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勒让德関数に関連する関数

円環関数

日：円環関数，
英：环形函数，仏：功能托罗伊达尔，独：托罗伊代尔funktion

　円環座標{x，y，z}={（c▪sinh（u）▪cos（φ））/（cosh（u）-cos（θ）），（c∙sinhを用いて、拉普拉斯艺术风格∇^2ψ=0の解をψ=平方[余弦（u）-余弦（θ）]∑[m]∑[n]{Γ（u）Θ（θ）Φ（φ）}の形に変数分離すれば※1、標標標標標標標標標標標標標
  • 円環座標における拉普拉斯艺术风格
  • 円環座標における拉普拉斯工程方法（1）
  • 円環座標における拉普拉斯工程方法（2）
　図：円環座標における 拉普拉斯工程方法→Mathematica代码 Mathematica代码

となる。单位の方向に現れる 勒让德陪関数がこの形になる理由は、单位がぃを動くときcosh（u）≥1となるので霍布森となり、さらにθ方向の指数関数の位相が整数倍になるよう、n个の 1/2 ずれをγ（u）に寄せたからである。それゆえPh[n-1/2，m]（cosh u）,Qh[n-1/2，m]（cosh u）は、第1種および第2種円環関数と呼ばれる。円環関数の物理学等への応用事例は、多くが上記の 拉普拉斯方程式の解に由来し、境界条件が円環である他は 勒让德陪関数のそれに類似している。特筆すべき応用事例として、トカマク型の核融合炉内部に封じ込められたプラズマの分布が挙げられる。
　以降では、二階の線形常微分方程式
  • 円環関数が満たす微分方程式
の解の基本系w=a▪Ph[ν-1/2，μ]（cosh z）＋b▪Qh[ν-1-2，μ]（a，b∈C）を成す二つの関数を円環関数と称し、ν, μを複素数にまで拡張する。円環関数の超幾何関数表示式や積分表示式は 勒让德陪関数から導かれるので省略するが、M.Abramowitz&I.Stegun《……｣336手册》頁等に若干数が掲載されている。
円環関数Ph[ν-1/2，μ]（cosh z）,Qh[ν-1/2，μ]（余弦z）は、cosh z（cosh z）からの影響で2πi物语をつが、時（－∞±kπi，∞±kπi）k=1,3,5，…の分枝切断線によって、単連結でない無数の分枝に細分されてしまう。そこで当サイトでは、下図のような解析接続によって分枝が単連結となる円環関数pt[ν，μ]（z）,qt[ν，μ]（z）を採用する。
  • 第1種円環関数の解析接続
  • 第2種円環関数の解析接続
　図：円環関数の解析接続

　この関数は、前述の 拉普拉斯方程式で専ら必要となる実変数z＞0を含む領域では、
  • 解析接続前後の円環関数の関係
となるが、一般に他の領域では一致せず、周期関数にもならない。この解析接続では、主に霍布森に掲載している解析接続公式および 费雷尔斯型との分枝関係式を用いる※2。

[註記]
　※1：[美]【美】【美】【美】【美】【美】【美】【美】【美】【美】【美】【美】【美】【美】【美】【美】【美】【美】【美】【美】【美】【美】【美】【美】【美】【美】【美】【美】【美】【美】R（z[1]，…，z[n]）≠ρ[1]（z[1]）…ρ[n]（z[n]]）を伴った、
  • R-回报
の形にならば分離できる場合を、R（右）- 分離可能 (R（右）-可分离）

　※2:Mathematica、Gauss、超几何、费雷斯、霍布森、勒让德陪関数に、余弦関数または双曲線余弦関数を代入した関数の、様々な解析接続を実装した。これを用いれば、当サイトとは異なる分枝切断線を持つ円環関数 (または後述の円錐関数) も計算できる。

第1種円環関数の記号

　x个を実変数とする、第1種円環関数のグラフ。①整数次pt[n，0]（x）,②実数次pt[ν，0]（x）。
  • 第1種円環関数のグラフ(実変数)
  • 第1種円環関数のグラフ(実変数)

