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黎曼
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迪里克莱
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黎曼
斐波纳契
欧拉和
里兹
ポリ対数関数
(
多重対数関数)
罗杰斯
の二重対数関数
ポリ対数関数
克劳森
積分逆正接関数
德拜
勒奇
不完全ガンマ関数
不完全ガンマ関数
正則化不完全ガンマ関数
不完全ベータ関数
正則化不完全ベータ関数
積分指数関数
積分指数関数
積分対数関数
積分三角関数
積分双曲線関数
その他
(
積分三角関数関連)
誤差関数
誤差関数
菲涅尔
超誤差関数
超
菲涅尔
沃伊格特
欧文·蒂安
马库姆·Q
楕円積分
楕円積分
完全楕円積分
雅各比
Heuman的故事ラムダ関
算術幾何平均
楕円関数
高斯
雅各比
雅各比
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雅各比第二章
雅各比第三章
韦尔斯特拉斯
魏尔斯特拉斯
の楕円ゼータ関数
魏尔斯特拉斯
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楕円テータ関数
楕円テータ関数
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内维尔
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克莱因
の楕円モジュラー関数
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正多面体の楕円モジュラー関数
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Dedekind的物语エータ関
楕円モジュラー形式
(不変量等)
艾森斯坦
実解析的
艾森斯坦
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数論的保型関数
数論的保型形式
施瓦兹
伽罗瓦
一般の保型関数
贝塞尔
贝塞尔
汉克尔
変形
贝塞尔
球
贝塞尔
艾利
开尔文
一般
艾利
贝塞尔
斯特鲁夫
愤怒-韦伯
惠塔克公司
艾利-哈迪
洛梅尔
積分
贝塞尔
積分
贝塞尔
贝塞尔-菲涅尔
一般積分
贝塞尔
比克利-内勒
積分
艾利
艾利-菲涅尔
勒让德
勒让德
Legendre(费雷斯)
勒让德(霍布森)
球面調和関数
勒让德
円環関数
円錐関数
赫米特
赫米特
赫米特(Hermite)
放物柱関数
拉盖尔
拉盖尔
拉盖尔
拉盖尔
切比雪夫
切比雪夫
切比雪夫(Chebyshev)
楕円有理関数
楕円
切比雪夫
盖根鲍尔
盖根鲍尔
盖根鲍尔(Gegenbauer)
超球面調和関数
雅各比
雅各比
雅各比(Jacobi)
泽尼克
维格纳·D関
库仑公司
库仑公司
汉克尔-库仑公司
库仑
合流型超幾何関数
合流型超幾何関数
惠塔克
超幾何関数
超幾何関数
黎曼·P関
一般超幾何関数
一般超幾何関数
梅杰尔·G関
马修
马修
変形
马修
马修
回転楕円体波動関数
扁長回転楕円体波動関数
(角度)
扁平回転楕円体波動関数
(角度)
扁長回転楕円体波動関数
(動径)
扁平回転楕円体波動関数
(動径)
回転楕円体波動固有値関数
回転楕円体波動関数関連
扁長回転楕円体波動余弦関数
扁平回転楕円体波動余弦関数
拉梅
拉梅
拉梅风格
