雅可比“态射”作为Picard群中的一类

此模块在用芒福德除数表示的超椭圆曲线表示，使用Cantor算法。

超椭圆曲线上的除数\（y^2+yh（x）=f（x）\）存储在芒福德表示中，即作为两个多项式\（u（x）\）和\（v（x）\）使得：

• \（u（x）\）是monic，

• \（u（x）\）划分\（f（x）-h（x）v（x）-v（x”^2）,

• \（度（v（x））<度（u（x）.

参考文献：

对除数Picard组Mumford的可读介绍表示法和康托算法：

• J.Scholten，F.Vercauteren。椭圆和超椭圆曲线密码和NTRU密码系统。收件人出现在B.Preneel（Ed.）应用密码术的最新技术中-COSIC’03，计算机科学讲稿，Springer 2004。

密码学领域的标准参考：

• R.Avanzi、H.Cohen、C.Doche、G.Frey、T.Lange、K.Nguyen和F。Vercauteren，椭圆和超椭圆曲线手册密码学。CRC出版社，2005年。

示例：以下曲线是其雅可比矩阵具有复数乘法。

圣人：x个 = GF公司(37)[“x”].消息()
圣人：H（H） = 超椭圆曲线(x个^5 + 12*x个^4 + 13*x个^三 + 15*x个^2 + 33*x个); H（H）
尺寸为37的有限域上定义的超椭圆曲线
通过y^2=x^5+12*x^4+13*x^3+15*x^2+33*x

此时，处理超椭圆曲线的Jacobians与椭圆曲线不同：

圣人：J = H（H）.雅可比人(); J
定义的37大小有限域上超椭圆曲线的雅可比
通过y^2=x^5+12*x^4+13*x^3+15*x^2+33*x
圣人：J = J(J.底座（_R）()); J
有限域上超椭圆曲线雅可比的有理点集
由y^2=x^5+12*x^4+13*x^3+15*x^2+33*x定义的尺寸37

雅可比矩阵上的点用芒福德多项式表示。首先，我们在曲线上找到几个点：

圣人：第1页 = H（H）.提升_x(2); 第1页
（2:11:1）
圣人：第一季度 = H（H）.提升_x(10); 第一季度
(10 : 18 : 1)

注意2和10是x中多项式的根，分别为：

圣人：P（P） = J(第1页); P（P）
（x+35，y+26）
圣人：问 = J(第一季度); 问
（x+27，y+19）

圣人：P（P） + 问
（x^2+25*x+20，y+13*x）
圣人：(x个^2 + 25*x个 + 20).根(多重性=False（错误）)
[10, 2]

Frobenius满足

\[x^4+12*x^3+78*x^2+444*x+1369\]

关于这个约简的雅可比矩阵，雅可比函数的阶是\（N=1904）.

圣人：1904*P（P）
(1)
圣人：34*P（P） == 0
真的
圣人：35*P（P） == P（P）
真的
圣人：33*P（P） == -P（P）
真的

圣人：问*1904
(1)
圣人：问*238 == 0
真的
圣人：问*239 == 问
真的
圣人：问*237 == -问
真的

班 sage.schemes.超椭圆曲线.雅可比形。雅各比安·莫菲斯m_divitor_class_field(起源,多边形,检查=真的)

基础：添加组元素,图谋形态

定义在字段上的Jacobian元素，即\（J（K）=\mathrm{Pic}^0_K（C）\）.

方案()

返回此形态映射到的方案；或者，除数在哪里。

警告

尽管点集是在特定字段上定义的返回的方案可能超过不同的（通常较小）字段。下面的示例演示了这一点：点集在绝对度为2的数字字段上确定，但返回的方案是在理性基础上定义的。

示例：

圣人：x个 = QQ[“x”].消息()
圣人：（f） = x个^5 + x个
圣人：H（H） = 超椭圆曲线(（f）)
圣人：F类.<一> = 数字字段(x个^2 - 2, “a”)                                     #需要sage.rings.number_field
圣人：J = H（H）.雅可比人（）(F类); J                                                #需要sage.rings.number_field
超椭圆曲线雅可比的有理点集
在具有定义多项式x^2-2的a中的数域上
由y^2=x^5+x定义

圣人：P（P） = J(H（H）.提升_x(F类(1)))                                                 #需要sage.rings.number_field
圣人：P（P）.方案()                                                            #需要sage.rings.number_field
有理域上y^2=x^5+x定义的超椭圆曲线的Jacobian

sage.schemes.超椭圆曲线.雅可比形。康托_组合(第1页,D2类,（f）,小时,属)

示例：

圣人：#需要sage.rings.finite_ring
圣人：F类.<一> = GF公司(7^2, “a”)
圣人：x个 = F类[“x”].消息()
圣人：（f） = x个^7 + x个^2 + 一
圣人：H（H） = 超椭圆曲线(（f）, 2*x个); H（H）
大小为7^2的有限域上的超椭圆曲线
由y^2+2*x*y=x^7+x^2+a定义
圣人：J = H（H）.雅可比人（）(F类); J
上超椭圆曲线Jacobian的有理点集
大小为7^2的a中的有限字段由y^2+2*x*y=x^7+x^2+a定义

圣人：问 = J(H（H）.提升_x(F类(1)))； 问                                                  #需要sage.rings.finite_ring
（x+6，y+5*a）
圣人：10*问  #间接doctest#需要sage.rings.finite_ring
（x^3+（3*a+1）*x^2+（2*a+5）*x+a+5，y+（3*a+2）*x^2+（6*a+1）*x+a+4）
圣人：7*8297*问                                                                  #需要sage.rings.finite_ring
(1)

