在我看来，这是最优美优雅的数学思想之一。它执行沼泽标准数学归纳法放弃，将想法概括为“更大”1比自然数这是它的工作原理。一旦你通过了定义，这真的很简单，定义本身就是直观解码一次就够了，所以请不要挂断具有数学天赋.首先，你需要知道什么是在一个集合上的良好排序。
首先，你需要知道集合的线性次序是什么。首先，您需要知道集合的偏序是什么。首先，你需要知道集合是什么。如果你想正确地处理这个问题，它会变得有点复杂2但要理解这一点，你真正需要的是将集合简单地理解为“一堆东西”。因此，示例包括所有节点的集合，一套实数s、 等等。
A类部分排序通过允许您（以任何可能高度抽象的方式）在集合上给它一些结构比较集合中的元素对。排序必须“有点像”根据大小比较数字所给出的排序，即任何东西都不能“小于”（在我们的抽象意义上）本身，如果一“小于”b条，如果b条“小于”c（c），那么一“小于”c（c）三.一个标准示例是自然数s（这是包含1、2、3等的集合）由是否严格为1给出划分变成另一个，如2除以6（写为2|6）。很容易看出这一点a|b&b|c=>a|c我在定义中使用的“严格”意味着一从不分割一.
现在，通过添加一个称为三分法，这只是任意两个不同的集合中的元素是可比较的。对任何人来说一和b条在我们的设置中，我们有其中之一一“小于”b条,一等于b条，或b条“小于”一.所以上面的除法示例不是线性排序，因为示例3不除以5，但5也不除以3，而且最肯定的是3不等于5。线性排序的例子是在谈论数字时使用<符号的所有次数，因此实数按<线性排序，节点集按<线性排序XP（极限编程）.
如果您稍微考虑一下，您应该会发现任何线性有序集都可以想象为沿着无限的)线4.
所以我们恢复了良好的秩序。良好的排序是具有一个额外特殊性质的线性排序，这允许我们使用归纳法。属性是这样的-有序集的任何非空子集都有一个最小元素也就是说，如果你从组成你的集合的一堆事物中选择另一堆事物，然后对它们应用与原始集合相同的顺序，那么你会发现子集中的一个特定元素，它“小于”子集中的每个其他元素。例如有理数s（分数集）为不由<排序良好。例如，我可以取所有有理数严格大于的子集零现在假设这个元素最少。我可以取一半，当然这仍然是一个有理数，大于零，因此在子集中，但它也会清晰地小于我们假定的最小元素。类似地整数s（正负）的顺序不好，因为我总是能想出一个少整数比你给我的任何一个最小的候选人都要多。
然而，我可以给整数一个良好的排序，只是它不会是<给出的。一种简单的方法是“将正整数放在第一位”，即0是最小的元素，然后是1，然后是2，然后。。。（其中“。。。接下来是所有正整数），然后是-1，然后是-2，然后……（对于所有负整数）。所以在这个排序中，每个正整数都“小于”每个负整数（你看，这些引号非常重要）。很容易看出这是一个很好的订购5.
这就是超限归纳法本身的定义。想法是这样的。我们有一个有序的集合，我们想证明某个命题（我们称之为P）对它的每个元素都是真的。首先，我们证明对于集合的每个元素（我称之为s），如果P对每个小于它的元素都为真，那么P对它也是真的。这相当于感应的踩在自然数上，但这里我们没有提到"+1".
现在，假设P对S的所有元素都不成立，然后考虑由P所代表的元素组成的子集不真的。我们假设这不是空的。但由于原始集合是有序的，所以这个子集必须有一个最少的元素，我们称之为我但对于S的每个元素，小于我，它不能在子集中（至少我)，所以P必须是真的。但这正是我们需要根据归纳假设来证明P对我.所以我们有一个矛盾所以我们证明了P对集合中的每个成员都是真的。
就是这样。这是数学家有幸阅读的最强大概念之一的最简单证明之一。由此产生了大量集合论——尤其是它允许我们正确定义和研究依次的s、 因此红衣主教s、 通常是为了抓住无限的.
1-也许“更长”这个词用起来更好。。。也就是说，数学归纳法和超限归纳法之间的区别并不是基数，但属于订单类型。数学归纳法序号为的订单ω或者更少，剩下的你需要超限归纳法。但请注意良序定理，任何集合都可以对其施加适当的顺序，然后问题就归结为集合是否为可数的或者没有。
2-虽然也很有趣。例如，请参阅关于集合论
三-请注意，我在这里使用了严格排序，因为它们使归纳证明更简单。有时，这些概念用非严格排序表示，如“小于或等于”而不是“小于”。这在很大程度上是一个毫无意义的技术性问题。还要注意，良序的概念不仅适用于线性排序，请参见假种皮正在写入井然有序.
4-因此得名。
5-事实上，不仅是整数任何集合可以给出一个良好的排序，由良序定理，虽然它使用选择公理一般来说，订单不会像这一条那么简洁（或者说，任何东西都可以确定）。