一般
拉梅
拉梅
亨(Heun)
合流型
亨(Heun)
希尔
希尔(
楕円テータ関数周期)
希尔(
合成三角関数周期)
迈斯纳
潘列夫
第
潘列维
第
潘列维
第
3潘列夫
第
4潘列夫
第
5種潘列韦
第
6種潘列维
第
2疼痛疗法
第
4疼痛疗法
高階
潘列夫
第
1a恰齐
第
1b恰齐
第
1c恰齐
第
查兹(Chazy)
第
1e恰齐
第
8種查兹
第
13a查齐
第
13b種查兹
第
穆安·Jrad
第
2穆安·Jrad
第
3穆安·Jrad
高階
疼痛疗法
非線形微分方程式の解の関数
范德波尔
达芬
非強制振動型
达芬
強制振動型
范德波尔
洛特卡-沃尔泰拉
洛伦茨
布拉修斯
艾姆登巷
米塔格-莱夫勒
米塔格-莱夫勒
米塔格-莱夫勒三世
赖特
阿贝尔
阿贝尔
黎曼(Riemann)
缩放-黎曼
レムニスート関
收缩测量法
カタストロフィー理論の関数
皮尔西(Pearcey)
燕尾点正準積分関数
楕円的臍点正準積分関数
双曲的臍点正準積分関数
余次元
4
の尖点正準積分関数
开尔文船型
種々の逆関数
乗積対数関数
开普勒
逆積分指数関数
逆積分対数関数
逆誤差関数
逆
菲涅尔
その他の特殊関数
西弗特·雷恩
阿布拉莫维茨
Glasser公司
超指数関数
超対数関数
博彻
ポリ対数関数
(
多重対数関数)
罗杰斯
の二重対数関数
罗杰斯
の二重対数関数は、対数関数を拡張したもので
で定義される。後述の
ポリ対数関数
とは
の関係にある。また、関数等式
を満たし、特殊値
を持つことで知られる。複素関数としての
罗杰斯
の二重対数関数は、複素平面上
に特異点を持ち、通常は区間
及び
に分枝切断線を置く。
罗杰斯
二、二、三、四
実変数および複素変数の
罗杰斯
第二章
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ポリ対数関数
日:
ポリ対数関数
,
多重対数関数
英:
多段对数
,仏:
函数多对数
,独:
多对数
冪級数で定義された
を、収束範囲の外部にも解析接続して得られる関数を、ポリ対数関数、または多重対数関数という。その名称は、特別な
のときに
となり、他方で一般の
に関する漸化式が、逐次積分・微分によって
となることから、
が対数関数を拡張したものと見做されることに由来する。なお、
に微分漸化式を適用すれば、
のポリ対数関数はすべて有理関数になることが分かる。
を複素変数とするポリ対数関数は、
中国人
(ただし
とする。特異点の種類は、前述の有理関数になる場合に極、その他は一般に対数分岐点となり、後者の場合は実軸上の区間
に分枝切断線が置かれる)。
を変数とするポリ対数関数は
迪里克莱
級数の一種であり、特別な
のときに、
黎曼
に還元される。また、
の分枝切断線を超える解析接続の公式
を介して、
Hurwitz的故事ゼータ関
とも関係がある。
ポリ対数関数は
等、多くの積分表示式が知られており、応用分野ではそれらの表示形が重要になる
(美国国家标准与技术研究院)
25.12(三)
など)。
また、無限級数表示
等も多数得られている。特に後者は、特異点を除く
,
で収束する
(ただし、
および
方向への和は、それぞれ同じ項数までの部分和に対する極限と考える。収束はやや遅い)。
ポリ対数関数は、後述する
莱奇
の超越関数の特別な場合であり、
と表わされる。
ポリ対数関数は、
1889年
が、経路積分を用いて複素関数としての
ををを
琼奎尔
関数と呼ばれることもある。特殊な場合は、もっと古くから研究されており、特に
は、
G.W.莱布尼茨
が初めて考察して以降、
