以下文章是为数学课程提交的哲学它可以分解为以下部分：
- 代数的古老根源
- 古代发展如何导致19世纪的“代数革命”
- 从混凝土到摘要思想，以及上述趋势的哲学含义
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代数的发展及其对数学思想发展的意义
本文的目的是分析19世纪代数革命的根源，并讨论这种抽象思维爆炸的数学和哲学后果。我希望借此获得一些关于抽象的数学需求和使用的见解，以达到清晰和进一步发展的目的。
埃及的事态发展
的根代数通常，需要在以下领域进行高效和精确的计算商业和农业在古代文化中。问题，通常是线性系统方程式s与一元方程的解变量，通常是完全用文字来表示，然后用文字来解决，很少或没有符号或符号推理。这个埃及的 莱茵纸梨它至少可以追溯到公元前1650年，其中包含一些问题，详细说明了附加,减法以及简单实际问题的解决方案。虽然偶尔会在没有应用埃及人很少偏离不直接应用于日常生活的数学，应用通常是根据上下文或随后列出的。
“A量其增加的1/7变成了19。数量是多少？”
我们通常会将左边的值减少到8x/7，然后用19乘以7/8来求得解。中的解决方案莱茵纸梨然而，通常使用现在称为错误位置，或错误的假设.“必须乘以8才能得到19，同样，必须乘以7才能得到正确的数字。”
请注意，这些问题甚至没有列出具体的答案。错误位置的方法在古代文本中很常见，因为一些古代书写系统在计算答案时不允许使用8/7这样的分数。
巴比伦的发展
这个巴比伦人在大约公元前1800-1600年的粘土碑上，使用六角形的计数系统，大大方便了分数并允许巴比伦学者更多地关注理论的代数方法。可以说，巴比伦人是最早研究数学的人之一，他们更多地是为了数学本身，而不是为了解决实际问题。他们似乎已经熟悉我们的解决方法二次方程s、 记录了几十个乘法列出n，n的表格2，个三、和n2+n个三他们甚至解出了两个变量的方程组；然而，没有给出求解的方式。通常认为，他们用代换法来求x和y的解。纸莎草古卷记录了埃及人使用相同方法的情况，但这些古卷的年代要晚得多，大约在公元前300年左右。
中国的发展
使用矩阵有着无声而隐蔽的开端，可以追溯到公元前200年，有一本中国书Chiu Chang Shuan书这本颇具影响力的书包含了246个问题，涉及中国人生活中的各种话题，比如商业程序和农业。特别是第八章“按数组计算的方法”中的问题1如下：
“三捆一个好收成、两个平庸收成和一个坏收成以39斗的价格出售。两个好的，三个平庸的，一个坏的都卖34斗。一捆好的，两捆一般的，三捆坏的以26斗的价格出售。一捆好庄稼、中等庄稼和坏庄稼的价格是多少？”
这本书接着描述了一种求解方法，我们现在称之为矩阵方法；a上的杆计数板用于表示数组
1 2 3
2 3 2
3 1 1
26 34 39
执行乘法和减法，直到数组缩减为
0 0 3
0 5 2
36 1 1
99 24 39
这正是创建增广矩阵通过初等列运算求解三个未知数。
因为《九篇文章》和中国数学的大部分发展都集中在有效的方法和计算上，而不是证明对于存在性，没有证据证明这种方法或这些数组的存在。此外，直到数百年后，在一个完全不同的环境中，才对阵列的进一步属性进行研究。
希腊的事态发展
希腊人对代数的贡献，无论是实用的还是抽象的，似乎都有点有限，即使只是因为他们专注于几何和建设对象的。欧几里得然而，的《几何元素》包含了一些重要的定义和定理与代数研究相关。例如，在第七册中：
整数b称为可除尽的在符号a|b中，如果存在某个整数c，使得b=ac，则用整数a≠0表示。写入a b表示b不可被a整除。
不幸的是，欧几里德和其他学者习惯于表示线段s阻止了对负数的考虑和无理数s（尽管欧几里德证明了√2的非理性，但希腊人只能得出结论，√2根本不是一个数字，而不是一个不同类型的数字）。这些学者在定义正整数的定律和性质的过程中，当然从来没有考虑过可能存在于没有数字或长度的数学。尽管有这些不幸的障碍，希腊人将自己标榜为第一批在不受应用需求驱动的情况下在数学方面取得重大进步的文化之一。While期间抽象尚未开始在代数和几何学从许多方面来说，从实践到理论的转变与数学发展同样重要。