　虚軸上での第1種円環関数pt[ν，0]（ix）のグラフ。
  • 第1種円環関数のグラフ(虚軸上)

　z（z）を複素変数とする、第1種円環関数磅[5/3，0]（z）のグラフ。
  • 第1種円環関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種円環関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種円環関グラフ(複素変数)
  • 第1種円環関グラフ(複素変数)
  • 第1種円環関数のグラフ(複素変数)

　z（z）を複素変数とする、第1種円環関数磅[1/3，0]（z）のグラフ。
  • 第1種円環関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種円環関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種円環関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種円環関数のグラフ（複和変）
  • 第1種円環関数のグラフ(複素変数)

　z（z）を複素変数とする、第1種円環関数pt[-2+i，0]（z）のグラフ。
  • 第1種円環関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種円環関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種円環関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種円環関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種円環関数のグラフ(複素変数)

　x个を実変数とする、第1種円環関数のグラフ。①整数次pt[n，1]（x）,②実pt[ν，1]（x）。
  • 第1種円環関グラフ(実変数)
  • 第1種円環関数のグラフ(実変数)

　虚軸上での第1種円環関数i▪pt[ν，1]（ix）のグラフ。
  • 第1種円環関数のグラフ(虚軸上)

　z（z）を複素変数とする、第1種円環関数磅[5/3，1]（z）のグラフ。
  • 第1種円環関数のグラフ（複和変）
  • 第1種円環関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種円環関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種円環関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種円環関数のグラフ(複素変数)

　z（z）を複素変数とする、第1種円環関数磅[1/3，1]（z）のグラフ。
  • 第1種円環関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種円環関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種円環関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種円環関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種円環関グラフ(複素変数)

　z（z）を複変1種円環関数pt[-2+i，1]（z）のグラフ。
  • 第1種円環関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種円環関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種円環関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種円環関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種円環関数のグラフ(複素変数)

　x个を実変数とする、実数次の第1種円環関pt[ν，3.4]（x）のグラフ。
　(μが非整数のとき、pt[ν，μ]（x）はx＜0で一般に実数値を取らない。)
  • 第1種円環関数のグラフ(実変数)

　虚軸上での第1種円環関数exp（3.4πi/2）*pt[ν，3.4]（ix）のグラフ。
  • 第1種円環関数のグラフ(虚軸上)

　z（z）を複素変数とする、第1種円環関数pt[5/3，3.4]（z）のグラフ。
  • 第1種円環関数のグラフ（複和変）
  • 第1種円環関数のグラフ（複和変）
  • 第1種円環関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種円環関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種円環関数のグラフ(複素変数)

　z（z）を複素変数とする、第1種円環関数pt[1/3，3.4]（z）のグラフ。
  • 第1種円環関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種円環関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種円環関グラフ(複素変数)
  • 第1種円環関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種円環関数のグラフ(複素変数)

　z（z）を複素変数とする、第1種円環関数pt[-2+i，3.4]（z）のグラフ。
  • 第1種円環関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種円環関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種円環関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種円環関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種円環関数のグラフ(複素変数)

　z（z）を複素変数とする、第1種円環関pt[5/3，2+2i]（z）我的爱人
  • 第1種円環関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種円環関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種円環関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種円環関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種円環関数のグラフ(複素変数)

　z（z）を複素変数とする、第1種円環関数pt[1/3，2+2i]（z）のグラフ。
  • 第1種円環関グラフ(複素変数)
  • 第1種円環関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種円環関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種円環関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種円環関数のグラフ（複和変）

　z（z）を複素変数とする、第1種円環関数pt[-2+i，2+2i]（z）のグラフ。
  • 第1種円環関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種円環関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種円環関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種円環関数のグラフ（複和変）
  • 第1種円環関数のグラフ（複和変）