L.Euler(1768)、W.Spence(1809)
年) 等、多くの数学者がこれを手掛けた※
1。
前述の
罗杰斯
の二重対数関数もこのような研究の一端として現れた。
は簡潔な関数等式
を満たし、諸公式で出現する頻度がより高いので重要である。
も
に次いで詳しく研究され、よく似た関数等式を満たすが、記述は省略する。
ポリ対数関数の数学における応用分野として、数論、コホモロジー
(上同调)
を用いる群論、代数的
K(K)
理論等が知られている。諸科学では、電気回路設計、量子電磁気学における
费曼
ダイアグラムでの積分等の応用事例がある。
【註記】
※1:
は、
斯彭斯
の寄与に因んで 「
斯彭斯函数
と呼ばれることもあるが、英語・日本語ともに 「
双对数(
ディ・ロガリズム:二重対数)」 と呼ぶことの方が多い。後者の名称は、
1828年にC.J.希尔
が初めて使用した。また、これに準じて
を 「
三倍(
トリ・ロガリズム:ン対)と()
を実
2
変数とするポリ対数関数
のグラフ。①
では複素数になるので描画されない。②実部と虚部のグラフ。
①
②
を実変数とするポリ対数関数
我的爱人(グラフ)。①
=0~9 (+0.2),②
=-9~0 (+0.2) 。
①
②
複素変数のポリ対数関数
のグラフ。
複素変数のポリ対数関数
のグラフ。
複変ポリ対関
のグラフ。
を実変数とするポリ対数関数
のグラフ。ともに、
=-10~1 (+0.2)。②
は、①の絶対値が小さい範囲を拡大したグラフ。
①
②
複素変数のポリ対数関数
のグラフ。
複素変数のポリ対数関数
のグラフ。
複素変数のポリ対数関数
のグラフ。
アニメーション
(5.10MB)
複変ポリ対関
のグラフ。
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克劳森
日:
克劳森
,
クラウゼン関数
英:
克劳森函数
,仏:
克劳森函数
,独:
克劳森膨胀
簡単な形の
傅立叶
級数が初等関数にならない具体例として、
1832年T·克劳森
を研究した。これに因み、関数
は
克劳森
関数 と呼ばれるようになった。
韩国
によって定義されることも多いので、しばしば 「
克劳森
積分」 とも呼ばれる。
克劳森
関数は奇関数で、周期性
を持つが、複素関数としての
は、
に対数分岐点を持ち、直線
上に分枝切断線が引かれる。
このため当サイトでは、実軸上の区間
および
のみに分枝切断線が引かれ、
1
枚の単連結な分枝になるよう解析接続された
克劳森
を別途導入する。すなわち、
となるが、もはや周期性を持たず、実変数のときは区間
のみで定義される。
現在では、前述の
傅立叶
級数表示式を一般化した
も定義されており、「一般
克劳森
関数」 と呼ばれている。このとき、記号の対応が
となることに注意する。
次数
が特別な自然数のとき、一般
克劳森
関数は対数関数および
伯努利风格
によって、
と表わされ、初等関数に還元される。
一般
克劳森
関数は、ポリ対数関数を用いて
と表わされる。つまり、これは
欧拉
の公式の類似であり、
,
は
の実部と虚部に相当する。このポリ対数関数を用いる表示式は、より広い
および
の領域における一般
克劳森
関数を計算するのに適している
(
ただし、ポリ対数関数を解析接続する必要がある)。また、
の一般
克劳森
関数も初等関数になることが従う。
是的
は奇関数であり、ともに周期性
を持つ。複素関数としては両者とも
を一般に対数分岐点とし、直線
上に分枝切断線が引かれる。
このため当サイトでは、
,
に対しても
と様分析
,
