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ガンマ関数（階乗関数）

ガンマ関数

日：ガンマ関数，Γ関数
英：Gamma函数，仏：功能γ，编号：伽马峰作用
日：階乗関数
英：阶乘函数，仏：功能因子，编号：Fakultätsfunktion公司

　ガンマ関数は、L·欧拉1729年に発見された。その動機は、通常は自然数n个に対して定義される階乗不！を、自然数ではないn个の場合にも拡張しようということにあった。
　欧拉韩国、韩国、韩国
  • ガンマ関数の極限表示式・無限乗積式
によってガンマ関数を定義し、後年、それが次の積分表示式にも一致することを示した。
  • ガンマ関積（第二章欧拉）
現在、この定積分は第二章欧拉積分」と呼ばれ、ガンマ関数の定義と言えばまずこれを挙げる人が多い。（第一章欧拉積分」という定積分もあって、これは後述のベータ関数のことを指す。)
　ガンマ関数は、関数等式
ガンマ関数の関数等式
を満たし、Γ(1)=1であることから、n个を負とするとき
  • ガンマ関数：整数引数での階乗との一致
が従うので、階乗の連続化になっている※1。この他にも、｢相補公式｣ (または ｢相反公式｣ 等) と呼ばれる関数等式
ガンマ関数の相補公式
や、｢倍数公式｣ および ｢多倍数公式｣
  • ガンマ関数の倍数・多倍数公式
など、ガンマ関数は様々な関係式を満たす。特に、相補公式または倍数公式から、
ガンマ関数の1/2での値
なる非自明な結果が導かれる。
　現在では、A.M.勒让德が初めて用いた記号勒让德によるガンマ関数の表記法が「ガンマ関数」なる名称とともに定着しているが、欧拉が実際に用いた記号は欧拉によるガンマ関数の表記法であった。（欧拉物语勒让德の定義は何故か上記のように1ずれている)。なお、主にドイツの古い文献等では、時折この記号の代わりに階乗関数字：∏（z）=z！を採用していることがある。
　複素解析関数としてのガンマ関数は、引数が正でない整数のときに1位の極をもつ有理型関数で、零点を持っていない。よって、ガンマ関数の逆数は超越整関数である。このことから、魏尔斯特拉斯の標準形と呼ばれる表示
  • ガンマ関数：韦尔斯特拉斯
が可能である。ここに現れた欧拉推断：γ=0.5772156649…なる定数は「欧拉丁」（mama short 0.12「欧拉-马斯切罗尼定数」) と呼ばれ、超越数と予想されているものの、現在でも無理数かどうかすら知られていない。また、1887年にO·Hölderは、ガンマ関数がいかなる代数的微分方程式の解にもならないことを証明した。その意味で、ガンマ関数は極めて超越的な関数とも言われる。
　一方で、前述の相補公式およびそれを式変形すると得られる公式
  • 虚数方向のガンマ関数の相補公式
は、ガンマ関数が初等関数に近いことを示している。実際、(日本に以前あった) 大学教養課程で最初に現れる特殊関数がガンマ関数であったことも、それが基礎的な関数と見なされていた証である。用途から見ても、ガンマ関数は直接単独で用いられる事例よりも、むしろ三角関数や指数関数のように間接的に用いられることが多い。例えば、超幾何関数を冪級数展開したときの係数はガンマ関数で表わされる他、ゼータ関数の対称的な関数等式における関与などが挙げられる。しかし、確率・統計学や差分法など、ガンマ関数が単独で多用される応用分野もいくつかある。
　それらの応用分野では、大きな正数に対する階乗･ガンマ関数値がしばしば必要となり、数値計算法の発達に寄与することとなった。漸近級数展開式
  • ガンマ関数の漸近級数展開式
もその一例であって、これは絶対値が大きい複素変数のガンマ関数を計算する際にも重宝する※2。歴史的に前後するが、J.斯特林1730年に求められた ｢斯特林公司
斯特林公司
は、前掲の漸近級数における、初等関数因子の部分に相当する。

  • 図：斯特林の公式と階乗との比
図：斯特林と階乗と

[註記]
※1：厳密には、さらに第３の条件
ガンマ関をする極
を課せば、この関数等式を満たす (階乗の連続化に相応しい) 関数が、ガンマ関数に限定される。実解析学の立場から見た (実変数x∈Rの) ガンマ関数の限定条件としては、
波尔·莫勒鲁普（Bohr-Mollerup）
がある。これは現在波尔·莫勒鲁普の定理」と呼ばれている。
　なお、玻尔-莫勒鲁普の定理③を満たさない "階乗の連続化" の例を、頁に掲載しています。

※2：理論上この漸近級数は、無限遠点でしか収束しない。実際、加算項数が増えるにしたがって、原点中心の円形発散領域が次第に大きくなる。しかし、加算項数を適当な有限個で止めると、(実用上は許容できる程度に) 良い近似が得られる (次図を参照)。このような発散級数は ｢庞加莱型の級数展開式｣ と呼ばれる。
  • 図：漸近級数によるガンマ関数の近似状況

ガンマ関数の記号

　実変数のガンマ関数のグラフ。２番目：ガンマ関数は階乗の連続化に相当する。
  • ガンマ関数のグラフ（実変数）
  • ガンマ関数のグラフ（実変数）

　複素変数のガンマ関数のグラフ。6番目は、鞍点で絶対値の等高線が結節点 (自己交差する点) になることを示したグラフである。これと同等のグラフが、柴垣 和三雄 著 ｢ガンマ函数の理論と応用 (附表, 小数第6位まで有効な複素変数のガンマ函数表)｣ (1952（中国）99～100頁にある。
  • ガンマ関数のグラフ（複和変）
  • ガンマ関数のグラフ（複素変数）
  • ガンマ関数のグラフ（複素変数）
  • ガンマ関数のグラフ（複素変数）
  • ガンマ関数のグラフ（複素変数）
  • ガンマ関数のグラフ（複素変数）