第2種円環関数の記号

　x个を実変数とする、第2種円環関数のグラフ。①整数次qt[n，0]（x）,②実数次qt[ν，0]（x）。
  • 第2種円環関数のグラフ(実変数)
  • 第2種円環関数のグラフ(実変数)

　z（z）を複素変数とする、第2種円環関数qt[5/3，0]（z）我的爱人
  • 第2種円環関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種円環関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種円環関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種円環関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種円環関数のグラフ(複素変数)

　z（z）を複素変数とする、第2種円環関数qt[1/3，0]（z）のグラフ。
  • 第2種円環関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種円環関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種円環関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種円環関グラフ(複素変数)
  • 第2種円環関グラフ(複素変数)

　z（z）を複素変数とする、第2種円環関数qt[-2+i，0]（z）のグラフ。
  • 第2種円環関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種円環関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種円環関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種円環関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種円環関数のグラフ（複和変）

　x个を実変数とする、第2種円環関数のグラフ。①整数次qt[n，1]（x）,②実数次qt[ν，1]（x）。
  • 第2種円環関数のグラフ(実変数)
  • 第2種円環関数のグラフ(実変数)

　z（z）を複素変数とする、第2種円環関数qt[5/3，1]（z）のグラフ。
  • 第2種円環関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種円環関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種円環関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種円環関グラフ(複素変数)
  • 第2種円環関グラフ(複素変数)

　z（z）を複素変数とする、第2種円環関数qt[1/3，1]（z）のグラフ。
  • 第2種円環関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種円環関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種円環関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種円環関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種円環関数のグラフ（複和変）

　z（z）を複素変数とする、第2種円環関数qt[-2+i，1]（z）のグラフ。
  • 第2種円環関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種円環関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種円環関グラフ(複素変数)
  • 第2種円環関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種円環関数のグラフ(複素変数)

　μが非整数のとき、x个を実変数とする第2種円環関数qt[ν，μ]（x）は、実軸上で一般に実数値を取らない。よってqt[ν，3.4]（x）我的名字是“我的名字”，意思是“我的名字”，意思是“我的名字”，意思是“我的名字”，意思是“我的名字”，意思是“我的名字”，意思是“我的名字”，意思是“我的名字”，意思是“我的名字”

　z（z）を複素変数とする、第2種円環関qt[5/3，3.4]（z）のグラフ。
  • 第2種円環関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種円環関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種円環関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種円環関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種円環関数のグラフ(複素変数)

　z（z）を複素変数とする、第2種円環関数夸脱[1/3，3.4]（z）のグラフ。
  • 第2種円環関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種円環関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種円環関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種円環関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種円環関数のグラフ(複素変数)

　z（z）を複素変数とする、第2種円環関数qt[-2+i，3.4]（z）のグラフ。
  • 第2種円環関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種円環関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種円環関数のグラフ（複和変）
  • 第2種円環関数のグラフ（複和変）
  • 第2種円環関数のグラフ(複素変数)

　z（z）を複素変数とする、第2種円環関数qt[5/3，2+2i]（z）のグラフ。
  • 第2種円環関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種円環関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種円環関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種円環関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種円環関グラフ(複素変数)

　z（z）を複素変数とする、第2種円環関数qt[1/3，2+2i]（z）のグラフ。
  • 第2種円環関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種円環関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種円環関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種円環関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種円環関数のグラフ(複素変数)

　z（z）を複素変数とする、第2種円環関数qt[-2+i，2+2i]（z）のグラフ。
  • 第2種円環関数のグラフ（複和変）
  • 第2種円環関数のグラフ（複和変）
  • 第2種円環関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種円環関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種円環関数のグラフ(複素変数)

円錐関数

日：円錐関数，
英：圆锥函数，仏：功能圆锥形，编号：Kegelfunktion公司

　二階の線形常微分方程式
  • 円錐関数が満たす微分方程式
の解の基本系w=a∙P[-1/2+iν，μ]（cosθ）＋b∙Q[-1/2+iν（a，b∈C）を成す二つの関数を、第1種および第2種円錐関数という※1。円錐関数の各種表示式も 勒让德陪関数から導かれるので省略するが、M.Abramowitz&I.Stegun《……｣337手册》頁等に若干数が掲載されている。
円錐関数P[-1/2+iν，μ]（cosθ）,Q[-1/2+iν，μ]（cosθ）は、cosθからの影響で2πの周期を持つが、同時に区間（kπ－∞i，kπ＋∞i）（k∈Z）の分枝切断線によって、単連結でない無数の分枝に細分されてしまう。そこで当サイトでは、下図のような解析接続によって分枝が単連結となる円錐関数pc[ν，μ]（θ）,qc[ν，μ]（θ）を採用する。
  • 第1種円錐関数の解析接続
  • 第2種円錐関数の解析接続
　図：円錐関数の解析接続