を導入する。すなわち、
となるが、もはや周期性を持たず、実変数のときは区間
のみで定義される。
N.I.Lobachevskyは(J.Bolyai,J.C.F.Gauss
等と独立に) 双曲的非
欧几里得
幾何学を構築する過程で、三次元双曲的非
欧几里得
空間内の理想四面体
の
"双曲的な体積"
を求めるため、
を
1829
年に導入した。現在では、これと若干形が異なる
を、
洛巴切夫斯基
関数と呼ぶことが多い。実際、前述の体積は
を用いて
と表わした方が簡潔になる。
(
しかしながら、当サイトでは
を
洛巴切夫斯基
関数として扱う。)
①
②
理想四面体
の図
① 欧几里德
上半空間内部の場合。 ②双曲的非
欧几里得
球体内部の場合。
実変数および複素変数の
克劳森
のグラフ。
実変数および複素変数の
克劳森
のグラフ。
実軸上
で極大・極小値をとる。また、
すなわち
となる
(
鸟语物语物语物语物语物语物语物语物语物语物语物语物语物语物语物语物语物语物语物语物语物语物语物语物语物语物语物语物语物语物语物语物语物语物语物语物语物语物语物语物语物语物语物语物语物语物语物语物语物语物语物语物语物语物语物语物语
欧拉
が初めて求めた)。
を実変数とする一般
克劳森
のグラフ。
=0.2~5 (+0.2) 。
が整数のとき太線。
,
を実
2
変数とする一般
克劳森
のグラフ。
複素変数の一般
克劳森
のグラフ。
複素変数の一般
克劳森
のグラフ。
複素変数の一般
克劳森
のグラフ。
因みに、この例は
に該当するので、
无言的
複素変数の一般
克劳森
のグラフ。
複素変数の一般
克劳森
のグラフ。
複素変数の一般
克劳森
のグラフ。
複素変数の一般
克劳森
のグラフ。
を実変数とする一般
克劳森
のグラフ。
=0.2~5 (+0.2) 。
が整数のとき太線。
,
を実
2
変数とする一般
克劳森
のグラフ。
複素変数の一般
克劳森
のグラフ。
複素変数の一般
克劳森
のグラフ。
複素変数の一般
克劳森
のグラフ。
因みに、この例は
に該当するので、
でもある。
複素変数の一般
克劳森
のグラフ。
複素変数の一般
克劳森
のグラフ。
複変
克劳森
のグラフ。
複素変数の一般
克劳森
のグラフ。
実変数の
洛巴切夫斯基
のグラフ。
複素変数の
洛巴切夫斯基
のグラフ。
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積分逆正接関数
日:
積分逆正接関数
,
逆正接積分
英:
逆切线积分
,仏:
圆弧切线
,独:
积分Arkustangens
ポリ対数関数を用いて定義された
を、一般積分逆正接関数といい、その特別な場合の
を、
(
本来の) 積分逆正接関数という。
一般積分逆正接関数が、逐次積分・微分による
の漸化式
を満たすこと、および特別な
のときに
となること等、その性質の多くはポリ対数関数から導ける。同様に、
の一般積分逆正接関数はすべて有理関数になる。
を複素変数とする一般積分逆正接関数は、
(ただし
)
に特異点を持つ。特異点の種類はポリ対数関数に由来するが、それが対数分岐点となる場合は、虚軸上の区間
,
に分枝切断線が置かれる。
一般積分逆正接関数は、後述する
莱奇
の超越関数の特別な場合であり、
と表わされる。
一般積分逆正接関数は
L.Lewin(1958年
年) の研究によって、ほぼ現在の形に整備されたが、同種の関数はもっと古くから研究されていたと思われる。実際、
は現在、
勒让德
のカイ関数と呼ばれている
(
グラフ(我的爱人)
実変数の積分逆正接関数
のグラフ。
複素変数の積分逆正接関数