也许希腊抽象发展的另一个障碍在于用于计算的计数板。虽然对算术他们依赖数字的物理表征和这些表征的物理运动。一种更抽象的代表制度来自阿拉伯人和印度人十进制的计数系统，“九个字母”代表数字1到9，“一个小圆代表什么都没有了”或零。这个计数系统的先知是阿拉伯人al-Khouárizm怛（公元780-850年）论文他的“al-jabr w'al muqábalah”被翻译为“重聚和简化的科学”，阐述了求解未知变量方程的规则。阿尔贾布尔在翻译成拉丁语和其他语言后，最终赢得了目前英语代数的腐败。
尽管在历史上的这一点上，基本的代数方法已经被发现并被认为是正确的，但很少有人对其进行过严格的证明。在上述一些文化中，尤其是中国和阿拉伯文化中，规则和定理被视为神圣的启示，读者必须相信它们是真实的，因为毕竟它们是有效的！许多证明都是几何和直观如果完全给出了它们，并且如果在抽象或法律与对象的分离方面取得了任何进展，那么肯定是很少的。事后来看，我们可以说，除了从实践到理论的转变之外，数学家们还必须重新审视他们的数学优先事项，并开始证明所有这些策略、方法和定理都是有效的。这是一个直到19世纪才大规模出现的变化。另一个将大大促进代数革命的变化是统一和加强一般数学的动力，这是一种数学的哲学宏观观数学家努力建立数学基础，而不是越来越先进的定理。
快进到19世纪
代数发展的第二阶段始于拉格朗日,加洛瓦以及18世纪的其他数学家。他们寻找一种求解5级或更高代数方程的方法，这是一个著名的由鲁菲尼1799年。的代数模运算虽然已经发展起来，但模运算似乎与我们熟悉的数字系统结合得过于紧密，无法激发数学家的创造性思维。除了对数学的研究之外，几乎没有什么工作与“数学是数量或数字的科学”这一老套说法相矛盾组合微积分处理元素的排列或组合。
在18世纪后半叶和19世纪上半叶，人们的注意力转向代数的结构，并做了大量工作来抽象和扩展这些结构思想。在英国，当时的数学发展速度略慢于欧洲其他国家（这一障碍主要归因于当时的英国学术实践：即学生专注于死记硬背Tripos系列考试而不是学习创造性地思考新的发展）乔治·皮科克从一本“旨在赋予代数演示科学的特性”的著作开始。为了重新评估算术和代数之间的关系，皮科克认为算术是一门既不确定也不限制代数定律的建议科学。然后，他区分了算术代数和符号代数，前者表示实际数字和实际算术运算，后者表示完全不同的抽象符号。然而，皮科克断言，无论怎样，代数的所有定律都保持不变，阻碍了进一步的进步，因为这需要汉密尔顿多年来拒绝接受这一原则并放弃交换性为了替代代数。
代数革命这一阶段的开始始于哈密顿(1805-1865). 19世纪30年代初，汉密尔顿开始了一场漫长的斗争，试图将代数从他认为薄弱、晦涩的根源中“拯救”出来。他希望把代数塑造成一门“严格、纯粹和独立的科学；通过有效的推理从其自身的直觉原理推导出来”，而不是像前面所描述的那样成为一门语言。他从直觉主义的观点开始，人类直觉时间可以成为这门科学的基本基础；然后他继续定义负数（时间倒退的累进步骤）有理数s甚至是无理数。1837年共轭函数或代数偶理论：兼论代数是纯时间科学他试图系统地列出实数的性质，以便更具体地介绍代数定律在“数偶”中的应用，或复数学生们仍然学习用同样的方式定义复数，即一对有序实数（a，b）和代数运算规则。他证明了加法和乘法的交换律，以及分配性乘法大于加法，但无法显示相联的法律。据推测，他省略了结合定律，因为他没有想到可能存在一个结合性不成立的代数，这个概念后来被证明是至关重要的。他在这本书的结尾提到了他对发展三元组代数的希望，超复数s与三个空间有关，就像复数与两个空间有关一样。
