通过“Ueberschiebung”计算五次和六次的不变量

托多

• 在小正特征中实现不变量。

• Cardona-Quer和用于分类自同构群的附加不变量。

作者：

• 尼克·亚历山大

sage.schemes.超椭圆曲线.invariants。Ueberschiebung公司(（f）,克,k个)

返回差速器操作器\（（f g）_k\）.

这由梅斯特在第315页定义[1991年9月]:

\[（f g）_k=\压裂{（m-k）！（n-k）！}{m！n！}\左(\压裂{\部分f}{\部分x}\frac{\部分g}{\局部y}-\frac{\部分f}{\部分y}\frac{\partialg}{\局部x}\right）^k

示例：

圣人：从 sage.方案.超椭圆曲线.变体 进口 Ueberschiebung公司 作为 ub公司
圣人：R（右）.<x个, 年> = QQ（QQ）[]
圣人：ub公司(x个, 年, 0)
x年
圣人：ub公司(x个^5 + 1, x个^5 + 1, 1)
0
圣人：ub公司(x个^5 + 5*x个 + 1, x个^5 + 5*x个 + 1, 0)
x^10+10*x^6+2*x^5+25*x^2+10*x+1

sage.schemes.超椭圆曲线.invariants。绝对值_igusa_invariants_kohel(（f）)

给出六边形\（f），返回Kohel使用的三个绝对Igusa不变量[KohECHIDNA].

\（f）可以是两个变量的齐次变量，也可以是一个变量的非齐次变量。

示例：

圣人：从 sage.方案.超椭圆曲线.变体 进口 绝对值_igusa_invariants_kohel
圣人：R（右）.<x个> = QQ（QQ）[]
圣人：绝对值_igusa_invariants_kohel(x个^5 - 1)
（0，0，0）
圣人：绝对值_igusa_invariants_kohel(x个^5 - x个)
(100, -20000, -2000)

可以根据Kohel的数据库检查以下示例[KohECHIDNA]

圣人：小时 = -x个^5 + 三*x个^4 + 2*x个^三 - 6*x个^2 - 三*x个 + 1
圣人：i1, i2类, i3类 = 绝对值_igusa_invariants_kohel(小时)
圣人：列表(地图(因素, (i1号机组, i2类, i3类)))
[2^2 * 3^5 * 5 * 31, 2^5 * 3^11 * 5, 2^4 * 3^9 * 31]
圣人：列表(地图(因素, (150660, 28343520, 9762768)))
[2^2 * 3^5 * 5 * 31, 2^5 * 3^11 * 5, 2^4 * 3^9 * 31]

sage.schemes.超椭圆曲线.invariants。绝对值_igusa_invariants_wamelen(（f）)

给出六边形\（f），返回van Wamelen使用的三个绝对Igusa不变量【1999年Wam1】.

\（f）可以是两个变量的齐次变量，也可以是一个变量的非齐次变量。

参考文献：

• 【1999年Wam1】

示例：

圣人：从 sage.方案.超椭圆曲线.变体 进口 绝对值_igusa_invariants_wamelen
圣人：R（右）.<x个> = QQ（QQ）[]
圣人：绝对值_igusa_invariants_wamelen(x个^5 - 1)
(0, 0, 0)

以下示例可以与van Wamelen的论文进行比较：

圣人：小时 = -x个^5 + 三*x个^4 + 2*x个^三 - 6*x个^2 - 三*x个 + 1
圣人：i1号机组, i2类, i3类 = 绝对值_igusa_invariants_wamelen(小时)
圣人：列表(地图(因素, (i1号机组, i2类, i3类)))
[2^7 * 3^15, 2^5 * 3^11 * 5, 2^4 * 3^9 * 31]

sage.schemes.超椭圆曲线.invariants。clebsch_不变量(（f）)

给出六边形\（f），返回Clebsch不变量\（（A、B、C、D）\）属于梅斯特，第317页，[1991年5月].

\（f）可以是两个变量的齐次变量，也可以是一个变量的非齐次变量。

示例：

圣人：从 sage.方案.超椭圆曲线.变体 进口 clebsch_变体
圣人：R（右）.<x个, 年> = QQ（QQ）[]
圣人：clebsch_变体(x个^6 + 年^6)
(2, 2/3, -2/9, 0)
圣人：R（右）.<x个> = QQ（QQ）[]
圣人：clebsch_变体(x个^6 + x个^5 + x个^4 + x个^2 + 2)
(62/15, 15434/5625, -236951/140625, 229930748/791015625)

圣人：岩浆(x个^6 + 1).克莱布施不变量()                    #可选-岩浆
[ 2, 2/3, -2/9, 0 ]
圣人：岩浆(x个^6 + x个^5 + x个^4 + x个^2 + 2).Clebsch不变量()  #可选-岩浆
[ 62/15, 15434/5625, -236951/140625, 229930748/791015625 ]

sage.schemes.超椭圆曲线.invariants。clebsch_to_igusa公司(A类,B类,C类,D类)

转换Clebsch不变量\（A、B、C、D）到Igusa不变量\（I_2、I_4、I_6、I_{10}）.