のグラフ。
を実変数とする一般積分逆正接関数
のグラフ。
=-5~5 (+0.2) 。
が整数のとき太線。
を実
2
変数とする一般積分逆正接関数
のグラフ。
複素変数の一般積分逆正接関数
のグラフ。
複素変数の一般積分逆正接関数
のグラフ。
複素変数の一般積分逆正接関数
のグラフ。
複素変数の一般積分逆正接関数
のグラフ。
站点地图
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德拜
日:
德拜
,
デバイ関数
,
不兼容
英:
德拜函数
,仏:
德拜教堂
,独:
脱毛
德拜
関数とは、積分
で定義される関数の総称で、前者は 第
1
種- 、後者は 第
2
種- を冠して呼ばれる。
(定数因子
を持たない定義、
で割る定義等もあり、一定していない。)
両者は互いに
の関係にあるが、これは
不完全ガンマ関数
のそれと類似しており、しかも、右辺が
黎曼(Riemann)
になるので、
德拜
関数を 「不完全ゼータ関数」 と呼ぶこともある※
1。
また、冒頭の積分表示式から、正則化不完全ガンマ関数を係数とする
迪里克莱
に展開できることが分かる。すなわち、
德拜
を変数と見ればゼータ関数の類似になっている。実際、第
1德拜
で
1
位の極を持ち、
が負の整数のときは
の値に係わらず恒等的に定数関数
となる。第
2德拜
となり、特に
でも一般に有界となることに注意する。
が正の整数である
德拜
関数が応用等で最も現れ、ポリ対数関数による閉形式
で表わすことができる。一般の
に対する
德拜
関数は、前述の
迪里克莱
級数のほか、やや収束は遅いが
によって計算できる。これらの式におけるポリ対数関数および
超幾何関数
部分は、註記
(※2)
で説明している分枝切断線処理に応じて解析接続が必要になる。なお、分枝切断線が 「タイプ
2」
分析
ををぃ現きる
を複素変数とする
德拜、
を一般に対数分岐点とする無限多価関数で、各々の分岐点から無限遠点に延びる分枝切断線を引くことができる※
2。
ただし、
に限り
に由来する特異性を持つ。すなわち、
の値が有理数ならば代数分岐点に変わり、正の整数ならば特異点でなくなる。
德拜
関数は、種々の積分計算に用いられるほか、物理学では黒体放射や固体の温度に関する量子力学などに現れる
(多くは
が特定の正整数である場合)。関数の名称も、熱力学における
德拜
模型の熱容量を求める過程で、
1912
年に物理学者の
P.德拜
がこの積分を扱ったことに因む。
他にも、
德拜
関数に関連した積分関数として、
E.格里内森
による種々の温度下における物質の電気抵抗率を評価する研究から
格吕内森
、1932年·B.G.D.Strömgren
による天体物理学での平均不透明度の研究から
斯特罗姆格伦(Strömgren)
、
が導入されている。
ここでは、次の一般的な形で第
格吕内森
およد
1斯特罗姆格伦
をする
(それぞれ第2
種も併せて定義する。)
ただし、これらの関数は
德拜
関数と初等関数を用いて、
と表わせる。この事は、積分表示式に部分積分法を適用すれば容易に確認できる。
【註記】
※1:
次の論文では、不完全ゼータ関数
(德拜
関数) の詳しい数値計算結果、特に
を複素変数とする場合の結果が載っている
(
失言、失言、失言)
① 不完全黎曼-泽塔函数和不完全伽马函数的K.S.Kölbig」复零点计算数学,第24卷,第111期,(1970)第679-696页
② 两个不完全黎曼-泽塔函数的K·S·Kölbig」复零点计算数学,第26卷,第118期,(1972)第551-565页
