我们可以定义继承人的设置如下所示。
- 让X（X）成为设置，让我表示联盟共两套X（X）和Y（Y）作为X（X）U型Y（Y）（因为特殊字符在一些浏览器）。
- 的继任者X（X）是秒(X（X）)=X（X）U型{X（X）}.
- 记住，在集合论 X（X）和{X（X）}是不同的。
想知道那是什么定义第页，共页继任者说，
- 如果X（X）={一，b条，c（c）},
- 然后秒(X（X）)={一，b条，c（c），X（X）}={一，b条，c（c）,{一，b条，c（c）}}.
- 我们可以走得更远，找到X（X）作为
秒(秒(X（X）))=秒(X（X）)U型{秒(X（X）)}={一，b条，c（c），X（X），秒(X（X）)}={一，b条，c（c），X（X）,{一，b条，c（c），X（X）}}.
虽然令人愉快烦人的写下来，这似乎有点疯狂而毫无意义，但实际上不是。他们打电话的原因这个继任者是你可以代表自然数通过集合, 然后你可以定义你通常认为是自然的接班人数字（即2是1的后继，因为它位于1之后）。就这样你可以证明从集合论皮亚诺假设对于自然数（定义了它们的属性）。如果你真的是一个极客，请继续阅读，我将描述这是如何工作的开始。让我代表null集合用这个词无效的, 为了澄清，空集是没有成员的集。好的，从公理第页，共页集合论，我们有：
- 无效的存在
- 对于任何集合X（X）, {X（X）}不等于X（X）.
所以基本上，你可以给无效的新名称zero。然后你可以获得的继任者无效的.
因为，记住，无效的里面什么都没有，所以那些令人讨厌的条款一，b条，c（c）类似的东西不在那里，但仍然存在{无效的}与不一样无效的根据我们的公理。
因此，您可以将无效的0的继承者，并将新名称“一“你知道的无效的 存在 根据定义，如果是存在，您刚刚显示了继任者的存在。您可以继续此操作以获得定义所需的任意数字。对于两个人：
- 秒(秒(无效的))=秒({无效的})={无效的,{无效的}}
我知道这看起来有点坚果，但通过这种方式，你可以与许多其他人有点复杂证明，扩展继任者的概念，以定义操作关于自然数（比如附加和乘法). 所以，重点是从公理集合论您可以定义并证明满足以下条件的集合皮亚诺假设，意味着你已经定义了自然数。一旦你有了这些，再加上集合论中的一些其他公理，你就可以定义实数虽然很奇怪摘要，你真令人印象深刻仅仅从集合的概念就可以定义和证明实数的存在性。
根据的建议杰博亚·科林诺夫斯基，另请参见依次的.