示例：

圣人：从 sage.方案.超椭圆曲线.变体 进口 clebsch_to_igusa公司, igusa_to_clebsch
圣人：clebsch_to_igusa公司(2, 三, 4, 5)
(-240, 17370, 231120, -103098906)
圣人：igusa_to_clebsch(*clebsch_to_igusa公司(2, 三, 4, 5))
(2, 3, 4, 5)

圣人：铯 = 元组(地图(GF公司(31), (2, 三, 4, 5))); 铯
(2, 3, 4, 5)
圣人：clebsch_to_igusa公司(*铯)
(8, 10, 15, 26)
圣人：igusa_to_clebsch(*clebsch_to_igusa公司(*铯))
(2, 3, 4, 5)

sage.schemes.超椭圆曲线.invariants。微分算子(（f）,克,k个)

返回微分算子\（（f g）_k\）在多项式环中的符号dfdx、， dfdy、， dgdx、， dgdy公司.

这是梅斯特在第315页中定义的[1991年9月]:

\[（f g）_k=\压裂{（m-k）！（n-k）！}{m！n！}\左(\frac｛\partial f｝｛\partial x｝\frac｛\partial g｝｛\partial y｝-\frac{\部分f}{\部分y}\frac{\partialg}{\局部x}\right）^k

示例：

圣人：从 sage.方案.超椭圆曲线.变体 进口 微分算子
圣人：R（右）.<x个, 年> = QQ（QQ）[]
圣人：微分算子(x个, 年, 0)
1
圣人：微分算子(x个, 年, 1)
-dfdy*dgdx+dfdx*dgdy
圣人：微分算子(x个*年, x个*年, 2)
1/4*dfdy^2*dgdx^2-1/2*dfdx*dfdy*dgdx*dgdy+1/4*dfdx^2*d gdy ^2
圣人：微分算子(x个^2*年, x个*年^2, 2)
1/36*dfdy^2*dgdx^2-1/18*dfdx*dfdy*dgdx*dgdy+1/36*dfdx2*dgdy ^2
圣人：微分算子(x个^2*年, x个*年^2, 4)
1/576*dfdy^4*dgdx^4-1/144*dfdx*dfdy ^3*dgdx ^3*dfdy+1/96*dfdx ^2*dfdy
-1/144*dfdx^3*dfdy*dgdx*dgdy^3+1/576*dfdx ^4*dgdy ^4

sage.schemes.超椭圆曲线.invariants。差异符号(U型,（f）,克)

给定一个微分算子U型在里面dfdx、， dfdy、， dgdx、， dgdy公司,用符号表示U型，将其应用于f中， 克.

示例：

圣人：从 sage.方案.超椭圆曲线.变体 进口 差异符号
圣人：R（右）.<x个, 年> = QQ（QQ）[]
圣人：S公司.<dfdx公司, dfdy公司, dgdx公司, dgdy公司> = QQ（QQ）[]
圣人：[ 差异符号(日, x个^2, 年*0 + 1) 对于 日 在里面 S公司.氏族() ]
[2*x，0，0，0]
圣人：[ 差异符号(日, x个*0 + 1, 年^2) 对于 日 在里面 S公司.氏族() ]
[0,0,0,2*y]
圣人：[ 差异符号(日, x个^2, 年^2) 对于 日 在里面 S公司.氏族() ]
[2*x*y^2，0，0，2*x^2*y]

圣人：差异符号(dfdx公司 + dfdy公司*dgdy公司, 年*x个^2, 年^三)
2*x*y^4+3*x^2*y^2

sage.schemes.超椭圆曲线.invariants。diffxy公司(（f）,x个,xtimes时间,年,时间)

微分多项式（f）,xtimes时间关于x个、和`时间关于年.