※2:泽塔。
米、米3
種類の分枝切断線が選択できる
(グラフは
の場合)。当サイトでは、タイプ
1
の分枝切断線を採用する。
実変数の第
1德拜
のグラフ。太線は
が正の整数のとき。
複素変数の第
1德拜
のグラフ。
複素変数の第
1種德拜関
のグラフ。
複素変数の第
1德拜
のグラフ。
アニメーション
(1580万)
複素変数の第
1德拜
のグラフ。
=-3~3 (+0.025, ただし
は除く)。
(
功能图。
米
のカラーリングを使用しています。)
を実変数とする第
1德拜
のグラフ。太線は
が正の整数のとき。
公式からも明らかなように、
が負の整数ならば常に零点または固定点になる。したがって、
が実数ならば負の実軸上には
以外の
(
位置が動く) 零点も存在することが、次のグラフから分かる。
複素変数の第
1德拜
のグラフ。
複素変数の第
1德拜
のグラフ。
が正の実数を動くときの、
の複素零点
等等
K·S·Kölbig①、682、559(↑※1)
実変数の第
2德拜
のグラフ。太線は
が整数のとき。
複素変数の第
2德拜
のグラフ。
複素変数の第
2德拜
のグラフ。
複素変数の第
2德拜
のグラフ。
を実変数とする第
2德拜
のグラフ。太線は
が正の整数のとき。
複素変数の第
2德拜
のグラフ。
複素変数の第
2德拜
のグラフ。
実変数の第
格吕内森
のグラフ。太線は
が正の整数のとき。
また、
が
2以上の偶数 (
奇数) のとき、第
格吕内森(
(関関関関関関関関関関関関関)
実変数の
Grüneisen関
のグラフ。偶関数になる。
複素変数の第
格吕内森
のグラフ。
(もし、タイプ2
の分枝切断線を採用したならば、描画領域全体で
を満たす。)
複素変数の第
格吕内森
のグラフ。
複素変数の第
格吕内森
のグラフ。
を実変数とする第
格吕内森
のグラフ。太線は
が正の整数のとき。
を複素変数とする第
1種吕内森
関関関関
1種德拜
関数のそれと概形が非常に似ており、僅かな違いしかないので、描画を省略する。
実変数の第
2種Grüneisen関
のグラフ。太線は
が整数のとき。
また、
が
2
以上の奇数のとき、第
2種吕内森
関数は偶関数になる。
なる非負整数のとき、
でも実数値となる。
複素変数の第
2種Grüneisen関
のグラフ。
(もし、タイプ2
の分枝切断線を採用したならば、描画領域全体で
を満たす。)
複素変数の第
2種Grüneisen関
のグラフ。
複素変数の第
2種Grüneisen関
のグラフ。
を実変数とする第
2種Grüneisen関
のグラフ。太線は
が正の整数のとき。
を複素変数とする第
2種吕内森
関数のグラフは、第
2種德拜
関数のそれと概形が非常に似ており、僅かな違いしかないので、描画を省略する。
実変数の第
1斯特罗姆格伦
のグラフ。太線は
が正の整数のとき。
複素変数の第
1斯特罗姆格伦
のグラフ。
複素変数の第
1斯特罗姆格伦
のグラフ。
複素変数の第
1斯特罗姆格伦
のグラフ。
を実変数とする第
1斯特罗姆格伦
物语グラフ
が正の整数のとき。
複素変数の第
1斯特罗姆格伦
のグラフ。
複素変数の第
1斯特罗姆格伦
のグラフは、第
1德拜
と概形が非常に似ており、僅かな違いしかないので描画を省略する。
実変数の第
2斯特罗姆格伦
のグラフ。太線は
が整数のとき。
第
2斯特罗姆格伦
なる非負整数のとき、
でも実数値となる。
複素変数の第
2斯特罗姆格伦
のグラフ。
複素変数の第
2斯特罗姆格伦
のグラフ。
複素変数の第
2斯特罗姆格伦
のグラフ。
を実変数とする第