　この関数は、元々の円錐関数で専ら必要となる実変数0＜θ≦πを含む領域で、
  • 解析接続前後の円錐関数の関係
となるが、一般に他の領域では一致せず、周期関数にもならない。この解析接続も、主に 霍布森我的分析费雷尔斯型との分枝関係式を用いる。
　この関数が名称に "円錐" を冠する理由は、やや複雑である。G.F.Mehlerは1881論※2で、座標（たしx个軸が回転軸 ― つまり横倒し ― になっている) のうち円錐となる座標面を用いて、円錐面上における静電位分布を論じた。また論文の緒言で、球座標における 拉普拉斯方程式の解である球関数等は、座標面を他の円錐曲面、例えば円柱面や回転放物面、回転双曲面等に移す極限を取れば、様々な円錐曲面に依拠する関数が現れる事に触れ、これがよく知られた円錐曲線の分類（圆锥截面）に類似していると述べている。
　以上のことを踏まえて、梅勒は論文中で度々用いた積分関数
  • 円錐関数の積分表示式
を "円錐関数" と呼んでおり、恐らくこれが名称の起源になっていると思われる。また、円錐関数はしばしば ｢梅勒物语
　拉普拉斯[美]【美】【美】【美】【美】【美】【美】【美】【美】【美】【美】【美】【美】【美】【美】【美】【美】【美】【美】【美】【美】【美】【美】【美】【美】【美】【美】【美】【美】【美】【美】【美】【美】【美】【美】【美】【美】【美】円錐座標※3ではなく、強いて言えば双極座標である。C.诺依曼（1881年）※4の周囲に生じる電界を論じた際、双極座標を用いて “梅勒”を導き、これを詳しく考察している。
実際、双極座標{x，y，z}={（c∙sin（θ）∙cos（φ））/（cosh（u）-cos（θによって、拉普拉斯艺术风格∇^2ψ=0をψ=平方[余弦（u）-余弦（θ）]∑[m]∑[n]{γ（u）θ（θ）Φ（φ）}の形に変数分離し、さらに位相の 1/2 ずれをΘ(θ)に寄せれば※6、各座標方向は
  • 双極座標における拉普拉斯艺术风格
  • 双極座標における拉普拉斯建筑风格
　図：双極座標における 拉普拉斯艺术风格(固有関数・紡錘形の周囲) →Mathematica代码 Mathematica代码

となり、θの方向に円錐関数が現れる。また、解は紡錘形の周囲に良く適合する結果となる。
　NIST第14.20条で定義されている円錐関数は、μを変えば、ば1種は当サイトの (分析2種は大きく異なり、
  • NIST第14.20条で定義されている円錐関数
となっている （NISTでは引数に余弦関数を代入しない)。この関数に対しても、分枝が単連結となるよう前述と同様の解析接続を施して、
  • 解析接続前後のNIST标准円錐関数の関係
を満たすようにした関数qcn[ν，μ]（θ）を独自に導入する。

【註記】
　※1：引数に余弦関数を代入しない定義、さらにμ=0の場合を、円錐関数と呼ぶことも多い。
なお、P[-1/2+iν，μ]（z）,Q[-1/2+iν，μ]（z）（ν∈R）のグラフは、既に勒让德に多数掲載している。

　※2：Ueber eine mit den Kugel-und Cylinder Function verwandte Function und ihre Anwendung in der Theory der Elektricistsvertheilung。《数学年鉴》18（1881）第161-194页

　※三：円錐座標ならば、三方向の解のうち2方向は（拉梅）、1方向は冪関数が基底関数になる。円錐座標における円錐面は実際には楕円錐面であるため、双極座標よりもはるかに複雑になる。