在接下来的6年里，汉密尔顿一直在寻找一种方法来定义他的三元组的代数规则，但他找不到一种不影响他早先对复数的定义的方法。然后，在1843年10月，汉密尔顿在和妻子散步时，直觉一闪而过。他需要放弃交换法则，使用四个表达式而不是三个表达式的术语。突然间，他对自己能够活得足够长来传播他的发现感到疑惑，他把i2=j2=k2=ijk=-1刻进了布劳恩大桥.因此，形式代数的障碍被打破，革命开始了。汉密尔顿满怀热情地投入到他的研究中，确信他已经发现了世界在空间和时间（四维）上的真正数学描述。他发表了大量文章，申请四元数几乎是他能涉足的每一个科学领域。他吸引了一批数学家的追随者，他们疯狂地试图证明四元数是继切片面包（我们周围物理世界的最终定义）之后最伟大的东西。然而，这种热情逐渐消退，部分原因是由吉布斯以及由格拉斯曼四元数最终取代了它们成为最简单的非交换代数。
其他数学家试图做出自己的发现。对于新发展的代数，一个自然的问题是“如果一，二，四，八又是什么？”八度音阶s.“约翰·格雷夫斯在汉密尔顿创建四元数后仅仅三个月就对系统进行了研究；这个系统的乘法不仅是非交换的，而且也是非结合的。不幸的是，格雷夫斯系统的出版被推迟了亚瑟·凯莱用一篇描述基本相同系统的论文击败了他。赫尔曼·格恩特·格拉斯曼下一步是在他的著作Ausdehnungslehre中定义有序n元组的代数，即扩展微积分。在格拉斯曼定义的一般情况下，这些代数的下一次革命将发生在哪里？
亚瑟·凯莱在写了八元数的论文后，他把注意力转向了线性变换表单的
x′=ax+by
T1类
y′=cx+dy
将有序对（x，y）转化为对（x′，y′）。希望“一组线性方程的缩写符号”，凯利最终设计了系数s，例如
┌ ┐│a b││c d←└ ┘
通过操纵此阵列和一个定义类似的T2，凯利能够定义加法和乘法运算。他还发现了一个身份并证明了加法的交换性和结合性，以及乘法加法的结合性和分配性。然而，凯利为他设计的新物体使用了术语“阵列”，我们可以感谢詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特他创造了数十个数学新术语，例如“矩阵”
凯利还大大发展了稍早的关于组s、 开始于拉格朗日和伽罗瓦而且柯西他做了一些重要的工作。然而，直到1854年Cayley的论文《论群的理论取决于符号方程θn=1》发表之前，群的研究严格局限于置换群（当然是一个更具体的概念，也是大多数本科生开始学习群论的一个概念）。Cayley抽象了组的概念，只定义了泛型操作（或元素）、它们的乘积、关联性、标识，以及说明组中各种可能的产品的表。
群的抽象概念很难被理解，因为大多数数学家都忙于处理更具体的置换群。然而，另一位数学家正朝着同一个方向朝着完全不同的方向努力。布尔在他的《逻辑的数学分析》一书中，证明了将数学视为“量或数的科学”是一种荒谬的说法，这一点发生了巨大的飞跃。受乔治·皮科克和奥古斯塔斯·德摩根，布尔形式化了一些关于代数和代数作用对象的关键思想。和凯利一样，他认为代数中的对象不一定是数字；此外，代数运算的运算和符号是任意的。这种不同的方向是将这些新的抽象概念与逻辑，迄今为止被认为是一个与数学完全分离的领域。布尔发展了一种集合代数或逻辑，使用了目前为数代数保留的符号。例如，+表示两个集合的并集，而x表示交集。然后他证明了这个代数在加法上是可交换的(联盟)和乘法(交叉)关联和分配。布尔的发展对数学很重要，因为他们将激进的新思想与古代逻辑研究联系起来。因此，代数不仅从它的数字负担中解放出来，而且被发现支配逻辑，并将逻辑从口语负担中解放。
但这一切到底意味着什么？
从古代到19世纪，数学家的价值观从方法论到存在，从“如何……”到“是什么……”的变化似乎是代数革命的原因，而不是产品。在古代文化中，当数学最终被研究是为了它自己，而不仅仅是作为解决实际问题的一种手段时，这是一个巨大的智力飞跃。最终出版的作品不仅是带有答案和解决方案的问题集，还详细讨论了各种想法，并试图在没有外界任何帮助的情况下从以前的想法中推测出更多想法。
在18世纪，在组合微积分和模代数中几乎看不到抽象思维的影子，这表明抽象思维逐渐转向了抽象思维，而不是大爆炸。就像玩具或时尚潮流一样，最初的发展非常缓慢，但只有一个特别突出的事件（电视广告、名人亮相或乔治·皮科克的有影响力的书）才使市场爆发。许多孩子要求玩具，许多消费者购买时尚，许多数学思想家将时间投入到新的主题上。然而，人们多次注意到，与玩具或时尚不同，数学研究尚未证明能够饱和度.