ガンマ関数w=Γ（z）による等角写像図。
  • ガンマ関グラフ(等角写像図)

ガンマ関数の逆数の記号

　実変数のガンマ関数の逆数のグラフ。
  • ガンマ関数の逆数のグラフ（実変数）

　複素変数のガンマ関数の逆数のグラフ。これは、無限遠点を除く複素平面上で特異点を持たない。つまり超越整関数である。
  • ガンマ関数の逆数のグラフ（複素変数）
  • ガンマ関数の逆数のグラフ（複素変数）
  • ガンマ関数の逆数のグラフ（複素変数）
  • ガンマ関数の逆数のグラフ（複素変数）
  • ガンマ関数の逆数のグラフ（複素変数）

ガンマ関数の逆数w=1/Γ（z）による等角写像図。
  • ガンマ関数の逆数のグラフ(等角写像図)

ガンマ関対記

　実変数のガンマ関数の対数のグラフ。階乗は正の実軸上で急激に増加するため、その対数をとることが多い。
  • ガンマ関数の対数のグラフ（実変）

　複素変数のガンマ関数の対数のグラフ。複素平面上では、対数に由来する多価性を持つ。ここでは、単純にガンマ関数の対数をとるだけではなく、合理的な解析接続が施された関数を採用している。この定義は、巴恩斯のＧ関数、Ｋ関数などで有用になる。
  • ガンマ関数の対数のグラフ（複素変数）
  • ガンマ関数の対数のグラフ（複素変数）
  • ガンマ関数の対数のグラフ（複素変数）
  • ガンマ関数の対数のグラフ（複素変数）
  • ガンマ関数の対数のグラフ（複和変）

もし、単純に对数（Γ（z））で計算したならば、グラフは次のようになる。この分枝切断線は明らかに多すぎる。
  • ガンマ関数の対数のグラフ（複素変数）
  • ガンマ関数の対数のグラフ（複素変数）
  • ガンマ関数の対数のグラフ（複素変数）
  • ガンマ関数の対数のグラフ（複素変数）
  • ガンマ関数の対数のグラフ（複素変数）

ポリガンマ関数

日：ポリガンマ関数，多Γ関数
英：多伽马函数，仏：功能性多囊炎，编号：多γ编织

　ディガンマ関数は、ガンマ関数を対数微分したものであって、このディガンマ関数を逐次微分したものを習慣上ギリシャ数詞を冠して、トリガンマ関数、テトラガンマ関数、ペンタガンマ関数…のように呼ぶ。これらを総称してポリガンマ関数と呼び、
  • ポリガンマ関数の定義式（微分と級数）
と定義する。勒让德（1809年），C·F·高斯（1810年）年) 等、多くの数学者がこの関数の研究を手掛けた。
　ポリガンマ関数は関数等式
ポリガンマ関関
を満たし、
  • ポリガンマ関数のz=1
が従うので、調和数の連続化になっている。例えば、
  • 調和数の連続化としてのポリガンマ関数
となる。またこの事から、ポリガンマ関数は対数関数や分数関数の差分化に相当するものと捉えられる。
　明らかに、ポリガンマ関数の基本的な性質は、ガンマ関数のそれを対数微分および逐次微分すれば得られる。例えば、相補公式は
  • ポリガンマ関数の相補公式
となり、多倍数公式は
  • ポリガンマ関数の多倍数公式
となることが分かる。ここでm=21992年
  • ポリガンマ関数の1/2での値
なる非自明な結果が導かれる。ポリガンマ関数の数値計算でも、ガンマ関数の漸近級数展開式を項別に対数･逐次微分して得られる級数が便利である。
　複素解析関数としてのポリガンマ関数は、定義域が正でない整数のときに極をもつ有理型関数で、その極の位数はディ、トリ、テトラとなるに従い、1位、2位、3位…となる。またこのほか零点も持っている。ガンマ関数同様、いかなる代数的微分方程式の解にもならない。
ディガンマ関数は黎曼（Riemann）ゼータ関数の記号の母関数でもある。
  • ディガンマ関数の冪級数展開式
　ポリガンマ関数は、応用上ガンマ関数と似た目的で用いられるほか、特に各種の分数の無限和を評価する際に用いられる。
　なお、ディガンマ関数はディガンマ関数の記号を用いるほか、名称どおりに古代ギリシャ文字のディガンマギリシャ文字：ディガンマを用いて、他のディガンマ関数の記号と表記されることも希にある。（阿夫肯）関数論」など。)

ディガンマ関数の記号

実変ディガンマ関グラフ２番目：ディガンマ関数は調和級数の連続化に相当する。
  • ディガンマ関数のグラフ（実変）
  • ディガンマ関数のグラフ（実変数）

　複素変数のディガンマ関数のグラフ。
  • ディガンマ関数のグラフ（複素変数）
  • ディガンマ関数のグラフ（複素変数）
  • ディガンマ関数のグラフ（複素変数）
  • ディガンマ関数のグラフ（複素変数）
  • ディガンマ関数のグラフ（複和変）

　積木を最大の迫り出し幅で重ねる方法。調和級数は無限大に発散するので、迫り出し幅は理論上いくらでも大きくできる。
  • 調和級数による積木の最大迫り出し幅
  • 調和級数による積木の最大迫り出し幅（想像図）
  • 調和級数による積木の最大迫り出し幅（想像図2）

トリガンマ関数の記号

　実変数のトリガンマ関数のグラフ。
  • トリガンマ関数のグラフ（実変数）

　複素変数のトリガンマ関数のグラフ。
  • トリガンマ関数のグラフ（複素変数）
  • トリガンマ関数のグラフ（複素変数）
  • トリガンマ関数のグラフ（複素変数）
  • トリガンマ関数のグラフ（複素変数）
  • トリガンマ関数のグラフ（複素変数）