　※4:Ueber die Mehler’s chen Kegelfunctionionen und deren Anwendung auf elektrostatische Probleme（尤伯·迪·梅勒的陈·凯格福福西顿和德伦·安文登关于电子问题）。《数学年鉴》第18卷（1881年）第195-236页

　※5:诺依曼は、この紡錘形をコノイド （圆锥）と称しているが、現在通用しているコノイドは一般的な線織面のことを言うので、意味が異なる。

　※6：本来、双極座標における 拉普拉斯方程式の解は、位相の 1/2 ずれをΘ(θ)に寄せず、
  • 双極座標における拉普拉斯艺术风格
とするのが標準的な表示である。その場合、固有関数の図は次のようになる。
  • 双極座標における拉普拉斯算子（1）
  • 双極座標における拉普拉斯工程方法（2）
　図：双極座標における 拉普拉斯工程方法→Mathematica代码 Mathematica代码


第1種円錐関数の記号

　θを実変数とする、第1種円錐関数のグラフ。①整数次pc[n，0]（θ）,②実数次pc[ν，0]（θ）。
  • 第1種円錐関数のグラフ(実変数)
  • 第1種円錐関数のグラフ(実変数)

　θを複素変数とする、第1種円錐関数pc[5/3，0]（θ）我的爱人
  • 第1種円錐関数のグラフ（複和変）
  • 第1種円錐関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種円錐関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種円錐関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種円錐関数のグラフ(複素変数)

　θを複素変数とする、第1種円錐関数pc[1/3，0]（θ）のグラフ。
  • 第1種円錐関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種円錐関グラフ(複素変数)
  • 第1種円錐関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種円錐関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種円錐関数のグラフ(複素変数)

　θを複素変数とする、第1種円錐関数pc[-1+i，0]（θ）のグラフ。
  • 第1種円錐関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種円錐関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種円錐関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種円錐関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種円錐関数のグラフ（複和変）

　θを実変数とする、第1種円錐関グラフ①整数次pc[n，1]（θ）,②実数次pc[ν，1]（θ）。
  • 第1種円錐関数のグラフ(実変数)
  • 第1種円錐関数のグラフ(実変数)

　θを複素変数とする、第1種円錐関数pc[5/3，1]（θ）のグラフ。
  • 第1種円錐関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種円錐関グラフ(複素変数)
  • 第1種円錐関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種円錐関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種円錐関数のグラフ(複素変数)

　θを複素変数とする、第1種円錐関数pc[1/3，1]（θ）のグラフ。
  • 第1種円錐関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種円錐関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種円錐関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種円錐関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種円錐関数のグラフ（複和変）

　θを複素変数とする、第1種円錐関pc[-1+i，1]（θ）のグラフ。
  • 第1種円錐関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種円錐関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種円錐関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種円錐関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種円錐関数のグラフ(複素変数)

　θを実変数とする、実数次の第1種円錐関数pc[γ，3.4]（θ）のグラフ。
  • 第1種円錐関数のグラフ(実変数)

　θを複素変数とする、第1種円錐関数pc[5/3，3.4]（θ）のグラフ。
  • 第1種円錐関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種円錐関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種円錐関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種円錐関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種円錐関数のグラフ(複素変数)

　θを複素変数とする、第1種円錐関数pc[1/3，3.4]（θ）我的爱人
  • 第1種円錐関数のグラフ（複和変）
  • 第1種円錐関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種円錐関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種円錐関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種円錐関数のグラフ(複素変数)

　θを複素変数とする、第1種円錐関数pc[-1+i，3.4]（θ）のグラフ。
  • 第1種円錐関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種円錐関グラフ(複素変数)
  • 第1種円錐関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種円錐関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種円錐関数のグラフ(複素変数)

　θを複素変数とする、第1種円錐関数pc[5/3，2+2i]（θ）のグラフ。
  • 第1種円錐関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種円錐関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種円錐関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種円錐関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種円錐関数のグラフ（複和変）

　θを複素変数とする、第1種円錐関pc[1/3，2+2i]（θ）のグラフ。
  • 第1種円錐関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種円錐関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種円錐関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種円錐関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種円錐関数のグラフ(複素変数)