2斯特罗姆格伦
のグラフ。太線は
が正の整数のとき。
を複素変数とする第
2種斯特罗姆格伦
関数のグラフは、第
2種德拜
関数のそれと概形が非常に似ており、僅かな違いしかないので、描画を省略する。
站点地图
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勒奇
日:
勒奇
,
レルヒ超越関数
,
勒奇
英:
超验教父
,仏:
功能超越了Lerch
,独:
勒舍·齐塔芬克提(Lerchsche Zetafunktion)
ポリ対数関数と
Hurwitz的故事ゼータ関
を統合・一般化した、
を
莱奇
の超越関数、あるいは単に
莱奇
関数という。さらに、
勒奇
ポリガンマ関数
の一般化にもなっていて、
となる。
迪里克莱·里昂
は、
莱奇
我的爱人是谁?我的爱人是谁?我的爱人是谁?我的爱人是谁?我的爱人是谁?我的爱人是谁?我的爱人是谁?我的爱人是谁?我的爱人是谁?我的爱人是谁?我的爱人是谁?我的爱人是谁?我的爱人是谁?我的爱人是谁?我的爱人是谁?我的爱人是谁?我的爱人是谁
加泰罗尼亚语
のベータ関数とも呼ばれる
迪里克莱
のL関数の例は
である。
莱奇
の超越関数は、各引数について解析接続を可能にする多くの公式が知られている。例えば、引数
に関しては漸化式
を満たす。また、
おける漸級
は、数値計算の際に便利である。
なお、異なる無限和の取り方によって
が定義される。
が整数でないとき、
と
の関係は
となる。
莱奇
の超越関数なる名称は、
1887年
による研究結果に因むが、それ以前にも、
C.J.Malmstén(1849年)、R.Lipschitz(1857年、1887年
年) 等の研究事例がある。
を実
2位牧师
関関関関関
, ②
①
②
を実変数とする
莱奇
関関関関関
, ②
。
ともに、
=-12~4 (+0.2) 。
①
②
複素変数の
勒奇
のグラフ。
複素変数の
勒奇
のグラフ。
複素変数の
勒奇
のグラフ。
複素変数の
勒奇
のグラフ。
を実変数とする
莱奇
の超越関数のグラフ。順に、①
, ②
。
ともに、
=-10~1 (+0.2)。
①
②
複素変数の
勒奇
のグラフ。
複素変数の
勒奇
のグラフ。
複素変数の
勒奇
のグラフ。
複素変数の
勒奇
のグラフ。
を実
2位牧师
関関関関関
, ②
①
②
を実変数とする
莱奇
関関関関関
, ②
。
ともに、
=-12~4 (+0.2) 。
①
②
複素変数の
勒奇
のグラフ。
複素変数の
勒奇
のグラフ。
複素変数の
勒奇
のグラフ。
複素変数の
勒奇
のグラフ。
を実変数とする
莱奇
の超越関数のグラフ。順に、①
, ②
。
ともに、
=-11~0 (+0.2)。
①
②
複素変数の
勒奇
のグラフ。
複素変数の
勒奇
のグラフ。
複素変数の
勒奇
のグラフ。
複素変数の
勒奇
のグラフ。
特殊関数
菜单
ガンマ関
ガンマ関
ポリガンマ関数
ガンマ関数の導関数
ベータ関数
二重階乗関数
巴恩斯·G関
多重ガンマ関数
多重三角関数
ガンマ関数の関連関数
ゼータ関数
黎曼
黎曼-西格尔
Hurwitz的故事ゼータ関
迪里克莱·里昂
拉马努扬
拉马努詹-西格尔
德德金
ゼータ関数に関連する関数
黎曼
ゼータ関数の導関数
Stieltjes関
非自明零点の
迪里克莱
素数ゼータ関数
黎曼
斐波纳契
欧拉和
里兹
ポリ対数関数
(
多重対数関数)
罗杰斯
の二重対数関数
ポリ対数関数
克劳森
積分逆正接関数
德拜
勒奇
不完全ガンマ関数
不完全ガンマ関数
正則化不完全ガンマ関数
不完全ベータ関数
正則化不完全ベータ関数