テトラガンマ関記

　実変数のテトラガンマ関数のグラフ。
  • テトラガンマ関数のグラフ（実変）

　複素変数のテトラガンマ関数のグラフ。
  • テトラガンマ関数のグラフ（複素変数）
  • テトラガンマ関数のグラフ（複素変数）
  • テトラガンマ関数のグラフ（複素変数）
  • テトラガンマ関数のグラフ（複素変数）
  • テトラガンマ関数のグラフ（複素変数）

ペンタガンマ関数の記号

実変ペンタガンマ関グラフ
  • ペンタガンマ関数のグラフ（実変数）

　複素変数のペンタガンマ関数のグラフ。
  • ペンタガンマ関数のグラフ（複素変数）
  • ペンタガンマ関数のグラフ（複素変数）
  • ペンタガンマ関数のグラフ（複素変数）
  • ペンタガンマ関数のグラフ（複素変数）
  • ペンタガンマ関数のグラフ（複素変数）

ポリガンマ関数の記号

　いくつかのポリガンマ関数を重ねた実変数のグラフ。
  • ポリガンマ関数のグラフ（実変数）
  • ポリガンマ関数のグラフ（実変数）

ガンマ関数の導関数

　ガンマ関数の導関数は、ポリガンマ関数を用いて次のように表わされる。
  • ガンマ関数の導関数の定義式
（笑声）（笑声）（掌声）（掌声）（掌声）（掌声）（掌声）（掌声）（掌声）（掌声）（掌声）（掌声）（掌声）（掌声）（掌声）（掌声）（掌声）（掌声）（掌声）（掌声）（掌声）（掌声）（掌声）（掌声）（掌声）（掌声）（掌声）（掌声）（掌声）（掌声）（掌声）（掌声）（掌声）（掌声）（掌声）
  • ガンマ関数の導関数の積分表示式
によっても表わすことができる。
複心理分析米位導関数は、定義域が正でない整数のときに米+1位の極をもつ有理型関数である。

ガンマ関数の導関数の記号

　実変数のガンマ関数の導関数のグラフ。
  • ガンマ関数の導関数のグラフ（実変数）

　複素変数のガンマ関数の導関数のグラフ。
  • ガンマ関数の導関数のグラフ（複素変数）
  • ガンマ関数の導関数のグラフ（複素変数）
  • ガンマ関導関グラフ（複素変数）
  • ガンマ関数の導関数のグラフ（複素変数）
  • ガンマ関数の導関数のグラフ（複素変数）

ガンマ関数の２位導関数の記号

　実変数のガンマ関数の2位導関数のグラフ。
  • ガンマ関数の２位導関数のグラフ（実変数）

　複素変数のガンマ関数の2位導関数のグラフ。
  • ガンマ関数の２位導関数のグラフ（複素変数）
  • ガンマ関数の２位導関数のグラフ（複素変数）
  • ガンマ関数の２導関グラフ（複素変数）
  • ガンマ関数の２導関グラフ（複素変数）
  • ガンマ関数の２位導関数のグラフ（複素変数）

ガンマ関数の３位導関数の記号

　実変数のガンマ関数の三位導関数のグラフ。
  • ガンマ関数の３位導関数のグラフ（実変数）

　複素変数のガンマ関数の三導関グラフ
  • ガンマ関数の３位導関数のグラフ（複素変数）
  • ガンマ関数の３位導関数のグラフ（複素変数）
  • ガンマ関数の３位導関数のグラフ（複素変数）
  • ガンマ関数の３位導関数のグラフ（複素変数）
  • ガンマ関数の３位導関数のグラフ（複素変数）

ガンマ関数のn个位導関数の記号

　いくつかの位数のガンマ関数の導関数を重ねた実変数のグラフ。
  • ガンマ関数のn个位導関数のグラフ（実変数）

ベータ関数

日：ベータ関数
英：贝塔函数，仏：函数béta，编号：贝塔芬奇

ベータ関（英语：ベータ関関）是一个很好的例子。下一节1種欧拉積分｣ とも呼ばれ、
  • ベータ関数の積分表示式（第1章欧拉）
と表わされる。ベータ関数は 欧拉（1730）、勒让德（1826）年) 等の研究を経て、現在に至っている。第1欧拉的名字によるが、ベータ関数の名称は J.Binet（1839年年) に始まる。
　置換積分を施して、上記とは異なるベータ関数の積分表示式が多数得られている。特に、
  • ベータ関
などがよく知られている。
　ベータ関数はガンマ関数との間に、
ベータ関数とガンマ関数の関係式
の関係がある。よって、ベータ関数の基本的な性質の多くはガンマ関数から導くことができる。例えば、無限積表示式
  • ベータ関数の無限積表示式
は、ガンマ関数の無限積表示式から容易に導ける。
　また、ベータ関数は無限級数
ベータ関数の無限級数展開
に展開できる (分子に現れている記号はPochhammer記である)。
　二項係数の連続化は、ベータ関数の逆数によって表わすことができる。(次のグラフを参照。)
  • ベータ関数による二項係数の連続化
　ベータ関数はその積分表示式の形から、初等代数関数の積分値を評価する際によく現れる。それらの積分は、種々の図形の面積や体積を計算するときにも重宝する。なお同じ理由により、和算の ｢円理｣ と呼ばれる分野でも、ベータ関数に相当する値の数表が作成されていた※1。(ただし、和算には関数という概念は無い。)
　ガンマ関数と同様に、ベータ関数は確率論や統計学での応用事例が多い。また、物理学者 G.威尼斯诺は、核子内部の「“我的心”（字符串）の構造を記述していることにも気付いた。ここに弦理論が創始され、後年これは超弦理論へと発展することとなる。