　θを複素変数とする、第1種円錐関数pc[-1+i，2+2i]（θ）のグラフ。
  • 第1種円錐関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種円錐関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種円錐関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種円錐関数のグラフ(複素変数)
  • 第1種円錐関数のグラフ(複素変数)

第2種円錐関数の記号

実変数0＜θ≦πで第2種円錐関数qc[ν，μ]（θ）は一般に実数値を取らない。よって、実変数のグラフは描画しない。

　θを複素変数とする、第2種円錐関数qc[5/3，0]（θ）のグラフ。
  • 第2種円錐関グラフ(複素変数)
  • 第2種円錐関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種円錐関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種円錐関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種円錐関数のグラフ(複素変数)

　θを複素変数とする、第2種円錐関数qc[1/3，0]（θ）のグラフ。
  • 第2種円錐関数のグラフ（複和変）
  • 第2種円錐関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種円錐関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種円錐関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種円錐関数のグラフ(複素変数)

　θを複素変数とする、第2種円錐関数qc[-1+i，0]（θ）のグラフ。
  • 第2種円錐関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種円錐関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種円錐関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種円錐関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種円錐関グラフ(複素変数)

　θを複変2種円錐関数qc[5/3，1]（θ）のグラフ。
  • 第2種円錐関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種円錐関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種円錐関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種円錐関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種円錐関数のグラフ(複素変数)

　θを複素変数とする、第2種円錐関qc[1/3，1]（θ）のグラフ。
  • 第2種円錐関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種円錐関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種円錐関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種円錐関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種円錐関数のグラフ(複素変数)

　θを複素変数とする、第2種円錐関数qc[-1+i，1]（θ）のグラフ。
  • 第2種円錐関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種円錐関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種円錐関グラフ(複素変数)
  • 第2種円錐関グラフ(複素変数)
  • 第2種円錐関数のグラフ(複素変数)

　θを複素変数とする、第2種円錐関数qc[5/3，3.4]（θ）のグラフ。
  • 第2種円錐関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種円錐関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種円錐関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種円錐関数のグラフ（複和変）
  • 第2種円錐関数のグラフ(複素変数)

　θを複素変数とする、第2種円錐関数qc[1/3，3.4]（θ）のグラフ。
  • 第2種円錐関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種円錐関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種円錐関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種円錐関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種円錐関数のグラフ(複素変数)

　θを複素変数とする、第2種円錐関数qc[-1+i，3.4]（θ）のグラフ。
  • 第2種円錐関グラフ(複素変数)
  • 第2種円錐関グラフ(複素変数)
  • 第2種円錐関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種円錐関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種円錐関数のグラフ(複素変数)

　θを複素変数とする、第2種円錐関数qc[5/3，2+2i]（θ）のグラフ。
  • 第2種円錐関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種円錐関数のグラフ（複和変）
  • 第2種円錐関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種円錐関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種円錐関数のグラフ(複素変数)

　θを複素変数とする、第2種円錐関数qc[1/3，2+2i]（θ）のグラフ。
  • 第2種円錐関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種円錐関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種円錐関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種円錐関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種円錐関数のグラフ(複素変数)

　θを複変2種円錐関数qc[-1+i，2+2i]（θ）のグラフ。
  • 第2種円錐関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種円錐関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種円錐関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種円錐関数のグラフ(複素変数)
  • 第2種円錐関数のグラフ(複素変数)

第美国国家标准与技术研究院

　θを実変数とする、実数次の第2種円錐関数のグラフ。①qcn[η，0]（θ）,②qcn[ν，1]（θ）,③qcn[ν，3.4]（θ）。
  • 第美国国家标准与技术研究所
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　複素変数の第2種円錐関数qcn[ν，μ]（θ）のグラフは、実軸方向に移動した以外はqc[ν，μ]（θ）のそれと似ているので、二つの事例のみを描画する。
　θを複素変数とする、第2種円錐関数qcn[1/3，3.4]（θ）のグラフ。
  • 第美国国家标准与技术研究所
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　θを複変2種円錐関数qcn[5/3，2+2i]（θ）のグラフ。
  • 第美国国家标准与技术研究所
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