圣人：问 = J(H（H）.提升_x(F类(一+1)))； 问                                                #需要sage.rings.finite_ring
（x+6*a+6，y+2）
圣人：7*8297*问  #间接doctest#需要sage.rings.finite_rings
(1)

质数域上的测试：

圣人：#需要sage.rings.finite_ring
圣人：F类 = GF公司(下一个前缀(10^30))
圣人：x个 = F类[“x”].消息()
圣人：（f） = x个^7 + x个^2 + 1
圣人：H（H） = 超椭圆曲线(（f）, 2*x个); H（H）
100000000000000000000000000057有限域上的超椭圆曲线
由y^2+2*x*y=x^7+x^2+1定义
圣人：J = H（H）.雅可比人（）(F类); J
超椭圆曲线雅可比的有理点集
大小为100000000000000000000000000057的有限字段
由y^2+2*x*y=x^7+x^2+1定义
圣人：问 = J(H（H）.提升_x(F类(1)))； 问
（x+1000000000000000000000000056，y+10000000000000000000056）
圣人：10*问  #间接doctest
（x ^3+150296037169838934997145567227*x ^2）
+377701248971234560956743242408*传真+509456150352486043408603286615，
电话：+514451014495791237681619598519*x^2
+8753756216650398987235387900（传真+861429240012590886251910326876）
圣人：7*8297*问
（x^3+35410976139548567549919839063*x^2）
+2623040423522646454588889960*x+681571430588959705539385624700，
电话：+999722365017286747841221441793*x^2
+262703715994522725686603955650（传真：+62621982340325423972118260890）

sage.schemes.超椭圆曲线.雅可比形。康托合成简单(第1页,D2类,（f）,属)

鉴于\（D_1\）和\（D_2\）两个缩小的芒福德曲线雅可比因子\（y^2=f（x）\）,计算代表\（D_1+D_2）.

警告

计算的代表性没有减少！使用康托_还原_简单（）来减少它。

示例：

圣人：x个 = QQ[“x”].消息()
圣人：（f） = x个^5 + x个
圣人：H（H） = 超椭圆曲线(（f）); H（H）
有理域上y^2=x^5+x定义的超椭圆曲线

圣人：F类.<一> = 数字字段(x个^2 - 2, “a”)                                         #需要sage.rings.number_field
圣人：J = H（H）.雅可比人（）(F类); J                                                    #需要sage.rings.number_field
超椭圆曲线上Jacobian的有理点集
a中的数字字段，其定义多项式x^2-2由y^2=x^5+x定义

圣人：#需要sage.rings.number_field
圣人：P（P） = J(H（H）.提升_x(F类(1)))； P（P）
（x-1，y+a）
圣人：问 = J(H（H）.提升_x(F类(0)))； 问
（x，y）
圣人：2*P（P） + 2*问 #间接doctest
（x^2-2*x+1，y+3/2*a*x-1/2*a）
圣人：2*(P（P） + 问) #间接doctest
（x^2-2*x+1，y+3/2*a*x-1/2*a）
圣人：三*P（P） #间接doctest
（x^2-25/32*x+49/32，y+45/256*a*x+315/256*a）

sage.schemes.超椭圆曲线.雅可比形。康托_还原(一,b条,（f）,小时,属)

返回线性等价于\（（a，b）\）在曲线上\（y^2+yh（x）=f（x）\）.

请参阅的docstringsage.模式.超椭圆曲线.雅可比形对于关于除数、线性等价和约简的信息。

示例：

圣人：x个 = QQ[“x”].消息()
圣人：（f） = x个^5 - x个
圣人：H（H） = 超椭圆曲线(（f）, x个); H（H）
有理域上y^2+x*y=x^5-x定义的超椭圆曲线
圣人：J = H（H）.雅可比人（）(QQ); J
超椭圆曲线上Jacobian的有理点集
有理字段由y^2+x*y=x^5-x定义

以下点为2-扭转：

圣人：问 = J(H（H）.提升_x(0))； 问
（x，y）
圣人：2*问 #间接doctest
(1)

下一点不是2-扭转：

圣人：P（P） = J(H（H）.提升_x(-1))； P（P）
（x+1，y）
圣人：2 * J(H（H）.提升_x(-1)) #间接doctest
（x^2+2*x+1，y+4*x+4）
圣人：三 * J(H（H）.提升_x(-1)) #间接doctest
（x^2-487*x-324，y+10755*x+7146）

sage.schemes.超椭圆曲线.雅可比形。康托_还原_简单(一,b条,（f）,属)

返回线性等价于的唯一约化除数\（（a，b）\）在曲线上\（y^2=f（x）。\）

请参阅的docstringsage.模式.超椭圆曲线.雅可比形对于关于除数、线性等价和归约的信息。

示例：

圣人：x个 = QQ[“x”].消息()
圣人：（f） = x个^5 - x个
圣人：H（H） = 超椭圆曲线(（f）); H（H）
有理域上y^2=x^5-x定义的超椭圆曲线
圣人：J = H（H）.雅可比人（）(QQ); J
有理域上超椭圆曲线雅可比的有理点集
由y^2=x^5-x定义

以下点为2-扭转：

圣人：P（P） = J(H（H）.提升_x(-1))； P（P）
（x+1，y）
圣人：2 * P（P） #间接doctest
(1)