[註記]
※1：和算家の和田寧による計算結果を弟子が纏めた書籍「円
  • 和算の健数と竜数
の数表がそれになる。

ベータ関数の記号

　実2変数のベータ関数のグラフ。
  • ベータ関数のグラフ（実２変数）
  • ベータ関数のグラフ（実２変数）
  • ベータ関数のグラフ（実２変数）

　実2変ベータ関グラフ（値域の座標を逆双曲線正弦関数で圧縮した場合。）
  • ベータ関数のグラフ（実２変数･スケール圧縮）
  • ベータ関数のグラフ（実２変数･スケール圧縮）

二重階乗関数

日：二重階乗関数
英：双阶乘函数，仏：功能双因子，编号：Doppel fakultätsfunktion公司

自然数n个が偶数のときに２から始まる偶数の積、奇数のときに１から始まる奇数の積、
  • 二重階乗関数：引数が自然数のときの値
を二重階乗関数という。複素変数のときは、ガンマ関数を用いて
  • 二重階乗関数の定義式
と表わされる。
　複素解析関数としての二重階乗関数は、負の偶数点において１位の極を持つが、全体的なグラフ形状は、ガンマ関数とかなり異なる。
　純粋数学、物理学等での二重階乗関数の応用は、専ら変数が自然数のときである。冪級数の係数によく現れる。

二階乗関記

　実変数の二重階乗関数のグラフ。２番目：二重階乗関数は二重階乗の連続化に相当する。
  • 二階乗関グラフ（実変数）
  • 二重階乗関数のグラフ（実変数）

　複素変数の二重階乗関数のグラフ。定義式に含まれる指数関数と余弦関数の合成関数が、ガンマ関数のグラフとの違いを生む原因となっている。
  • 二重階乗関数のグラフ（複素変数）
  • 二重階乗関数のグラフ（複素変数）
  • 二重階乗関数のグラフ（複素変数）
  • 二重階乗関数のグラフ（複素変数）
  • 二階乗関グラフ（複素変数）

巴恩斯·G関

日：巴恩斯·G関，バーンズのG関
英：巴恩斯G函数，仏：功能G de Barnes，编号：巴恩斯切G-funktion

　巴恩斯のＧ関数はガンマ関数を拡張したもので、E.W.巴恩斯によって定義された。なお、この関数は多重ガンマ関数と呼ばれることもあるが、当サイトではこの名称を、後述するさらに広い意味の関数に対して用いることとする。
　巴恩斯のＧ関数は、関数等式
巴恩斯のＧ関数の関数等式
を満たし、z（z）が自然数n个のときは、
  • 巴恩斯のＧ関数：引数が自然数のときの値
となる。このため、正の実軸上において 巴恩斯のＧ関数の値はガンマ関数よりも急激に増大する。
複関巴恩斯のＧ関数は超越整関数であり、無限積表示式
  • 巴恩斯我的意思是（無限乗積）
で表わされる。この式から、正でない整数点z=-nにn+1位の零点を持つことが分かる。
　巴恩斯のＧ関数は、積分表示式
  • 巴恩斯のＧ関数の積分表示式
を持つ (ここに、对数Γ（z）は前述の解析接続された関数であって、对数（Γ（z）））
　物理学等での 巴恩斯のＧ関数の応用は、ガンマ関数に比べると少ない。一方、純粋数学では 巴恩斯のＧ関数のみならず、さらにこれを一般化した関数が数多く定義され、ガンマ関数系の拡張理論が展開されている。後述のガンマ関はその代表的な例である。
　この他に、巴恩斯のＧ関数を用いて、Ｋ関数
  • Ｋ関数の定義式
が定義されている。この関数は、関数等式
Ｋ関数の関数等式
を満たし、z（z）が自然数n个のときは、
  • Ｋ関数：引数が自然数のときの値
となる。このことから、H（z）=K（z＋1）は超階乗関数 （超阶乘）と呼ばれるが、Ｋ関数自体はガンマ関数系としては例外的に、実軸上の区間（－∞，0]に分枝切断線が置かれる。
　Ｋ関数も、積分表示式
  • k関積
を持ち、その類似性から 巴恩斯のＧ関数と同クラスであることが分かる。
　n个次代数方程式f n（z）=0の判別式をD[f n（z）]と表記する。もし、多項式部分f n（z）が赫米特风格Hermite方式H n（z）ならば、判別式は
k関と埃尔米特多項式の判別式との関係
となる※1。
　巴恩斯のＧ関数、並びにＫ関数の特殊値として、
  • 巴恩斯のＧ関数とＫ関数の特殊値
が知られている。ここに、Glaisher-Kinkelin规定Aは ｢上光器-Kinkelinの定数｣ と呼ばれている。

[註記]
※1：この公式は、http://reference.wolfram.com/language/ref/Hyperfactorial.htmlに掲載がある。
なお、多項式f n（z）のn个次 (最高次) 定係数をa（n）、f n（z）=0をz1，z2，…，锌とするD[f n（z）]は次のようになる。
  • n个故事情节

巴恩斯·G

実変巴恩斯のＧ関数のグラフ。
  • 巴恩斯·G（Barnes）

　複素変数の 巴恩斯のＧ関数のグラフ。これは、無限遠点を除く複素平面上で特異点を持たない。つまり超越整関数である。
  • 巴恩斯·G（Barnes）
  • 巴恩斯·G（Barnes）
  • 巴恩斯·G（Barnes）
  • 巴恩斯·G（Barnes）
  • 巴恩斯·G（Barnes）

　巴恩斯·G関w=G（z）我是一个很好的朋友，我是一个很好的朋友，我是一个很好的朋友，我是一个很好的朋友，我是一个很好的朋友，我是一个很好的朋友，我是一个很好的朋友，我是一个很好的朋友，我是一个很好的朋友，我是一个很好的朋友，我是一个很好的朋友
  • 巴恩斯·G（Barnes）