示例：

圣人：从 sage.方案.超椭圆曲线.变体 进口 diffxy公司
圣人：R（右）.<u个, v（v）> = QQ（QQ）[]
圣人：diffxy公司(u个^2*v（v）^三, u个, 0, v（v）, 0)
u^2*v^3
圣人：diffxy公司(u个^2*v（v）^三, u个, 2, v（v）, 1)
6*v^2
圣人：diffxy公司(u个^2*v（v）^三, u个, 2, v（v）, 2)
12伏
圣人：diffxy公司(u个^2*v（v）^三 + u个^4*v（v）^4, u个, 2, v（v）, 2)
144*u^2*v^2+12*v

sage.schemes.超椭圆曲线.invariants。igusa _黎巴嫩_变体(（f）)

给出六边形\（f），返回Igusa-Clebsch不变量\（I_2、I_4、，I_6，I_｛10｝\）Igusa和Clebsch【IJ1960】.

\（f）可以是两个变量的齐次变量，也可以是一个变量的非齐次变量。

示例：

圣人：从 sage.方案.超椭圆曲线.变体 进口 igusa_clebsch_变体
圣人：R（右）.<x个, 年> = QQ（QQ）[]
圣人：igusa _黎巴嫩_变体(x个^6 + 年^6)
(-240, 1620, -119880, -46656)
圣人：R（右）.<x个> = QQ（QQ）[]
圣人：igusa _黎巴嫩_变体(x个^6 + x个^5 + x个^4 + x个^2 + 2)
(-496, 6220, -955932, -1111784)

圣人：岩浆(x个^6 + 1).IgusaClebsch不变量()                    #可选-岩浆
[ -240, 1620, -119880, -46656 ]
圣人：岩浆(x个^6 + x个^5 + x个^4 + x个^2 + 2).IgusaClebsch不变量()  #可选-岩浆
[ -496, 6220, -955932, -1111784 ]

sage.schemes.超椭圆曲线.invariants。igusa_to_clebsch(I2类,I4类,第16页,第10页)

转换Igusa不变量\（I_2、I_4、I_6、I_{10}）到Clebsch不变量\（A、B、C、D）.

示例：

圣人：从 sage.方案.超椭圆曲线.变体 进口 clebsch_to_igusa公司, igusa_to_clebsch
圣人：igusa_to_clebsch(-2400, 173700, 23112000, -10309890600)
(20, 342/5, 2512/5, 43381012/1125)
圣人：clebsch_to_igusa公司(*igusa_to_clebsch(-2400, 173700, 23112000, -10309890600))
(-2400, 173700, 23112000, -10309890600)

圣人：是 = 元组(地图(GF公司(31), (-2400, 173700, 23112000, -10309890600))); 是
(18, 7, 12, 27)
圣人：igusa_to_clebsch(*是)
(20, 25, 25, 12)
圣人：clebsch_to_igusa公司(*igusa_to_clebsch(*是))
(18, 7, 12, 27)

sage.schemes.超椭圆曲线.invariants。瑞士联合银行(（f）)

给出六边形\（f），返回Mestre不变量字典，p 317[1991年9月].

\（f）可以是两个变量的齐次变量，也可以是一个变量的非齐次变量。

示例：

圣人：从 sage.方案.超椭圆曲线.变体 进口 瑞士联合银行
圣人：x个 = QQ（QQ）[“x”].0
圣人：瑞士联合银行(x个^6 + 1)
{’A'：2，
“B”：2/3，
“C”：-2/9，
“D”：0，
“增量”：-2/3*x^2*h^2，
“f”：x ^6+h ^6，
“i”：2*x^2*h^2，
“y1”：0，
“y2”：0，
“y3”：0}

圣人：R（右）.<u个, v（v）> = QQ（QQ）[]
圣人：瑞士联合银行(u个^6 + v（v）^6)
{“A”：2，
“B”：2/3，
“C”：-2/9，
“D”：0，
“增量”：-2/3*u^2*v^2，
“f”：u^6+v^6，
“i”：2*u^2*v^2，
“y1”：0，
“y2”：0，
“y3”：0}

圣人：R（右）.<t吨> = GF公司(31)[]
圣人：瑞士联合银行(t吨^6 + 2*t吨^5 + t吨^2 + 三*t吨 + 1)
{“A”：0，
“B”：-12，
“C”：-15，
“D”：-15，
“增量”：-10*t^4+12*t^3*h+7*t^2*h^2-5*t*h^3+2*h^4，
“f”：t^6+2*t^5*h+t^2*h^4+3*t*h^5+h^6，
“i”：-4*t^4+10*t^3*h+2*t^2*h^2-9*t*h^3-7*h^4，
“y1”：4*t^2-10*t*h-13*h^2，
'y2'：6*t^2-4*t*h+2*h^2，
“y3”：4*t^2-4*t*h-9*h^2}