積分指数関数
積分指数関数
積分対数関数
積分三角関数
積分双曲線関数
その他
(
積分三角関数関連)
誤差関数
誤差関数
菲涅尔
超誤差関数
超
菲涅尔
沃伊格特
欧文·蒂安
马库姆·Q
楕円積分
楕円積分
完全楕円積分
雅各比
Heuman的故事ラムダ関
算術幾何平均
楕円関数
高斯
雅各比
雅各比
の楕円振幅関数
雅各比第二章
雅各比第三章
韦尔斯特拉斯
魏尔斯特拉斯
の楕円ゼータ関数
魏尔斯特拉斯
の楕円シグマ関数
楕円テータ関数
楕円テータ関数
楕円テータ関数の導関数
楕円テータ関数の対数微分
内维尔
拉马努扬
楕円モジュラー関数
克莱因
の楕円モジュラー関数
楕円モジュラー・ラムダ関数
正多面体の楕円モジュラー関数
エータ積の楕円モジュラー関数
一般の楕円モジュラー関数
Dedekind的物语エータ関
楕円モジュラー形式
(不変量等)
艾森斯坦
実解析的
艾森斯坦
保型関数
数論的保型関数
数論的保型形式
施瓦兹
伽罗瓦
一般の保型関数
贝塞尔
贝塞尔
汉克尔
変形
贝塞尔
球
贝塞尔
艾利
开尔文
一般
艾利
贝塞尔
斯特鲁夫
愤怒-韦伯
惠塔克公司
艾利-哈迪
洛梅尔
積分
贝塞尔
積分
贝塞尔
贝塞尔-菲涅尔
一般積分
贝塞尔
比克利-内勒
積分
艾利
艾利-菲涅尔
勒让德
勒让德
Legendre(费雷斯)
勒让德(霍布森)
球面調和関数
勒让德
円環関数
円錐関数
赫米特
赫米特
赫米特(Hermite)
放物柱関数
拉盖尔
拉盖尔
拉盖尔
拉盖尔
切比雪夫
切比雪夫
切比雪夫(Chebyshev)
楕円有理関数
楕円
切比雪夫
盖根鲍尔
盖根鲍尔
盖根鲍尔(Gegenbauer)
超球面調和関数
雅各比
雅各比
雅各比(Jacobi)
泽尼克
维格纳·D関
库仑公司
库仑公司
汉克尔-库仑公司
库仑
合流型超幾何関数
合流型超幾何関数
惠塔克
超幾何関数
超幾何関数
黎曼·P関
一般超幾何関数
一般超幾何関数
梅杰尔·G関
马修
马修
変形
马修
马修
回転楕円体波動関数
扁長回転楕円体波動関数
(角度)
扁平回転楕円体波動関数
(角度)
扁長回転楕円体波動関数
(動径)
扁平回転楕円体波動関数
(動径)
回転楕円体波動固有値関数
回転楕円体波動関数関連
扁長回転楕円体波動余弦関数
扁平回転楕円体波動余弦関数
拉梅
拉梅
拉梅风格
一般
拉梅
拉梅
亨(Heun)
合流型
亨(Heun)
希尔
希尔(
楕円テータ関数周期)
希尔(
合成三角関数周期)
迈斯纳
潘列夫
第
潘列维
第
潘列维
第
3潘列夫
第
4潘列夫
第
5種潘列韦
第
6種潘列维
第
2疼痛疗法
第
4疼痛疗法
高階
潘列夫
第
1a恰齐
第
1b恰齐
第
1c恰齐
第
查兹(Chazy)
第
1e恰齐
第
8種查兹
第
13a查齐
第
13b種查兹
第
穆安·Jrad
第
2穆安·Jrad
第
3穆安·Jrad
高階
疼痛疗法
非線形微分方程式の解の関数
范德波尔
达芬
非強制振動型
达芬
強制振動型
范德波尔
洛特卡-沃尔泰拉
洛伦茨
布拉修斯
艾姆登巷
米塔格-莱夫勒
米塔格-莱夫勒
米塔格-莱夫勒三世
赖特
阿贝尔
阿贝尔
黎曼(Riemann)
缩放-黎曼
レムニスート関
收缩测量法
カタストロフィー理論の関数
皮尔西(Pearcey)
燕尾点正準積分関数
楕円的臍点正準積分関数
双曲的臍点正準積分関数
余次元
4
の尖点正準積分関数
开尔文船型
種々の逆関数
乗積対数関数
开普勒
逆積分指数関数
逆積分対数関数
逆誤差関数
逆
菲涅尔
その他の特殊関数
西弗特·雷恩
阿布拉莫维茨
Glasser公司
超指数関数
超対数関数
博彻