物柱関数Ws（b，－1－3i）のグラフ。この場合も複素解析的な関数ではない。虚軸上の区間[（4n＋1/2）i，（4n＋7/2）i]（n∈Z）是的
  • 第2種放物柱関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種放物柱関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種放物柱関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種放物柱関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種放物柱関数のグラフ(複素変数)

我们[+]（b，z）

　x个を実変数とする第3種放物柱関数我们[+]（b，x）は、一般に実数値を取らないので省略する。

　z（z）を複素変数とする第3種放物柱関数我们[+]（b，z）は、グラフの概形がWc（b，z）およびW（b，z）に似ているので、すべて省略する。(このうち、我们[+]（-2.7，z）は比較的異なるが、我们[-]（-2.7，z）の方を掲載するので省略する。)

我们[+]（b，z）（b）

　b条を実変数とする第3種放物柱関数我们[+]（b，x）は、一般に実数値を取らないので省略する。

　b条を複素変数とする第3種放物柱関数我们[+]（b，z）は、グラフの概形がWc（b，z）およびWs（b，z）に似ているので、すべて省略する。

我们[-]（b，z）

　x个を実変数とする第4種放物柱関数我们[-]（b，x）は、一般に実数値を取らないので省略する。

　z（z）を複素変数とする、第4種放物柱関数我们[-]（-2.7，z）のグラフ。
  • 第4種放物柱関数のグラフ(複素変数)
  • 第4種放物柱関数のグラフ(複素変数)
  • 第4種放物柱関数のグラフ(複素変数)
  • 第4種放物柱関数のグラフ(複素変数)
  • 第4種放物柱関数のグラフ(複素変数)

我们[-]（b，z）（b）

　b条を実変数とする第4種放物柱関数我们[-]（b，x）は、一般に実数値を取らないので省略する。

　b条を複素変数とする、第4種放物柱関数我们[-]（b，3）のグラフ。この場合は複素解析的な関数ではない。虚軸上の区間[（4n＋1/2）i，（4n＋7/2）i]（n∈Z）に分枝切断線がある。
  • 第4種放物柱関数のグラフ(複素変数)
  • 第4種(複素変数)
  • 第4種放物柱関数のグラフ(複素変数)
  • 第4種放物柱関数のグラフ(複素変数)
  • 第4種放物柱関数のグラフ(複素変数)

　b条を複素変数とする、第4種放物柱関数我们[-]（b，－1－3i）のグラフ。この場合も複素解析的な関数ではない。虚軸上の区間[（4n＋1/2）i，（4n＋7/2）i]（n∈Z）に分枝切断線がある。一方、負の実軸上にも分枝切断線があるように見えるが、値が急激に変化しているだけで実は分枝切断線ではない。
  • 第4種放物柱関数のグラフ(複素変数)
  • 第4種放物柱関数のグラフ(複素変数)
  • 第4種放物柱関数のグラフ(複素変数)
  • 第4種放物柱関数のグラフ(複素変数)
  • 第4種放物柱関数のグラフ(複素変数)

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