这场代数革命最显著地启发了对纯数学本质的重新定义。当Boole和Hamilton开始为该领域做出贡献时，人们注意到“数学是数量的科学”可能非常有限，甚至是错误的。然后人们认识到，通过对代数结构的研究，以及通过将代数定律与数字分离，可以进一步了解纯粹数学的本质。数学家们并没有发明一种更新、更可爱的单行文字来定义数学的整体，而是努力重新定义数学的根源和基础。数学哲学作为自己的领域而成长，而不是作为普通哲学家沉思科学的副产品。
那么，可能的因果关系的代数和数学哲学之间的关系？或者说，形式主义,直觉主义、和逻辑主义特别地？两者的爆发似乎是一致的，数学哲学真正见证了它在19世纪的兴起和传播罗素,希尔伯特、和布鲁尔所有人都设计了描述数学基础的独立程序。那么，代数的解放是一个更大事件的姊妹产品吗？还是这种解放对当时数学家的哲学思想产生了影响？
我认为，数学哲学作为一门学科，并非诞生于代数革命本身，而是诞生于革命所产生的相同“东西”。数学家们正将注意力转向“拯救”数学，为数学奠定基础，消除该领域的歧义和模糊性。Boole使用集合和逻辑连接词创建了一个替代代数，该代数遵循代数定律，将数学与迄今为止独立的逻辑研究联系起来，以及De Morgan和Hamilton进一步将数学与逻辑联系起来的工作，启发了数理逻辑和逻辑主义哲学领域，决定多少数学可以用逻辑表达的动力。罗素看到逻辑和数学即将联姻，认为这可能是一场完整的婚姻，而逻辑实际上是“数学的先驱”
其他主要的数学哲学，形式主义和直觉主义，基本上是为了响应逻辑主义一致性问题，或当时数学家提出的其他批评。形成这些派别有很多原因。但在19世纪的“革命”中，逻辑主义是第一个出现的，它的出现是对数学基础的普遍思考以及将数学与逻辑联系起来的有趣结果的产物。
这一代数解放也带来了一些迄今为止一直被忽视的问题，例如将数学从一个思想带到另一个思想的语言和交流方式。代数和数学一般都独立于传递其意义的符号，这一发现迫使数学语言成为研究的焦点。以前，语言只是一种被认为理所当然的工具，没有被严格定义，但后来语义的概念悖论揭示了普通语言给数学带来的固有复杂性。口语和书面语言对数学来说实在太丰富了。虽然阿拉伯人和中国学者的古代文献中已经出现了从文字到符号的转变，但很少有时间去思考为什么符号比文字好得多。为了数学的一致性，必须处理语言的丰富性。
最近出现的另一个问题是数学书面和口头交流的可靠性，以及柏拉图主义最近，菲利普·J·戴维斯（Philip J.Davis）等学者就数学交流的不确定性进行了研究，将任何形式的表征与其理想形式或天体形式区分开来。这种观点在很大程度上是柏拉图主义的：理想的对于每一个数学概念，我们最希望的是对这个理想的相当准确的模仿或表示。如果这是我们所能期望的最好结果，我们自然可以期望并学会预测我们表述中的错误数量（因此，戴维斯对数学论述错误的统计讨论）。为了能够将概念表示的思想与概念本身分开，必须能够进行其他类型的区分，例如数学与现实世界之间的区分。数学与它的应用、符号甚至现实世界中的实例无关。一个人必须能够独立思考数学，而不依赖外部世界的支持，才能将数学定律视为独立于以前专门被视为数学对象的对象（我指的是数字，我指的就是受数学定律作用的任何对象都是数学对象）。
数学的抽象化，尤其是代数，起初发生得很慢。不同的文化在日常生活中发现了简单的代数定律。然后，一些人开始在日常生活之外发展数学，用旧数学创造新数学，用符号代替单词。计数板被抛弃，取而代之的是更抽象的数字系统，这让学者们摆脱了用几何方法思考数字的习惯。最后，一些才华横溢的人开始分析代数的结构，他们注意到也许代数对象（数字）对代数的研究来说并不是那么重要。之后四元数第页，八元数第页，n元组s、 矩阵和代数逻辑，人们终于注意到数学定律所作用的对象根本不重要；数学不可能仅仅是“数量或数字的科学”。独立地说，数学可以不考虑物理世界而进行研究，这一认识激发了数学存在而没有现实世界的“概念”，数学是以理想的形式存在的，而不需要物理世界中的单纯模仿。看来代数改革和数学哲学作为一门研究本身都是普遍转向的产物哲学作为一项研究，这可能有助于避免数学被活生生地吃掉。需要建立基础，需要重新审视结构和规律，最重要的是，为了统一和加强所有纯数学，必须放弃“数学是数量或数字的科学”。只要数学的定义不断被重新审视，纯数学的本质不断被思考，学者们对数学这一术语的任何新定义都不重要。
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