巴恩斯·G関数の対数の記号

実変巴恩斯のＧ関数の対数のグラフ。ガンマ関数と同様の理由により、対数をとると好都合な場合がある。
  • 巴恩斯·G関数の対数のグラフ（実変数）

　複素変数の 巴恩斯のＧ関数の対数のグラフ。ガンマ関数と同様の分枝切断線を採用する。
  • 巴恩斯·G関数の対数のグラフ（複素変数）
  • 巴恩斯·G関数の対数のグラフ（複素変数）
  • 巴恩斯·G関数の対数のグラフ（複素変数）
  • 巴恩斯·G関数の対数のグラフ（複和変）
  • 巴恩斯·G関数の対数のグラフ（複素変数）

Ｋ関数の記号

　実変数のＫ関数のグラフ。
  • Ｋ関数のグラフ（実変数）

　複素変数のＫ関数のグラフ。
  • Ｋ関数のグラフ（複素変数）
  • Ｋ関数のグラフ（複素変数）
  • Ｋ関数のグラフ（複素変数）
  • Ｋ関数のグラフ（複和変）
  • Ｋ関数のグラフ（複素変数）

ガンマ関

日：ガンマ関
英：多重伽马函数，仏： 多功能伽马，编号：维尔法奇·甘马福克提

　多重ガンマ関数の研究は19世紀後半から現れ始め、H.Kinkelin（1860年），O.Hölder（1886年年) 等が先駆者として知られている※1。巴恩斯も独立に、前述のＧ関数の導入とその拡張を研究 (1900～1904年) したが、現在では 巴恩斯によって得られた結果が一般に定着している。
　巴恩斯は始めに、現在 ｢巴恩斯の多重ゼータ関数 （赫维茨ゼータ関数)｣ と呼ばれている関数
  • 巴恩斯我的爱人
を導入し、これを用いて ｢巴恩斯物语ガンマ関を
  • 巴恩斯の多重ガンマ関数
と定義した (単純に、前掲の多重ゼータ関数の 迪里克莱級数を代入するだけでは収束しない無限乗積になる。この定義式の意味は、例えば前掲の積分表示式や、欧拉-麦克劳林和公式を適用した多重ゼータ関数を代入する等の方法によって、解析接続が成されていると解釈する) 。
　巴恩斯の多重ガンマ関数は、複素平面全体において一価有理型関数で種々の公式を満たす。例えば、
  • 巴恩斯の多重ガンマ関数の満たす擬周期性
が成り立つ。また後述のように、巴恩斯我的爱人巴恩斯の多重三角関数｣ が定義される。
　Ωは ｢周期｣ と呼ばれ、実際にΩ={1，τ}（Im（τ）>0）となる場合はモジュラー形式と関連があることを新谷卓郎が明らかにしている。また、Ω={1,…,1}である場合の 巴恩斯の多重ガンマ関数γn（z）=γn（z，{1，…，1}）は、後述のように具体的な表示式が知られており、倍数公式などの特殊な関係式を満たすため応用上重要とされる。よって、グラフもこれらの特殊な場合を描画する。
　巴恩斯の多重ガンマ関数Γn（z）は、次の無限乗積表示を持つ※2。
  • 巴恩斯の多重ガンマ関数の無限乗積表示式
また、整数n≤2のときは、初等有理関数、ガンマ関数、および 巴恩斯のＧ関数によって次のように表わされる。
  • n≤2个の多重ガンマ関数
　多重ガンマ関数は、上記の 巴恩斯による定義の他にもいくつかの異なる定義がある。维格内拉斯の多重ガンマ関数G n（z）は次の条件を満たす複素解析関数として定義される。
  • Vigneras公司の多重ガンマ関数が満たす条件
つまり、维格内拉斯の多重ガンマ関数はn=1のときにガンマ関数、n=2のときに 巴恩斯のＧ関数と完全に一致する。n个が負の整数のときは初等有理関数になる。(この条件式は、ガンマ関数を一意に定める ｢玻尔-莫勒鲁普の定理｣ の自然な拡張になっている。)
　维格内拉斯の多重ガンマ関数は、巴恩斯の多重ガンマ関数Γn（z）と次の関係にある※2。
  • Vigneras公司の多重ガンマ関数と巴恩斯のそれとの関係
　また、黒川信重は1991年に、後述の多重三角関数序号（z）を導入する目的で、より簡単な定義の多重ガンマ関数
  • 黒川の多重ガンマ関数
を定義した (同氏はこれを ｢素朴な定義｣ と称している。以下ではこの関数を ｢黒川の多重ガンマ関数｣ と呼ぶが、残念ながら現在ではほとんど扱われることがない。よって、ここでもグラフの描画は省略する) 。
ガンマ斯特林数の表示、モジュラー形式との関連等で近年注目されており、多重ゼータ関数・多重三角関数とともに、数論や組合わせ論での重要度が増しつつある。また、これらの関数は既に多変数化や 问-類似などにも拡張されていて、全貌が掴めないほど種類が多くなっているため、21世紀初頭における特殊関数の新しい鉱脈のような趣を呈している。

[註記]
※1：金科林は、多重ガンマ関数の主要な性質のほとんどを導き出していたが、現在では何故かこの業績が忘れ去られている。この点は、黒川信重 著 ｢現代三角関数論 (岩波書店 2013年)｣ で指摘されている。なお、同著は多重ガンマ関数･多重三角関数の詳細な情報源として欠かせない書籍である。

※2 ： この公式は、小野寺 一浩の論文「多重伽马和正弦函数的Weierstrass乘积表示法，Kodai数学杂志32（2009）第77-90页」に基づいています。より詳しい情報はこれを参照願います。

巴恩斯の多重ガンマ関数の記号

実変巴恩斯我的爱人巴恩斯の多重ガンマ関数の記号のグラフ。
  • 巴恩斯の多重ガンマ関数のグラフ（実変数）

　複素変数の 巴恩斯の多重ガンマ関数巴恩斯の多重ガンマ関数の記号のグラフ。
  • 巴恩斯の多重ガンマ関数のグラフ（複素変数）
  • 巴恩斯の多重ガンマ関数のグラフ（複素変数）
  • 巴恩斯の多重ガンマ関数のグラフ（複素変数）
  • 巴恩斯の多重ガンマ関数のグラフ（複素変数）
  • 巴恩斯の多重ガンマ関数のグラフ（複素変数）

実変巴恩斯の多重ガンマ関数巴恩斯の多重ガンマ関数の記号のグラフ。
  • 巴恩斯の多重ガンマ関数のグラフ（実変数）

　複素変数の 巴恩斯の多重ガンマ関数巴恩斯の多重ガンマ関数の記号のグラフ。
  • 巴恩斯の多重ガンマ関数のグラフ（複素変数）
  • 巴恩斯の多重ガンマ関数のグラフ（複素変数）
  • 巴恩斯の多重ガンマ関数のグラフ（複素変数）
  • 巴恩斯の多重ガンマ関数のグラフ（複素変数）
  • 巴恩斯の多重ガンマ関数のグラフ（複素変数）

実変巴恩斯の多重ガンマ関数巴恩斯の多重ガンマ関数の記号のグラフ。
  • 巴恩斯我的爱人（実変数）

　複素変数の 巴恩斯の多重ガンマ関数巴恩斯の多重ガンマ関数の記号のグラフ。
  • 巴恩斯の多重ガンマ関数のグラフ（複素変数）
  • 巴恩斯の多重ガンマ関数のグラフ（複素変数）
  • 巴恩斯の多重ガンマ関数のグラフ（複素変数）
  • 巴恩斯の多重ガンマ関数のグラフ（複素変数）
  • 巴恩斯の多重ガンマ関数のグラフ（複素変数）

维格内拉斯の多重ガンマ関数の記号

　维格内拉斯の多重ガンマ関数维格内拉斯の多重ガンマ関数の記号は、巴恩斯我的朋友们
実変维格内拉斯の多重ガンマ関数Vignéras公司の多重ガンマ関数の記号のグラフ。
  • 维格内拉斯の多重ガンマ関数のグラフ（実変数）
  • 维格内拉斯の多重ガンマ関数のグラフ（実変数）

　複素変数の 维格内拉斯の多重ガンマ関数维格内拉斯の多重ガンマ関数の記号のグラフ。
  • 维格内拉斯我的爱人（複素変数）
  • 维格内拉斯の多重ガンマ関数のグラフ（複素変数）
  • 维格内拉斯の多重ガンマ関数のグラフ（複素変数）
  • 维格内拉斯の多重ガンマ関数のグラフ（複素変数）
  • 维格内拉斯の多重ガンマ関数のグラフ（複素変数）

実変维格内拉斯の多重ガンマ関数维格内拉斯の多重ガンマ関数の記号のグラフ。定義域が負数のときは絶対値が小さいので、２番目のグラフは代わりに1000^（-x）G4（x）を描画している。
  • Vignéras公司の多重ガンマ関数のグラフ（実変数）
  • 维格内拉斯の多重ガンマ関数のグラフ（実変数）

　複素変数の 维格内拉斯の多重ガンマ関数维格内拉斯の多重ガンマ関数の記号のグラフ。
  • 维格内拉斯の多重ガンマ関数のグラフ（複素変数）
  • 维格内拉斯の多重ガンマ関数のグラフ（複素変数）
  • Vignéras公司の多重ガンマ関数のグラフ（複素変数）
  • 维格内拉斯の多重ガンマ関数のグラフ（複素変数）
  • 维格内拉斯の多重ガンマ関数のグラフ（複素変数）

巴恩斯の二重ガンマ関数の記号

　複素変数の 巴恩斯の二重ガンマ関数巴恩斯の二重ガンマ関数の記号のグラフ。
  • 巴恩斯の二重ガンマ関数のグラフ（複素変数）
  • 巴恩斯の二重ガンマ関数のグラフ（複素変数）
  • 巴恩斯の二重ガンマ関数のグラフ（複素変数）
  • 巴恩斯の二重ガンマ関数のグラフ（複素変数）
  • 巴恩斯の二重ガンマ関数のグラフ（複和変）

　複素変数の 巴恩斯の二重ガンマ関数巴恩斯二ガンマ関のグラフ。
  • 巴恩斯の二重ガンマ関数のグラフ（複素変数）
  • 巴恩斯の二重ガンマ関数のグラフ（複素変数）
  • 巴恩斯の二重ガンマ関数のグラフ（複素変数）
  • 巴恩斯の二重ガンマ関数のグラフ（複素変数）
  • 巴恩斯の二重ガンマ関数のグラフ（複素変数）

多重三角関数

日：多重三角関数（多重正弦関数）
英：多正弦函数，仏： 多发性窦房结，编号：维尔法赫-苏斯芬奇

　ガンマ関数の相補公式から三角関数が生じるように、各種の多重ガンマ関数に対しても類似の手順を踏むと、三角関数の拡張版が得られる。現在これらは多重三角関数と呼ばれており、いくつかの定義が知られている。1991年に黒川信重は、前述の ｢黒川の多重ガンマ関数｣ に対してこれを考えて、｢黒川の多重三角関数｣
  • 黒川の多重三角関数
を導入した。これは、霍尔德1886年に導入されていた ｢霍尔德の二重三角関数｣
  • 霍尔德の二重三角関数
を特別な場合として含み、積分表示式
  • 黒川の多重三角関数の積分表示式
でも定義される。またIm（z）≥0に限り、黒川の多重三角関数はポリ対数関数を用いて
  • 黒川の多重三角関数のポリ対数関数表示
と表わすこともできる。
　黒川の多重三角関数は、対称性や擬周期性
  • 黒川の多重三角関数の対称性・擬周期性
を満たし、z=1/2のときに 黎曼ゼータ関数の奇数での値を用いて、
  • 黒川の多重三角関数の特殊値
と表わされる。
　複素関数としての黒川の多重三角関数は、n个が２以上の偶数のときにz=m（m∈z，m>0）を平方米（n-1）位の零点、およびz=-m（m∈z，m>0）を平方米（n-1）位の極とする有理型関数となり、n个が３以上の奇数のときにz=±m（m∈z，m≠0）を平方米（n-1）我的爱人，我的爱人，我的爱人，我的爱人，我的爱人，我的爱人，我的爱人，我的爱人，我的爱人，我的爱人，我的爱人，我的爱人，我的爱人，我的爱人，我的爱人，我的爱人，我的爱人，我的爱人，我的爱人，我的爱人
　さらに一般的な場合として、巴恩斯の多重ガンマ関数に対しても ｢巴恩斯の多重三角関数｣
  • 巴恩斯の多重三角関数
が定義される。この関数は 巴恩斯以来、多くの数学者が同等の定義を行うが、特に新谷卓郎によるモジュラー形式との関係の研究、黒川信重による 塞尔伯格ゼータ関数のガンマ関数因子に関する研究など、数論への応用を経て次第に注目されるようになり、現在では多重三角関数と言えば大抵この関数を指すようになっている。
このうち、周期がΩ={1,…,1}である場合の 巴恩斯の多重三角関数Sn（z）=Sn（z，{1，…，1}）が最も重要で、簡明な関係式や性質を多く持つ。例えば序号（z）は、冪乗した序号（z）我的意思是，我的意思是，我的意思是，我的意思是，我的意思是，我的意思是，我的意思是，我的意思是，我的意思是，我的意思是，我的意思是，我的意思是，我的意思是，我的意思是，我的意思是，我的意思是，我的意思是，我的意思是，我的意思是，我的意思是，我的意思是，我的意思是，我的意思是，我的意思是，我的意思是，我的意思是，我的意思是，我的意思是S2（z，{1，τ}）も比較的扱いやすく、前述のモジュラー形式との関連もあって詳しく研究されている。

黒龚龚龚龚龚龚龚龚龚龚龚龚龚龚龚

　実変数の黒川の多重三角関数黒川の多重三角関数の記号のグラフ。
  • 黒川の多重三角関数のグラフ（実変数）

　複素変数の黒川の多重三角関数黒川の多重三角関数の記号のグラフ。２番目は対数目盛の場合 (以下同様)。
  • 黒川の多重三角関数のグラフ（複素変数）
  • 黒川の多重三角関数のグラフ（複素変数）
  • 黒川の多重三角関数のグラフ（複和変）
  • 黒川の多重三角関数のグラフ（複素変数）
  • 黒川の多重三角関数のグラフ（複素変数）
  • 黒川の多重三角関数のグラフ（複素変数）

　実変数の黒川の多重三角関数黒川の多重三角関数の記号のグラフ。
  • 黒川の多重三角関数のグラフ（実変数）

　複素変数の黒川の多重三角関数黒川の多重三角関数の記号のグラフ。
  • 黒川の多重三角関数のグラフ（複素変数）
  • 黒川の多重三角関数のグラフ（複素変数）
  • 黒川の多重三角関数のグラフ（複素変数）
  • 黒川の多重三角関数のグラフ（複素変数）
  • 黒川の多重三角関数のグラフ（複素変数）
  • 黒川の多重三角関数のグラフ（複素変数）

　実変数の黒川の多重三角関数黒川の多重三角関数の記号のグラフ。
  • 黒川の多重三角関数のグラフ（実変数）

　複素変数の黒川の多重三角関数黒川の多重三角関数の記号のグラフ。
  • 黒川の多重三角関数のグラフ（複素変数）
  • 黒川の多重三角関数のグラフ（複素変数）
  • 黒川の多重三角関数のグラフ（複素変数）
  • 黒川の多重三角関数のグラフ（複和変）
  • 黒川の多重三角関数のグラフ（複素変数）
  • 黒川の多重三角関数のグラフ（複素変数）

巴恩斯の多重三角関数の記号

実変巴恩斯の多重三角関数巴恩斯の多重三角関数の記号のグラフ。
  • 巴恩斯の多重三角関数のグラフ（実変数）

　複素変数の 巴恩斯の多重三角関数巴恩斯の多重三角関数の記号のグラフ。
  • 巴恩斯の多重三角関数のグラフ（複素変数）
  • 巴恩斯の多重三角関数のグラフ（複素変数）
  • 巴恩斯の多重三角関数のグラフ（複素変数）
  • 巴恩斯の多重三角関数のグラフ（複素変数）
  • 巴恩斯三人行（複素変数）
  • 巴恩斯の多重三角関数のグラフ（複和変）

実変巴恩斯の多重三角関数巴恩斯の多重三角関数の記号のグラフ。
  • 巴恩斯の多重三角関数のグラフ（実変数）

　複素変数の 巴恩斯の多重三角関数巴恩斯の多重三角関数の記号のグラフ。
  • 巴恩斯の多重三角関数のグラフ（複素変数）
  • 巴恩斯の多重三角関数のグラフ（複素変数）
  • 巴恩斯三人行（複素変数）
  • 巴恩斯の多重三角関数のグラフ（複素変数）
  • 巴恩斯の多重三角関数のグラフ（複素変数）
  • 巴恩斯の多重三角関数のグラフ（複素変数）

実変巴恩斯の多重三角関数巴恩斯の多重三角関数の記号のグラフ。
  • 巴恩斯の多重三角関数のグラフ（実変数）

　複素変数の 巴恩斯の多重三角関数巴恩斯の多重三角関数の記号のグラフ。
  • 巴恩斯の多重三角関数のグラフ（複素変数）
  • 巴恩斯の多重三角関数のグラフ（複素変数）
  • 巴恩斯の多重三角関数のグラフ（複素変数）
  • 巴恩斯の多重三角関数のグラフ（複素変数）
  • 巴恩斯の多重三角関数のグラフ（複素変数）
  • 巴恩斯の多重三角関数のグラフ（複素変数）

巴恩斯の二重三角関数の記号

　複素変数の 巴恩斯の二重三角関数巴恩斯の二重三角関数の記号のグラフ。
  • 巴恩斯の二重三角関数のグラフ（複素変数）
  • 巴恩斯の二重三角関数のグラフ（複素変数）
  • 巴恩斯の二重三角関数のグラフ（複素変数）
  • 巴恩斯二、三、三、（複素変数）
  • 巴恩斯の二重三角関数のグラフ（複素変数）

　複素変数の 巴恩斯の二重三角関数巴恩斯の二重三角関数の記号のグラフ。
  • 巴恩斯の二重三角関数のグラフ（複素変数）
  • 巴恩斯の二重三角関数のグラフ（複素変数）
  • 巴恩斯の二重三角関数のグラフ（複素変数）
  • 巴恩斯の二重三角関数のグラフ（複素変数）
  • 巴恩斯の二重三角関数のグラフ（複素変数）

アニメーション（13.00MB）
　複素変数の 巴恩斯の二重三角関数巴恩斯の二重三角関数の記号のグラフ。
  • 巴恩斯の二重三角関数のグラフ(複（変動画）

ガンマ関数に関連する関数

　ここでは、やや出現頻度が低いけれども、ガンマ関数の拡張や亜種としてよく知られている関数をいくつか取り挙げる。

【哈达玛のガンマ関数】
　ガンマ関数が階乗の連続化に最も相応しいことは、種々の理由から了承される。例えば、玻尔-莫勒鲁普定③は、ガンマ関数のグラフが階乗の補間曲線として滑らかである (対数凸である) ことを示しているし、超幾何関数系の理論に度々現れる階乗が即座にガンマ関数に置き換えられるのは、それが関数等式Γ（z+1）=z*Γ（z）を満たし、簡単な形の積分表示式を持つからである。
　しかしながら、非整数に対する階乗も、整数に対するそれと同じ関数等式に従うであろうという推測は、逆に、論理的な必然性が無いと見ることもできる※1。J.S.哈达玛はその観点に立って、具体的な関数
  • 哈达玛
を1894現哈达玛のガンマ関数｣ と呼ばれている※2。不定値を避けるため、
  • 哈达玛（Hadamard）
を使い分ける定義を採用した方が、数値計算等で便利である。
　哈达玛のガンマ関数は、関数等式および階乗との関係式
哈达玛のガンマ関数の関数等式
を満たすが、玻尔-莫勒鲁普の定理は満たさない。また、哈达玛のガンマ関数は超越整関数で、複素零点を持っている点が、ガンマ関数と大きく異なる。
　哈达玛のガンマ関数に対する相補公式は、
哈达玛のガンマ関数の相補公式
となる。この相補公式から、独自に定義する関数
独自定義関数I（z）
是的
　哈达玛のガンマ関数は、特殊値
  • 哈达玛のガンマ関数の特殊値
を持っている。

【交互階乗関数】
自然数n个に対して定義される交互階乗 （交替阶乘）
  • 交互階乗
は、ガンマ関数,不完全ガンマ関数,積分指数関数等を用いた、
  • 交互階乗関数(1)
によって連続化できる。複素変数z（z）に拡張された上記の関数は ｢交互階乗関数｣ と呼ばれる。全く同じ交互階乗関数であっても、定義式は若干異なる形で表示されることが多々ある。例えば、
  • 階乗関(2)
等である。ここに、E[ν]（z）は一般積分指数関数である。
　交互階乗関数は、関数等式
  • 交互階乗関数の関数等式
を満たす。これは、元々の交互階乗が満たす漸化式と全く同じ形である。また、特殊値
交互階乗関数の特殊値
を持っている。ここに、erfc（z）は相補誤差関数である。
定義式に含まれるΓ（z+2）の影響を受けて、交互階乗関数はz=－2，－3，－4，…に１位の極を持つ有理型関数となる。

[註記]
　※1：それゆえ慎重を期して、階乗の連続化関数はz！で表記されることが少なかったのかもしれない。

　※2:哈达玛が用いた関数記号はF（z）失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言失言

哈达玛のガンマ関数の記号

実変哈达玛的故事高（x）のグラフ。
  • 哈达玛のガンマ関数のグラフ(実変数)
  • 哈达玛のガンマ関数のグラフ(実変数)

　複素変数の 哈达玛H（z）のグラフ。
  • 哈达玛のガンマ関数のグラフ（複和変）
  • 哈达玛のガンマ関数のグラフ（複和変）
  • 哈达玛ガンマ関グラフ（複和変）
  • 哈达玛のガンマ関数のグラフ（複和変）
  • 哈达玛のガンマ関数のグラフ（複和変）

　哈达玛w=H（z）による等角写像図。
  • 哈达玛のガンマ関数のグラフ(等角写像図)

アニメーション（1120 MB）
　艾森斯坦級数に現れるガンマ関数因子を 哈达玛のガンマ関数に置き換えて、
  • Γ（k）H（k）艾森斯坦
とした関数のグラフ。艾森斯坦にあるアニメーションとの違いを確認する。
  • Γ（k）H（k）艾森斯坦(複素変数:動画)

独自定義関数我（z）的意思是

実変数の関数I（x）のグラフ。
  • 関数本人（x）

複素変数の関数I（z）のグラフ。
  • 関数本人（z）
  • 関数本人（z）
  • 関数本人（z）
  • 関数本人（z）
  • 関本人（z）

交互階乗関数の記号

　実変数の交互階乗関数af（x）のグラフ。
  • 交互階乗関数のグラフ(実変数)

　複素変数の交互階乗関数af（z）のグラフ。
  • 交互階乗関数のグラフ（複和変）
  • 交互階乗関数のグラフ（複和変）
  • 交互階乗関数のグラフ（複和変）
  • 交互階乗関数のグラフ（複和変）
  • 交互階乗関数のグラフ（複和変）

特殊関数 菜单